柔性輪對(duì)的輪軌接觸參數(shù)分析

張寶安，陸正剛，王恒亮

（同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804）

在對(duì)鐵路車輛動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行仿真時(shí)，常常假設(shè)輪對(duì)和鋼軌是剛體，然而這只適用于頻率小于20 Hz的情況.輪對(duì)的彈性變形會(huì)導(dǎo)致車輪踏面外形和鋼軌外形之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，對(duì)輪軌接觸幾何參數(shù)及接觸點(diǎn)位置產(chǎn)生一定的影響.盡管與整個(gè)輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)相比，這些變形是很小的，但是輪軌接觸對(duì)小的相對(duì)橫移或者轉(zhuǎn)動(dòng)都是非常敏感的，具有很強(qiáng)的非線性特征.輪對(duì)的彈性變形不僅能夠影響車輛的橫向穩(wěn)定性，而且還會(huì)導(dǎo)致輪軌力的波動(dòng)，產(chǎn)生輪軌的波磨和車輪的不圓度，導(dǎo)致在小半徑曲線上噪音的傳播［1］.

已有一些相關(guān)文獻(xiàn)研究了輪對(duì)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，文獻(xiàn)［1-3］在中高頻范圍內(nèi)研究了輪對(duì)的結(jié)構(gòu)柔性.目前主要有3種建模方法用于輪對(duì)結(jié)構(gòu)柔性的建模：集中質(zhì)量塊法［4］、連續(xù)法［5］和有限元法［6］.文獻(xiàn)［7-9］針對(duì)輪對(duì)彈性變形的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［10］在傳統(tǒng)跡線法的基礎(chǔ)上發(fā)展了一種考慮輪對(duì)彈性的輪軌接觸點(diǎn)計(jì)算方法，彈性輪對(duì)模型采用離散的有限元模型，由于該算法需要掃描大量節(jié)點(diǎn)，計(jì)算量較大，不適用于在線的動(dòng)力學(xué)實(shí)時(shí)仿真.

本文以國(guó)內(nèi)某高速動(dòng)車組驅(qū)動(dòng)輪對(duì)為原型，把車軸考慮成連續(xù)均勻的鐵木辛科梁，把車輪、軸箱和制動(dòng)盤看成剛體，建立了柔性輪對(duì)的簡(jiǎn)化模型.假設(shè)輪對(duì)的一系懸掛處受到兩個(gè)垂向諧波力P作用，用格林函數(shù)求解輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)方程，得到車輪的傾斜角位移.建立了包含考慮輪對(duì)彎曲變形導(dǎo)致車輪傾斜的輪軌接觸幾何約束關(guān)系，用解析方法推導(dǎo)了輪軌接觸幾何約束方程組，通過對(duì)該約束方程組進(jìn)行求解，得到了輪軌接觸幾何參數(shù)和接觸點(diǎn)位置.并與相應(yīng)的剛性輪對(duì)輪軌接觸幾何參數(shù)進(jìn)行了對(duì)比，討論了輪對(duì)彎曲變形對(duì)輪軌接觸點(diǎn)位置及其接觸參數(shù)的影響.

1 柔性輪對(duì)建模及運(yùn)動(dòng)方程求解

輪對(duì)模型包含兩個(gè)軸箱、兩個(gè)制動(dòng)盤、兩個(gè)車輪和一個(gè)車軸，在柔性輪對(duì)模型中把車軸考慮成鐵木辛科梁，其余部件處理成剛體.每個(gè)部件只考慮兩個(gè)自由度，分別為垂向位移u（y，t）和角位移θ（y，t），在左、右輪軌接觸處施加角頻率為ω的簡(jiǎn)諧力.圖1為柔性輪對(duì)的簡(jiǎn)化模型，圖中m為軸的單位長(zhǎng)度質(zhì)量，E為楊氏模量，I為截面慣性矩，μ為剪切模量，S為軸的橫截面積，κ為剪切系數(shù).

圖1 柔性輪對(duì)的簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of elastic wheelset

假設(shè)輪對(duì)運(yùn)動(dòng)在平衡位置，不考慮輪對(duì)的陀螺效應(yīng)和動(dòng)靜不平衡，則輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)方程如下［11］：

式中：

Ji（i＝1～6）分別表示第i個(gè)剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；q＝q（y，t）＝［u（y，t）θ（y，t）］T；qi＝q（si，t），si（i＝1～6）表示第i個(gè)剛體到車軸左端的距離；δ（·）是狄拉克函數(shù)；P＝［P0］T，P＝P0［δ（ys2）＋δ（y－s5）－δ（y－l1）＋δ（y－l2）］cosωt，P0為軸重，lj（j＝1～2）表示施加在車軸上的外力作用點(diǎn)到車軸左端的距離.

運(yùn)動(dòng)方程的邊界條件為

鐵木辛科梁截面上的垂向位移u（y，t）和角位移θ（y，t）有如下形式：

將式（3）代入到式（1）中，有

式中：

格林函數(shù)Γ（y，η）的形式如下：

U（y）和Θ（y）同時(shí)還需要在車軸的兩端滿足式（2）的邊界條件.由此可以得到以下矩陣方程

用格林函數(shù)求解方程（4），得到方程（4）的解為

2 考慮輪對(duì)柔性的輪軌接觸幾何計(jì)算

輪對(duì)彎曲變形會(huì)使得車輪踏面外形和鋼軌外形之間的接觸點(diǎn)位置發(fā)生變化，從而使輪軌接觸點(diǎn)位置的接觸斑大小、等效錐度和接觸角參數(shù)等輪軌接觸參數(shù)也發(fā)生相應(yīng)的變化.通過對(duì)輪軌接觸點(diǎn)的坐標(biāo)描述，推導(dǎo)了考慮輪對(duì)彎曲變形情況下的約束方程組，通過對(duì)方程組進(jìn)行求解，得到了輪軌接觸幾何參數(shù)，并與剛性輪對(duì)的輪軌接觸幾何參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的對(duì)比分析，討論了輪對(duì)彎曲變形對(duì)接觸點(diǎn)位置和輪軌接觸參數(shù)的影響.

2.1 鋼軌上的輪軌接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述

假設(shè)與輪對(duì)匹配的鋼軌是剛體，不發(fā)生任何的變形，在接觸點(diǎn)附近的鋼軌呈理想直線，且軌道截面外形、軌底坡和軌距在沿軌道X方向沒有變化.圖2是鋼軌上接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述，其中OXYZ是全局絕對(duì)坐標(biāo)系，ORlXRlYRlZRl和ORrXRrYRrZRr分別為左、右側(cè)鋼軌坐標(biāo)系.SRix（i＝r，l）表示左、右軌上接觸點(diǎn)在全局坐標(biāo)系內(nèi)的縱向坐標(biāo)，SRiy（i＝r，l）表示左、右軌上接觸點(diǎn)在鋼軌坐標(biāo)系內(nèi)的橫向坐標(biāo).下面以右側(cè)鋼軌為例，推導(dǎo)右側(cè)鋼軌接觸點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置，左軌上的接觸點(diǎn)坐標(biāo)表示可以參考右軌的.

圖2 鋼軌上接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述Fig.2 Coordinate description of contact point on rails

右側(cè)鋼軌坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的變換矩陣TRr為［12］

式中：φ0為軌底坡度角.

右軌上的接觸點(diǎn)在全局坐標(biāo)系內(nèi)的位置坐標(biāo)描述為

右側(cè)鋼軌在接觸點(diǎn)CRr處沿ORrXRr方向的切向量tRrx和ORrYRrZRr平面內(nèi)的切向量tRry在全局坐標(biāo)系OXYZ下的表達(dá)式分別為

式中：z′Rr（SRry）為右軌外形擬合函數(shù)zRr（·）的一階導(dǎo)數(shù)在SRry的值.則右側(cè)鋼軌上接觸點(diǎn)處的法向量為

2.2 車輪上的輪軌接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述

假設(shè)OwXwYwZw為剛性輪對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系，O′wX′wY′wZ′w為 柔 性 輪 對(duì) 質(zhì) 心 浮 動(dòng) 坐 標(biāo) 系，OWrXWrYWrZWr為右車輪輪心坐標(biāo)系，OWrwXWrwYWrwZWrw為右車輪踏面局部坐標(biāo)系.CWr為右車輪踏面上的接觸點(diǎn)，其在OWrwXWrwYWrwZWrw坐標(biāo)系下的橫坐標(biāo)為SWry.車輪上輪軌接觸點(diǎn)的坐標(biāo)描述見圖3.

圖3 車輪上接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述Fig.3 Coordinate description of contact point on wheels

考慮輪對(duì)小搖頭角位移的情形，輪對(duì)坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的變換矩陣TW為

式中：φw為輪對(duì)的側(cè)滾角.

輪對(duì)中車軸的彎曲引起右車輪相對(duì)于鋼軌有一個(gè)繞X軸旋轉(zhuǎn)的傾斜角θWr，所以右車輪的踏面坐標(biāo)系相對(duì)于右輪坐標(biāo)系的變換矩陣TWEr為

以右輪為例，右踏面上接觸點(diǎn)CWr在全局坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)為

在接觸點(diǎn)CWr處沿方向的切向量tWrα和在OWrYWrZWr面內(nèi)的切向量tWry在OXYZ坐標(biāo)系下為

由車輪踏面和鋼軌形面上的接觸點(diǎn)具有相同的空間位置和接觸點(diǎn)處的法線重合得到下面的輪軌接觸幾何的約束方程組：

3 算例與討論

在數(shù)學(xué)軟件Maple里對(duì)上述柔性輪對(duì)運(yùn)動(dòng)方程和考慮輪對(duì)柔性的輪軌接觸幾何參數(shù)進(jìn)行了編程計(jì)算，本文選取國(guó)內(nèi)某動(dòng)車組的驅(qū)動(dòng)輪對(duì)和CHN60鋼軌為研究對(duì)象.輪對(duì)踏面外形為L(zhǎng)MA型面，輪對(duì)的主要參數(shù)如下：d＝0.2m，l＝2.2m，E＝210GPa，μ＝81GPa，ρ＝7 850kg·m－3，κ＝0.9，m1＝m6＝80 kg，m2＝m5＝334kg，m3＝m4＝70kg，J1＝J6＝1 kg·m2，J2＝J5＝23kg·m2，J3＝J4＝2kg·m2，s1＝0，s2＝0.35m，s3＝0.75m，s4＝1.45m，s5＝1.85m，s6＝2.20m，l1＝0.15m，l2＝2.05m，P0＝70kN，軌 底 坡 為 1／40.經(jīng) 計(jì) 算 得 到｜θWr｜＝0.001 5rad，分別計(jì)算了車輪外傾斜（θWr＞0）、內(nèi)傾斜（θWr＜0）和不傾斜（θWr＝0）3種情況下的輪軌接觸幾何參數(shù).圖4和圖5分別為滾動(dòng)圓半徑之差變化圖和接觸角參數(shù)變化圖，從圖中可以看出，當(dāng)輪對(duì)橫移量在－5～5mm范圍時(shí)，3種情況下的滾動(dòng)圓半徑之差和接觸角之差幾乎是重合的，若輪對(duì)橫移量超出這個(gè)范圍，則會(huì)出現(xiàn)明顯的差異.

圖4 滾動(dòng)圓半徑之差變化圖Fig.4 The difference of rolling circle radius

由于在車輛實(shí)際運(yùn)行中，輪對(duì)所受到的一系懸掛力方向始終是指向大地的，也就是說車輪是始終向外傾斜的，所以在此不對(duì)車輪內(nèi)傾斜情況進(jìn)行分析.圖6為車輪外傾和不傾斜兩種情況下的等效錐度變化圖，由此可以看出，在相同的輪對(duì)橫移量下，柔性輪對(duì)的等效錐度比剛性輪對(duì)的小，其在直線、大半徑曲線的臨界速度比剛性輪對(duì)的高，在－5～5 mm內(nèi)兩者差值基本相等，另外，較低的等效錐度會(huì)產(chǎn)生較低的重力剛度，增加了輪對(duì)在直線、大半徑曲線軌道上對(duì)中的困難，甚至極有可能導(dǎo)致輪緣接觸；在－10～－5mm和5～10mm范圍內(nèi)，兩者相差明顯，并且低的等效錐度會(huì)導(dǎo)致柔性輪對(duì)曲線通過能力減弱.

圖7和圖8分別為右車輪和右鋼軌上的輪軌接觸點(diǎn)的橫向位置.通過對(duì)比結(jié)果可以分析得出，考慮輪對(duì)彎曲變形時(shí)，輪軌接觸點(diǎn)在右車輪外形上橫向位置整體地向右偏移了，而當(dāng)輪對(duì)向左平移0～10 mm時(shí)，剛性輪對(duì)和柔性輪對(duì)在右鋼軌上接觸點(diǎn)橫向位置幾乎重合，在向右平移0～10mm時(shí)，柔性輪對(duì)的輪軌接觸點(diǎn)在右鋼軌外形上的橫向位置相比剛性輪對(duì)的向右偏移了一定距離，并且當(dāng)車輪輪緣和鋼軌接觸時(shí)，柔性輪對(duì)和剛性輪對(duì)的輪軌接觸點(diǎn)在車輪和鋼軌上的橫向位置相差很大.

4 結(jié)論

（1）本文介紹了一種把車軸考慮成鐵木辛科梁的柔性輪對(duì)簡(jiǎn)化模型，求出車輪的傾斜角位移，并建立了考慮傾斜角的輪軌接觸幾何約束關(guān)系，從而求得輪軌接觸參數(shù)，該方法適用于考慮輪對(duì)彈性變形的車輛動(dòng)力學(xué)仿真，仿真結(jié)果顯示該方法可以更精確地計(jì)算接觸點(diǎn)的位置.

（2）相對(duì)于剛性輪對(duì)，柔性輪對(duì)的輪軌接觸點(diǎn)位置發(fā)生了一定偏移，并且當(dāng)車輪輪緣根部和鋼軌接觸時(shí)，柔性輪對(duì)和剛性輪對(duì)的輪軌接觸點(diǎn)在車輪和鋼軌上的橫向位置相差很大.當(dāng)輪對(duì)橫移量超過5 mm時(shí)，輪對(duì)的結(jié)構(gòu)柔性會(huì)對(duì)滾動(dòng)圓半徑之差和接觸角之差變化產(chǎn)生很大的影響，此時(shí)如果仍然采用傳統(tǒng)的剛性輪對(duì)則計(jì)算的等效錐度會(huì)偏大.

（3）可以根據(jù)柔性輪對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起的車輪傾斜角和輪對(duì)橫移量制定考慮輪對(duì)柔性的輪軌接觸幾何表，建立這兩個(gè)參數(shù)變量到Kalker線性蠕滑系數(shù)的二維映射關(guān)系，方便考慮輪對(duì)柔性的輪軌蠕滑力的計(jì)算，實(shí)現(xiàn)高效的在線車輛動(dòng)力學(xué)計(jì)算.

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