一類分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步及其應(yīng)用＊

譚 文，蔣逢靈，王耀南，劉賢群，伍 豐

（1.湖南科技大學信息與電氣工程學院，湖南 湘潭411201；2.湖南大學電氣與信息工程學院，湖南 長沙410082）

1 引言

雖然分數(shù)階微積分已有三百多年的研究歷史，但是它在物理和工程方面的應(yīng)用還只是近年來關(guān)注的熱點［1］。最近，越來越多的學者開始研究分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制及其動力學行為，發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象和超混沌現(xiàn)象同樣存在于分數(shù)階混沌系統(tǒng)中［2，3］。分數(shù)階系統(tǒng)更具有普遍性和更大的密鑰空間，并且分數(shù)階超混沌系統(tǒng)具有比低維混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜的動力學行為［4］。自從Pecora等［5］開創(chuàng)性地提出混沌同步的概念和方法后，混沌系統(tǒng)的控制與同步激起了廣大科研工作者的興趣。隨著越來越多的學者對混沌理論的深入研究，提出了各種有關(guān)混沌控制和混沌同步的方法［6，7］。分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的混沌同步主要是基于分數(shù)階穩(wěn)定性理論，通常是設(shè)計控制器，使響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)實現(xiàn)同步。這種控制方法雖然取得了一定的效果，但是在響應(yīng)系統(tǒng)添加控制器，一般需設(shè)計三個以上控制器［8～10］。盡管這些方法可以實現(xiàn)系統(tǒng)之間的同步，但同時也導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，并在一定程度上影響實際工程的應(yīng)用。

近幾年，分數(shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信和過程控制方面的潛在應(yīng)用，引起了國內(nèi)外眾多學者的關(guān)注。然而，據(jù)現(xiàn)有文獻分析，很多研究者只是關(guān)注簡單周期信號在保密通信中的應(yīng)用［11，12］，而復(fù)雜非周期信號的應(yīng)用相對較少。然而，實際傳送的信號大多是不規(guī)則的，所以對復(fù)雜非周期信號在保密通信中的應(yīng)用研究具有十分重要的意義。

本文提出了一類分數(shù)階超混沌系統(tǒng)同步控制器設(shè)計方法，只需要在響應(yīng)系統(tǒng)中設(shè)計兩個控制器，便能實現(xiàn)兩個分數(shù)階Chen超混沌系統(tǒng)的同步，簡化了控制設(shè)計過程。最后，利用混沌掩蓋技術(shù)，將該方案應(yīng)用到保密通信中。

2 分數(shù)階微分及其逼近

分數(shù)階微分的定義有很多種［1］，這里采用經(jīng)典的Caputo［1］定義：

其中，n是不小于α的第一個整數(shù)，Jβ是β階Riemann-Liouville積分算子，其表達式為：

這里，Γ（·）是伽馬函數(shù)，0＜β≤1。

假設(shè)分數(shù)階混沌系統(tǒng)為：

其中，X1∈ Rn×1，F(xiàn)（X1）＝ （f（X1），f（X2），…，f（Xn））T，并且0＜q≤1。令系統(tǒng)（3）等于零，即：

相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

其中，X2∈Rn×1，u（t）是控制函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)（3）與系統(tǒng)（5）之間的誤差為e（t）＝X1（t）－X2（t），因此得到分數(shù)階誤差系統(tǒng)為：

文獻［13］分析了分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。

因此，兩個分數(shù)階混沌系統(tǒng)之間的同步問題，可以轉(zhuǎn)化為分析分數(shù)階誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。在討論此方法之前，首先給出分數(shù)階穩(wěn)定性的一個引理。

引理1［13］系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的，當且僅當對于系統(tǒng)（3）的雅克比矩陣的任意特征值λi（i＝

文獻［10，14］給出了分數(shù)階混沌系統(tǒng)階次為0＜q≤1的穩(wěn)定性區(qū)域坐標分布圖。顯而易見，分數(shù)階混沌系統(tǒng)較之相對應(yīng)的整數(shù)階X·1＝F（X1）混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域范圍寬。于是，我們得到一個關(guān)于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的推論。

推論1 當整數(shù)階混沌系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么它相對應(yīng)的分數(shù)階混沌系統(tǒng)必定是漸近穩(wěn)定的。

3 分數(shù)階Chen超混沌系統(tǒng)的描述

分數(shù)階Chen超混沌系統(tǒng)表示為：

其中α是系統(tǒng)（7）的階數(shù)（0＜α＜1）。圖1所示為分數(shù)階超混沌吸引子相圖。

Figure 1 Attractor system of（7）with a＝35，b＝7，c＝12，d＝3and r＝0.5，α＝0.96圖1 系統(tǒng)（7）的超混沌吸引子（a＝35，b＝7，c＝12，d＝3和r＝0.5，α＝0.96）

4 分數(shù)階Chen超混沌系統(tǒng)之間的同步

在本節(jié)中，我們研究分數(shù)階Chen超混沌系統(tǒng)之間的同步。以分數(shù)階Chen超混沌系統(tǒng)（7）為驅(qū)動系統(tǒng)，則相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

由系統(tǒng)（8）和系統(tǒng)（7）可得到誤差動態(tài)系統(tǒng)：

根據(jù)系統(tǒng)（9）設(shè)計控制器u1和u2，定義控制函數(shù)為：

由系統(tǒng)（9）和式（10）可得：

其對應(yīng)整數(shù)階系統(tǒng)進行線性化，求得整數(shù)階系統(tǒng)的雅克比矩陣為：

將式（13）變換為：

顯而易見，由式（14）可求出整數(shù)階系統(tǒng)的特征根為－a，－k1，－d，－k2。當k1和k2取正常數(shù)時，矩陣A的特征根均小于零，所以整數(shù)階混沌系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由推論1可知，其相對應(yīng)的分數(shù)階系統(tǒng)式（11）是漸近穩(wěn)定的。所以，當t→ ∞ 時，lime1（t）、lime2（t）、lime3（t）和 lime4（t）均 趨 于零，即兩個分數(shù)階Chen超混沌系統(tǒng)之間實現(xiàn)了同步。為了驗證理論分析的正確性，取系統(tǒng)參數(shù)a＝35，b＝7，c＝12，d＝3和r＝0.5，k1＝15，k2＝20，α＝0.96；驅(qū)動系統(tǒng)（7）的初始值為x（0）＝10，y（0）＝10，z（0）＝10，w（0）＝10；相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)（8）的初始值為x′（0）＝－10，y′（0）＝－10，z′（0）＝－10，w′（0）＝－10。從圖2中我們可以發(fā)現(xiàn)，大約在2.2s后，誤差e1（t）、e2（t）、e3（t）和e4（t）均趨于零，因此系統(tǒng)（8）與系統(tǒng)（7）實現(xiàn)了同步。數(shù)值仿真結(jié)果證實了理論分析的正確性。

Figure 2 Synchronization of error curve with system （8）and system （7）圖2 系統(tǒng)（8）與系統(tǒng)（7）的同步誤差曲線

5 同步控制在保密通信中的應(yīng)用

設(shè)x（t）是驅(qū)動系統(tǒng)的混沌狀態(tài)變量，x′（t）是響應(yīng)系統(tǒng)的混沌狀態(tài)變量，S（t）是需要傳送的有用信號，M（t）是混沌信號與有用信號的疊加信號，根據(jù)通信原理和混沌掩蓋技術(shù)，有M（t）＝S（t）＋x（t），S0（t）是去掩蓋后恢復(fù)的有用信號，那么去掩蓋后，S0（t）＝M（t）－x′（t）。

為了增強方案的可行性，選取隨機信號作為有用傳送信號。經(jīng)過混沌掩蓋后的信號（如圖4所示），與原發(fā)送信號完全不一樣（如圖3所示），便于信號的保密傳送，從而達到了信號安全傳送且不被破譯的目的。經(jīng)過同步信號x′（t）的去掩蓋，在接受端經(jīng)過1.2s（e1（t）趨于零）后，毫無失真地恢復(fù)了有用信號，即解調(diào)后的信號S0（t）再現(xiàn)了需要發(fā)射傳輸?shù)男盘朣（t），從而可以實現(xiàn)保密通信的目的（如圖5所示）。同時研究發(fā)現(xiàn)，即便采用其它復(fù)雜非周期信號，同樣可以達到保密通信的目的。

6 結(jié)束語

本文提出了一類分數(shù)階超混沌系統(tǒng)控制器的設(shè)計方法、實現(xiàn)了分數(shù)階超混沌系統(tǒng)之間的同步，并且將該方案應(yīng)用到保密通信中，達到了保密通信的目的。數(shù)值仿真結(jié)果驗證了該方案的有效性和可行性。該方案不但可以應(yīng)用在保密通信中，在信號傳輸和圖像處理等其它領(lǐng)域也有潛在的應(yīng)用價值，下一步將利用分數(shù)階混沌同步技術(shù)研究高頻數(shù)字信號傳輸應(yīng)用問題。

［1］ Podlubny I.Fractional differential equations［M］.New York：Academic Press，1999.

［2］ Li C，Chen G.Chaos and hyperchaos in the fractional order Rossler equations［J］.Physica A，2004，341（4）：55-61.

［3］ Wu X，Lu Y.Generalized projective synchronization of the fractional-order Chen hyperchaotic system［J］.Nonlinear Dynamics，2009，57（1）：25-35.

［4］ Zhang H G，Zhao Y，Yu W，et al.A unified approach to fuzzy modelling and robust synchronization of different hyperchaotic systems［J］.Chinese Physics B，2008，17（11）：4056-4066.

［5］ Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems［J］.Physical Review Letters，1990，64（8）：821-824.

［6］ Erjaee G H，Momani S.Phase synchronization in fractional differential chaotic systems［J］.Physics Letters A，2008，372（14）：2350-2354.

［7］ Ma Tie-dong，Zhang Hua-guang，Wang Zhi-liang.Impulsive synchronization for unified chaotic systems with channel time-delay and parameter uncertainty［J］.Acta Physica Sinica，2007，56（7）：3796-3802.（in Chinese）

［8］ Zhao Ling-dong，Hu Jian-bing，Liu Xu-hui.Adaptive tracking control and synchronization of fractional hyper-chaotic Lorenz system with unknown parameters［J］.Acta Physica Sinica，2010，59（4）：2305-2309.（in Chinese）

［9］ Liu Fu-cai，Li Jun-yi，Zang Xiu-feng.Anti-synchronization of different hyperchaotic systems based on adaptive active control and fractional sliding mode control［J］.Acta Physica Sinica，2011，60（3）：030504.（in Chinese）

［10］ Sun Ning，Zhang Hua-guang，Wang Zhi-liang.Fractional sliding mode surface controller for projective synchronization of fractional hyperchaotic systems［J］.Acta Physica Sinica，2011，60（5）：050511.（in Chinese）

［11］ Kiani-B A，F(xiàn)allahi K，Pariz N，et al.A chaotic secure communication scheme using fractional chaotic systems based on an extended fractional Kalman filter［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009，14（3）：863-879.

［12］ Deng Yang-song，Qin Kai-yu.Fractional order Liu-system synchronization and its application in multimedia security［C］∥Proc of Communicaiton，Circuits and Systems，2010：769-772.

［13］ Matignon D.Stability results of fractional differential equations with applications to control processing［M］.Lille，F(xiàn)rance：IMACS，IEEE-SMC，1996：963-968.

［14］ Hu Jian-bing，Han Yan，Zhao Ling-dong.Synchronizing fractional chaotic systems based on Lyapunov equation［J］.Acta Physica Sinica，2008，57（12）：7522-7526.（in Chinese）

附中文參考文獻：

［7］ 馬鐵東，張化光，王智良.一類參數(shù)不確定統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的脈沖滯后同步［J］.物理學報，2007，56（7）：17-23.

［8］ 趙靈冬，胡建兵，劉旭輝.參數(shù)未知的分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制與同步［J］.物理學報，2010，59（4）：2305-2309.

［9］ 劉福才，李俊義，臧秀鳳.基于自適應(yīng)主動及滑?？刂频姆謹?shù)階超混沌系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)反同步［J］.物理學報，2011，60（3）：030504.

［10］ 孫寧，張化光，王智良.基于分數(shù)階滑模面控制的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的投影同步［J］.物理學報，2011，60（5）：050511.

［14］ 胡建兵，韓焱，趙靈冬.基于Lyapunov方程的分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步［J］.物理學報，2008，57（12）：7522-7526.