三次Hermite參數(shù)曲線與曲面的擴(kuò)展＊

李軍成，謝 淳，楊 煉

（湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南 婁底 417000）

1 引言

在計算機(jī)輔助幾何設(shè)計中，往往需要調(diào)整曲線的形狀或改變曲線的位置來滿足曲線設(shè)計的要求。為解決這一問題，人們開始在曲線中引入形狀參數(shù)，其大致通過兩種方法實現(xiàn)。第一種方法是利用不同方法直接在傳統(tǒng)的多項式曲線中引入形狀參數(shù)。比如，Han［1］討論了一種帶形狀參數(shù)的Bézier曲線與曲面的生成方法；吳榮軍［2，3］分別給出了一類帶形狀參數(shù)的四次Bézier曲線和一類帶形狀參數(shù)的B樣條曲線，并對這兩種曲線的形狀進(jìn)行了分析；劉植［4］給出了一種帶多個形狀參數(shù)的廣義Bézier曲線與曲面；范菊嫻［5］討論了另外一種帶多個形狀參數(shù)的Bézier曲線與曲面；劉華勇等［6］討論了一類帶兩個形狀參數(shù)的四次Ball曲線。第二種方法是通過改變多項式曲線的基空間，在非多項式函數(shù)（最為常見的是在帶三角函數(shù)或雙曲函數(shù)）的空間中構(gòu)造帶形狀參數(shù)的曲線。比如，Han［7］給出了一類帶兩個形狀參數(shù)的三次三角多項式Bézier曲線；Liu［8］研究了一種帶形狀參數(shù)的雙曲多項式均勻B樣條曲線與曲面；Han［9］提出了一種帶參數(shù)的三次三角Bézier曲線并對其形狀進(jìn)行了分析；楊煉［10］研究了一類帶形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線；嚴(yán)蘭蘭［11，12］討論了幾種帶形狀參數(shù)的三角樣條曲線。這些帶形狀參數(shù)的曲線不僅具有原曲線的絕大部分性質(zhì)，而且可通過調(diào)整形狀參數(shù)的取值對曲線進(jìn)行調(diào)節(jié)，從而使曲線更加靈活和實用。

作為一種常見的插值曲線與曲面，三次Hermite參數(shù)曲線與曲面又被稱作Ferguson曲線與曲面［13］，在實際工程中具有廣泛的應(yīng)用。然而，當(dāng)插值條件給定時，標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線與曲面的形狀無法修改，不能滿足一些實際工程的需要，因此討論帶形狀參數(shù)的類三次Hermite參數(shù)曲線與曲面具有較高的應(yīng)用價值。但遺憾的是，目前鮮有文獻(xiàn)討論直接在標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線與曲面中引入形狀參數(shù)。為此，本文首先構(gòu)造了一種帶兩個形狀參數(shù)的四次Hermite基函數(shù)，然后生成了相應(yīng)了四次Hermite參數(shù)曲線與曲面。該曲線與曲面是標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線與曲面的擴(kuò)展，不僅具有標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線與曲面的性質(zhì)，而且可通過修改形狀參數(shù)的取值調(diào)節(jié)其形狀，使得曲線與曲面具有更加優(yōu)良的表現(xiàn)能力。

2 四次Hermite基函數(shù)

定義1 對t∈ ［0，1］，－1≤λ1，λ2≤1，稱：

為帶形狀參數(shù)λ1與λ2的四次Hermite基函數(shù)。

四次Hermite基函數(shù)具有下列性質(zhì)：

（1）退化性：由式（1）易知，當(dāng)λ1＝λ2＝0時，四次Hermite基函數(shù)退化為標(biāo)準(zhǔn)的三次Hermite基函數(shù)。

（2）端點(diǎn)性：經(jīng)簡單計算可知，四次 Hermite基函數(shù)滿足：

且F0（t）＋F1（t）＝1，G0（t）＝－G1（1－t）。

上述結(jié)論表明，四次Hermite基函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite基函數(shù)具有完全相同的性質(zhì)，因此四次Hermite基函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite基函數(shù)的一種擴(kuò)展。圖1給出了四次Hermite基函數(shù)的圖形，其中，長虛線部分對應(yīng)λ1＝－1與λ2＝1，實線部分對應(yīng)λ1＝λ2＝0（即為標(biāo)準(zhǔn)的三次Hermite基函數(shù)），短虛線部分對應(yīng)λ1＝1與λ2＝－1。

Figure 1 Quartic hermite basis functions圖1 四次Hermite基函數(shù)

（3）對形狀參數(shù)的單調(diào)性：固定變量t，對Fi（t）與Gi（t）（i＝0，1）分別求關(guān)于λ1與λ2的導(dǎo)數(shù)，分別記為DF0、DF1、DG0和DG1，則有DF0＝DG0＝t2（1－t）2≥0，DF1＝DG1＝－t2（1－t）2≤0，即F0（t）與G0（t）分別關(guān)于λ1與λ2單調(diào)遞增，F(xiàn)1（t）與G1（t）分別關(guān)于λ1與λ2單調(diào)遞減。

3 四次Hermite參數(shù)曲線

3.1 四次Hermite曲線段的定義及性質(zhì)

定義2 對0≤t≤1，給定首、末端點(diǎn)Pi及其切矢P′i（i＝0，1），稱：

為帶形狀參數(shù)λ1與λ2的四次Hermite曲線段，其中Fj（t）與Gj（t）（j＝0，1）為式（1）定義的四次Hermite基函數(shù)。

由式（2）經(jīng)簡單計算有r（0）＝P0，r（1）＝P1，r′（0）＝P′0，r′（1）＝P′1，即表明四次 Hermite曲線段與標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線段具有完全相同的插值性，即插值于首、末端點(diǎn)Pi及其切矢P′i（i＝0，1）。特別地，當(dāng)λ1＝λ2＝0時，四次Hermite曲線段退化為標(biāo)準(zhǔn)的三次Hermite參數(shù)曲線段。因此，四次Hermite曲線段是標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite曲線段的一種擴(kuò)展。

在給定插值條件時，標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線段的形狀無法修改，但由于四次Hermite曲線段帶有形狀參數(shù)λ1與λ2，因此當(dāng)給定插值條件時，四次Hermite曲線段的形狀可通過改變形狀參數(shù)λ1與λ2的取值進(jìn)行調(diào)節(jié)。

例1 給定首、末端點(diǎn)及其切矢分別取P0＝（0，0），P1＝ （2，0），P′0＝ （1，3），P′1＝ （1，－3），當(dāng)形狀參數(shù)取不同值時對應(yīng)的四次Hermite曲線段如圖2所示，其中，長虛線對應(yīng)λ1＝－1與λ2＝1，實線對應(yīng)λ1＝λ2＝0（即為標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite曲線段），短虛線對應(yīng)λ1＝1與λ2＝－1。

Figure 2 Quartic Hermite curves with different shape parameters圖2 形狀參數(shù)取不同值時的四次Hermite曲線段

3.2 四次Hermite曲線段的Bézier表達(dá)式

在適當(dāng)條件下，標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線段可轉(zhuǎn)化為三次Bézier曲線段。下面討論四次Hermite曲線段與四次Bézier曲線段之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

一般地，一段四次Bézier曲線的矩陣表達(dá)式為［13］：

其中，Qi（i＝0，1，2，3，4）為控制頂點(diǎn)。

由式（2）與式（3）可知，四次 Hermite曲線段可表示成四次Bézier曲線段的形式，其中四次Bézier曲線段的控制頂點(diǎn)取為：

圖3給出了當(dāng)形狀參數(shù)λ1與λ2取不同值時四次Hermite曲線段與四次Bézier曲線段的幾何關(guān)系，其中，虛線部分對應(yīng)λ1＝λ2＝0時四次Bézier曲線段的控制多邊形，實線部分對應(yīng)λ1＝－0.5與λ2＝0.5時四次Bézier曲線段的控制多邊形。

Figure 3 Geometric relationship between quartic hermite curve and quartic Bézier curve圖3 四次Hermite曲線與四次Bézier曲線段的幾何關(guān)系

3.3 整條四次Hermite曲線及其調(diào)節(jié)

若給定一列端點(diǎn)Pi及其切矢P′i（i＝0，1，2，…，n），則可由式（2）逐段構(gòu)造出整條四次 Hermite曲線，其表達(dá)式可表示為：

其中，F(xiàn)i（t）、Fi＋1（t）、Gi（t）與Gi＋1（t）為按式（1）定義的四次Hermite基函數(shù)，其形狀參數(shù)為λi1與λi2（i＝0，1，2，…，n－1）。

由式（4）不難驗證：

上式表明，整條四次Hermite曲線插值于各端點(diǎn)Pi及其切矢P′i（i＝0，1，2，…，n），且滿足C1連續(xù)。

當(dāng)插值條件給定時，整條標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線的形狀是無法改變的，但整條四次Hermite曲線的形狀卻可通過改變形狀參數(shù)λi1與λi2的取值對進(jìn)行局部或整體調(diào)節(jié)，且整體曲線仍滿足C1連續(xù)，這樣給設(shè)計人員進(jìn)行交互設(shè)計帶來了方便。

例2 若給定端點(diǎn)及其切矢分別為P0＝（0，0），P1＝（1，0），P2＝（2，0），P3＝（3，0），P4＝（4，0），P′0＝ （0，1），P′1＝ （0，－1），P′2＝ （0，1），P′3＝ （0，－1），P′4＝ （0，1），則可繪制出由四段四次Hermite曲線段拼接而成的整條C1連續(xù)開曲線，并可通過修改參數(shù)λi1與λi2（i＝0，1，2，3，4）的取值實現(xiàn)對整條開曲線的局部或整體調(diào)節(jié)。圖4為形狀參數(shù)λ21對開曲線進(jìn)行局部調(diào)節(jié)的情形，這里取λi1＝λj2＝1（i＝0，1，3；j＝0，1，2，3），其中，長虛線對應(yīng)λ21＝－1，實線對應(yīng)λ21＝0，短虛線對應(yīng)λ21＝1。圖5為形狀參數(shù)對開曲線進(jìn)行整體調(diào)節(jié)的情形，這里取λi1＝λ1，λi2＝λ2（i＝0，1，2，3），其中，長虛線對應(yīng)λ1＝－0.5與λ2＝0.5，實線對應(yīng)λ1＝λ2＝0（即為標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite曲線），短虛線對應(yīng)λ1＝0.5與λ2＝－0.5。

例3 若給定型值點(diǎn)及其切矢分別為P0＝P4＝ （－1，0），P1＝ （0，1），P2＝ （1，0），P3＝ （0，－1），P′0＝P′4＝ （0，1），P′1＝ （1，0），P′2＝（0，－1），P′3＝ （－1，0），則可繪制出由四段四次Hermite曲線段拼接而成的整條C1連續(xù)閉曲線，并可通過修改參數(shù)λi1與λi2（i＝0，1，2，3，4）的取值對整條閉曲線進(jìn)行局部或整體調(diào)節(jié)。圖6為形狀參數(shù)λ22對整條閉曲線進(jìn)行局部調(diào)節(jié)的情形，這里取λi1＝λj2＝1（i＝0，1，2，3；j＝0，1，3），其中，長虛線對應(yīng)λ22＝－1，實線對應(yīng)λ22＝0，短虛線對應(yīng)λ22＝1。圖7為形狀參數(shù)對閉曲線進(jìn)行整體調(diào)節(jié)的情形，這里取λi1＝λ1，λi2＝λ2（i＝0，1，2，3），其中，長虛線對應(yīng)λ1＝－0.5與λ2＝0.5，實線對應(yīng)λ1＝λ2＝0（即為標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite曲線），短虛線對應(yīng)λ1＝0.5與λ2＝－0.5。

4 曲面的定義及性質(zhì)

類似于曲線，可定義帶形狀參數(shù)的分片四次Hermite曲面。四次Hermite曲面與四次Hermite曲線有相似的性質(zhì)。

為帶形狀參數(shù)的四次Hermite曲面，其中，F(xiàn)i（t）、Fi＋1（t）、Gi（t）與Gi＋1（t）（t＝u，v）為按式（1）定義的四次Hermite基函數(shù)，且u向的形狀參數(shù)為αi1與αi2，v向的形狀參數(shù)為βi1與βi2。

由式（5）不難驗證：

上述結(jié)論表明，四次Hermite曲面與標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲面具有完全相同的插值性及C1連續(xù)性。特別地，當(dāng)形狀參數(shù)取αi1＝αi2＝βi1＝βi2＝0時，四次Hermite曲面即退化為標(biāo)準(zhǔn)的三次Hermite參數(shù)曲面。因此，四次Hermite曲面是標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite曲面的一種擴(kuò)展。

當(dāng)給定插值條件時，標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲面的形狀無法修改，但由于帶有形狀參數(shù)，在給定插值條件時，四次Hermite曲面的形狀可通過修改參數(shù)的取值進(jìn)行局部或整體調(diào)節(jié)，且曲面片之間仍能保證C1連續(xù)性。

例4 若插值條件取為：

當(dāng)形狀參數(shù)α1、α2、β1與β2取不同值時所得到的一片四次Hermite參數(shù)曲面如圖8所示。

Figure 8 Quartic Hermite surfaces with different shape parameters圖8 參數(shù)取不同值時的四次Hermite曲面片

圖8a～圖8d分別對應(yīng)的參數(shù)為：（1）α1＝－0.5，α2＝0.5，β1＝0.5，β2＝ －0.5；（2）α1＝－0.5，α2＝0，β1＝0，β2＝0.5；（3）α1＝α2＝β1＝β2＝0（即為標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲面片）；（4）α1＝0.5，α2＝－0.5，β1＝－0.5，β2＝0.5。由圖8可知，當(dāng)形狀參數(shù)取不同值時，可使得四次Hermite曲面片的內(nèi)部呈不同程度的起伏變化。

5 結(jié)束語

為克服傳統(tǒng)三次Hermite參數(shù)曲線與曲面的不足，本文討論了一種帶形狀參數(shù)的四次Hermite曲線與曲面，該曲線與曲面是標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線與曲面的擴(kuò)展，不僅與標(biāo)準(zhǔn)三次Hermite參數(shù)曲線與曲面具有相同的性質(zhì)，而且可以通過修改形狀參數(shù)的取值對曲線與曲面的形狀進(jìn)行局部或整體調(diào)節(jié)，為插值曲線與曲面的構(gòu)造提供了一種有效的方法。如何通過選取形狀參數(shù)使得四次Hermite曲線與曲面滿足C2連續(xù)，將是下一步要研究的問題。

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LI Jun－cheng，born in 1982，PhD candidate，lecturer，CCF member（E200012001M），his research interests include computer aided geometric design，geometric modeling and image processing.

謝淳（1982－），女，湖南漣源人，碩士，講師，研究方向為計算機(jī)輔助幾何設(shè)計。E－mail：xiechun＿123＠qq.com

XIE Chun，born in 1982，MS，lecturer，her research interest includes computer ai－ded geometric design.

楊煉（1980－），男，湖南隆回人，碩士，講師，研究方向為計算機(jī)輔助幾何設(shè)計、計算機(jī)圖形學(xué)。E－mail：ylianyang＠163.com

YANG Lian，born in 1980，MS，lecturer，his research interests include computer aided geometric design，and computer graphics.