解題鍛煉速度 反思成就高度

很多同學(xué)認(rèn)為，審題、探索解題方向、實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)是解決數(shù)學(xué)問題的全部環(huán)節(jié)，只要求出了最終答案，就萬事大吉了.于是，不停地做題就成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部過程.但與此同時(shí)，我們也會(huì)聽到很多類似的抱怨：“為什么我做了那么多數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)成績(jī)卻總是停滯不前呢？”

從本質(zhì)上講，僅僅致力于做題只是一種重復(fù)訓(xùn)練，它確實(shí)能讓我們解題更順暢，但對(duì)解題能力的真正發(fā)展卻不能起很大的作用.著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞講過：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧.”所謂回顧，就是指解題后的反思.那我們?cè)撊绾芜M(jìn)行反思呢？

解完一道題，我們首先應(yīng)該對(duì)這道題作進(jìn)一步的思考：答案是否合理？解題過程是否使用了題中所有的條件？思路是否嚴(yán)密？題目所要求的問題都解決了嗎？……反思整個(gè)解題過程，能使我們及時(shí)修正解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

例1 [2012年高考數(shù)學(xué)陜西卷（理科）第8題] 兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有

（A） 10種 （B） 15種 （C） 20種 （D） 30種

解析： 由題目可知先贏三局者獲勝，所以很多同學(xué)理解成打五局的比賽.如果甲獲勝，他只要在五局比賽中贏三局就可以了，因此甲勝乙的可能情形有=10種.同理，乙勝甲對(duì)應(yīng)的可能情形也有=10種.因此所有可能出現(xiàn)的情形共有20種，選C.

反思： 答案確實(shí)是20種，但我們有必要問一句：一定是賽五局嗎？按比賽規(guī)則，如果甲從第一局起連贏三局，經(jīng)過三場(chǎng)比賽就獲勝了.可見，“先贏三局者獲勝”意味著誰先贏三局誰就取勝，不一定要打滿五局.

若設(shè)甲勝乙，比賽結(jié)果可以分3種： 3 ∶ 0，3 ∶ 1，3 ∶ 2.其中3 ∶ 0共有1種情形； 3 ∶ 1共有=3種情形：甲在前3局中輸了1局，第4局獲勝； 3 ∶ 2共有=6種情形：甲在前4局中輸了2局，第5局獲勝.共計(jì)1+3+6=10種情形.同理，乙勝甲也有10種情形.因此所有可能出現(xiàn)的情形共有20種.

例1中的解法求得了正確答案，可以算是“瞎貓碰到了死耗子”.如果我們把這種解法改進(jìn)一下，也能使之成為正確解答.

“先贏三局者獲勝”意味著比賽結(jié)束時(shí)，最多需要比五場(chǎng).以甲勝乙為例，我們可以把甲獲勝看作從5個(gè)大小相同且編號(hào)分別為1，2，3，4，5的小球中任取3個(gè)，則甲獲勝的情形有=10種.同理，乙獲勝的情形也有10種，故所有可能出現(xiàn)的情形共有20種.通過這樣的思考，我們就能把例題中“無厘頭”的解答變得道理十足，并順勢(shì)得出一個(gè)恒等式：1++=.推廣到一般形式，則有+++…+=，證明該式時(shí)只要將看成即可！反思的作用由此可見一斑.

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是縱橫交錯(cuò)、相互聯(lián)系的，所以很多數(shù)學(xué)問題的解法并不唯一.解完題后，還應(yīng)該從多個(gè)角度思考，看看是否還有其他解法.通過探求一題多解，可以防止思維定勢(shì)，找出最合適的解題方法，并及時(shí)總結(jié)各類解題技巧，以便在今后更快捷地解決問題.

例2 [2012年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)卷（理科）第13題] 已知向量a，b的夾角為45°，且a=1，2a-b=，則b= .

解析一： 已知條件為2a-b=，a=1，且向量a，b的夾角為45°，只要把式子2a-b=兩邊同時(shí)平方，就可以得到一個(gè)關(guān)于b的二次方程并求出b.2a-b2=（）2即4a2-4a·b·cos45°+b2=10，代入a=1，整理得b2-2b-6=0.因?yàn)閎≥0，所以b=3 （b=-舍去）.

反思： 由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，所以求解向量問題時(shí)，我們還可以建立坐標(biāo)系，用代數(shù)方法解決；或構(gòu)造幾何圖形來解決.

解析二： 在平面直角坐標(biāo)系中，令a=，b=.因?yàn)橄蛄縜，b的夾角為45°且a=1，所以可設(shè)點(diǎn)A（1，0），B（t，t）（t>0），故2a-b=（2-t，-t），2a-b==，整理得2t2-4t-6=0，由t>0可得t=3 （t=-1舍去），所以b==3.

解析三： 如圖1所示，根據(jù)題意構(gòu)造△ABC，使=2a，=b，∠BAC=45°.由題意可知=2a-b，所以CB=.由余弦定理可得CB2 =AB2+AC2-2AB·AC·cos45°，設(shè)b=x，代入a=1，有10=4+x2-2·2x·cos45°.因?yàn)閤=b≥0，所以x=3（x=-舍去），即b=3.

反思： 例2涉及向量的數(shù)量積和向量的模的運(yùn)算.解析一直接利用公式a·b=a·b·cosθ與b2=b2求出答案. 解析二通過建立坐標(biāo)系，把問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；解析三根據(jù)題設(shè)信息構(gòu)造三角形，運(yùn)用余弦定理來求解.不同的解法有不同的優(yōu)點(diǎn)，套用一句廣告語：“總有一款適合你！”

解完一個(gè)題以后，我們最好想一想：命題的逆命題是否成立？題中有沒有蘊(yùn)含規(guī)律性的內(nèi)容？問題經(jīng)過拓展，能否得到一般性的結(jié)論？養(yǎng)成這種“打破砂鍋問到底”的習(xí)慣，有助于提升思維深度，提高認(rèn)知水平.

例3 [2011年高考數(shù)學(xué)山東卷（理科）第22題第（1）問] 已知?jiǎng)又本€l與橢圓C：+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩個(gè)不同的點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ =， 其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明： +和+均為定值.

解析： 如圖2所示，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)x1=x2，y1=-y2.因?yàn)镻（x1，y1）在橢圓上，所以+=1 （①）.又S△OPQ=2··x1·y1= （②），x1≥0，y1≥0 （③），聯(lián)立①②③可解得x1=，y1=1. 此時(shí)+=3，+=2.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m. 由△OPQ存在可知l不過原點(diǎn)，所以m≠0.將y=kx+m代入+=1，整理得（3k2+2）x2+6kmx+3（m2-2）=0.因?yàn)橹本€l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，所以Δ=36k2m2-4（3k2+2）·3（m2-2）=24（3k2+2-m2）>0，即3k2+2>m2.

又由韋達(dá)定理得x1+x2=-，x1x2=，所以PQ=·=·.因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離d=，所以S△OPQ=PQ·d=···==，整理得3k2+2=2m2.因?yàn)閙≠0，所以3k2+2=2m2滿足3k2+2>m2.

將3k2=2m2-2代入+=（x1+x2）2-2x1x2=-2-2·，可得+=3. 故+=（3-）+（3-）=4-·（+）=2.

綜上所述，+=3，+=2，均為定值，結(jié)論成立.

反思： 如果做完例3就把它丟在一旁，那真是非?？上?觀察題目，它似乎包含了一些規(guī)律性的內(nèi)容，因此，我們有必要自問自答以下幾個(gè)問題：

（1） 只要△OPQ的面積為定值，+和+就一定為定值嗎？通過研究我們可以發(fā)現(xiàn)，若S△OPQ≠，就不一定能得出3k2+2=2m2，則+和+不一定為定值.

（2） S△OPQ=，+=1，+=3，+=2這些數(shù)據(jù)與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1中的a，b是什么關(guān)系？這個(gè)問題體現(xiàn)了由特殊到一般的思考方式.如果推廣到一般情況，似乎能得出“當(dāng)S△OPQ=ab時(shí)，+=a2，+=b2”的結(jié)論.

（3） 如果橢圓方程為+=1，那么當(dāng)△OPQ的面積為多少時(shí)，+和+就一定為定值？這個(gè)定值是多少？如果上一問的結(jié)論成立，則這一問的結(jié)論顯而易見.

（4） 如果+或+取定值，△OPQ的面積能否為定值？如果是定值，這兩個(gè)定值與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1中的a，b是什么關(guān)系？這是對(duì)原題的反向提問，也是對(duì)問題的逆向思考.事實(shí)上，只有當(dāng)+=a2或+=b2時(shí)，△OPQ的面積才能為定值，且滿足S△OPQ=ab.

通過對(duì)這幾個(gè)問題的思考和驗(yàn)證，我們可以得到以下結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)S△OPQ=ab時(shí)，+=a2，+=b2. 于是我們繼續(xù)拓展思維：在雙曲線或拋物線中是否存在類似的結(jié)論呢？

經(jīng)常對(duì)問題作出合理的猜想和適度的拓展，勢(shì)必能提高我們分析問題和解決問題的能力，更重要的是能讓我們形成創(chuàng)新思維，提升主動(dòng)提出問題的能力.

數(shù)學(xué)問題的表現(xiàn)形式是多種多樣的，如果孤立地看，這些題目像一粒粒沙子，很難聚合起來.要找出題目間的聯(lián)系，把它們?nèi)缤渲轫?xiàng)鏈一樣串起來，更需要通過反思，逐步形成自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

（1） 解題后要反思題目的實(shí)質(zhì)，比較手中的題目和以前解過的題目，看看它們是否存在聯(lián)系.如果有聯(lián)系的話，解法又有什么差別？能不能把它們的解法歸納到同一種題型中去？

比如例2中講到的處理向量問題的三種方法，就是我們通過反思得到的解決向量問題的通法.

（2） 對(duì)于我們做過的那些“形似而神不似”的數(shù)學(xué)問題，在總結(jié)時(shí)要注意比較問題的區(qū)別和解法的差異，以便更有針對(duì)性地解決問題，避免錯(cuò)解的發(fā)生.

比如， f（x）

（3）反思問題能否拓展時(shí)，我們可以從以下幾個(gè)方面入手：

①觀察問題中數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)，改變條件中的數(shù)據(jù)，考慮類似的結(jié)論是否成立.如例3中反思的問題（1）和（3）.

②判斷命題的逆命題是否成立，即把問題的結(jié)論看成條件，把條件看成結(jié)論，再考慮命題能否成立.如例3中反思的問題（4）.

③尋找問題的規(guī)律，想想問題是否具有普遍意義.比如，題中的數(shù)據(jù)能否用一般的字母來代替？如果改變解析幾何問題中的圓錐曲線（如將橢圓換為雙曲線），問題的結(jié)論是否仍舊成立？

反思是數(shù)學(xué)解題過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié).對(duì)解題思路、解題過程的反思，可以幫助我們判斷解題過程是否正確；對(duì)解題方法的反思，可以促使我們優(yōu)化解題過程，拓寬解題思路；對(duì)問題的拓展與推廣的反思，可以讓我們加深對(duì)問題的理解，提升思維高度；對(duì)各類題型的反思，可以幫助我們總結(jié)、歸納、辨別與此相關(guān)的問題，達(dá)到做一道題會(huì)一類題的效果.可以說，反思的實(shí)質(zhì)，就是通過對(duì)有限道題目的學(xué)習(xí)，去領(lǐng)悟那種解無限道題目的數(shù)學(xué)機(jī)智.