數(shù)學教學中常見解題錯誤分析及解決策略

祝東應，徐麗華

教師認真分析學生出現(xiàn)的解題錯誤，可以充分了解學生的錯誤思維過程，從而改進習題教學方法，促使學生對知識的理解與運用。那么，在實際教學中，教師該如何探尋學生錯誤的成因，并通過行之有效的解決策略，使這些錯誤資源成為學生學習新知的生長點呢？對此，本刊特推出一組文章，供教師參考探討。

美國心理學家桑代克認為，“學習是一種漸進的嘗試錯誤的過程”，沒有錯誤就沒有真正意義上的學習。而面對學生已出現(xiàn)的錯誤，教師應該認真分析學生出錯的原因，促使學生充分暴露錯誤的思維過程，然后通過行之有效的改進，促進學生對知識的理解與運用，最終讓這些錯誤資源成為學生學習新知的生長點。

問題一：粗心大意審題不嚴

由于沒有建立起良好的學習品質，一些學生見到題目就急于解答，審題時往往走馬觀花，沒有正確提取題中的有效信息，從而導致解題錯誤。

【案例1】

題目：401班五人參加數(shù)學學科知識競賽，除小林外其余四人的平均分為73分，小林的分數(shù)比五人的平均分還要高16分。小林這次數(shù)學學科知識競賽考了多少分？

誤解：73+16=89（分）

分析：題中73分是除小林外其余四人的平均分，而小林的分數(shù)是比五人的平均分還要高16分，不是比四人的平均分高16分。學生在審題時粗心大意，沒有正確理解題目意義，導致出現(xiàn)這種錯誤。要想求小林的分數(shù)，只要求出五人的平均分。小林的分數(shù)比五人的平均分還要高16分，這16分就是用來補足四人平均分與五人平均分之間的空缺。除小林外的四人每人能補16÷4=4分，五人平均分為73+4=77分，小林分數(shù)為77+16=93分?？梢圆捎孟聢D來理解。

正解：73+16÷4+16=93（分）

學生犯此類錯誤的例子還有很多，如1小時20分鐘=（ ）分鐘？學生在初學時很容易認為答案是120分鐘。

策略一：突出主體觀念，建立良好的學習品質

當學生發(fā)生錯誤時，教師應該引導學生從自己認知的角度，通過分析、比較、判斷等過程，最終解決問題。教師在教學中還需要從學生的實際出發(fā)，培養(yǎng)學生認真審題、驗算的學習品質，良好的數(shù)學學習品質可以使學生終身受益。認真審題就是看清題目的要求，弄清題目的算理，讓學生在題目的關鍵部位做上標記，以便加深對題目的理解。認真驗算是保證解題正確性的關鍵，在教學中教師要讓學生體會驗算的必要性，把驗算作為解題過程的基本環(huán)節(jié)之一，真正做到數(shù)學結果形成的過程與數(shù)學結果并重。

問題二：思考不全面，對題目中隱含的條件未能正確提取

數(shù)學題中經(jīng)常會有一些雖然沒有明顯呈現(xiàn)，卻又對解題起著至關重要作用的信息，這些信息有一定的隱蔽性，很容易被學生所忽視，進而導致解題出現(xiàn)錯誤。

【案例2】

題目：一位富豪有350萬元的遺產(chǎn)，在臨終前，他對懷孕的妻子寫下這樣一份遺囑：如果生下來是男孩，就把遺產(chǎn)的三分之二給兒子，妻子拿三分之一；如果生下來是個女孩，就把遺產(chǎn)的三分之一給女兒，三分之二給妻子。結果他的妻子生了龍鳳胎（一男一女），按照遺囑的要求，妻子可以得到多少萬元的遺產(chǎn)？ （2004年全國小學奧林匹克數(shù)學競賽A卷）

誤解一：按照生男孩妻子可以得到三分之一的遺、產(chǎn)生女孩可以得到三分之二的遺產(chǎn)的遺囑，所以妻子一共可以得到： 350×+350×=350（萬元）。

誤解二：因為妻子生了一男一女，所以首先將財產(chǎn)平均分成2份。在第一份中妻子得到三分之一，在第二份中妻子得到三分之二。所以妻子一共可以得到：×350×+×350×=175（萬元）。

分析：因為富豪的遺囑是基于妻子分別生男孩和生女孩這兩個獨立的事件，所以很多學生也都是將題中的兩個條件割裂開來，因而得出以上兩種錯誤的解法。妻子最后生了一男一女，隱含了需要將題中的條件綜合起來分析，而這很容易被學生忽視。通過題意可以得出：若生男孩，兒子和妻子所得的遺產(chǎn)比為2∶1；同理，女兒和妻子所得遺產(chǎn)的比為1∶2。所以三人遺產(chǎn)的分配比為：兒子∶妻子∶女兒=4∶2∶1。

正解：綜合以上分析，妻子能得到的遺產(chǎn)為350×=100（萬元）。

策略二：強化認知沖突，尋求問題解決

教師在發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)錯誤后，應引導學生將錯誤答案與正確答案進行對比，進而分析出錯的原因，找出題中的隱含條件。由于有了認識沖突的存在，就能激發(fā)學生的興趣，調動學生的積極性，進而引發(fā)學生的積極思考。教師應當給予學生充足的時間和空間去經(jīng)歷猜想、驗證的活動過程，培養(yǎng)學生對信息進行深入觀察、比較分析的能力。學生在平時的學習中要善于積累，積極尋求不同的解題方法，促進解題思維的靈活變通。

問題三：數(shù)學概念混淆

概念是抽象的，學生對含義相近的概念容易混淆，從而在解題中出現(xiàn)錯誤。

【案例3】

題目：兩杯重量相等的鹽水，第一杯鹽與水的重量比為2∶5；第二杯鹽與水的比為1∶3。將這兩杯鹽水混合均勻，鹽與水的比為多少？

誤解：因為這兩杯鹽水的重量相等，所以將兩杯鹽水中的鹽與水的份數(shù)分別相加，再求比：（2+1）∶（5+3）=3∶8。

分析：混合鹽水中的鹽與水的比≠兩份鹽水中鹽與水的份數(shù)分別相加之比。盡管兩杯鹽水重量相同，但份數(shù)不同，第一杯為2+5=7份，第二杯為1+3=4份，所以每份對應的量也就不同，因此不能簡單地相加。

正解：第一杯鹽與水的比為2∶5，即鹽占整杯鹽水的，水占。

第二杯鹽與水的比為1∶3，即鹽占整杯鹽水的，水占。

（+）∶（+）=15∶41

類似的還有“平均速度≠速度的平均值”等，如小明從家去學校，平均每小時行4千米；下午放學回家，平均每小時行6千米。小明上學與放學回家的平均速度為多少？（解法略）

策略三：深化概念教學與強化學習的正遷移

首先，深化數(shù)學概念教學就是在學生認識概念的基礎上，對概念進行分析，以達到透徹理解并掌握概念的目的。對于較難的復雜的概念，突出關鍵詞并逐層剖析，如“最小公因數(shù)”就可以分解成“最小”與“公因數(shù)”這兩個概念的結合；相關的概念，注意類比，把一類相關概念結合在一起進行比較教學，可以加深對概念的理解。如比例與比值，整除與除盡，平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)等。其次，在對概念理解的基礎上，強化知識學習的正遷移。教師在教學過程中應注重對學生注意力、想象力、記憶力等的培養(yǎng)，并對概念開展必要的比較分析，幫助學生加深對概念的理解和辨別，增強學生的概念分析能力和解題能力，學生對概念的理解越深刻，所形成的知識結構越清晰，也就容易形成對知識的正遷移。

問題四：形成思維定勢，思考不深入

所謂思維定勢指的是先前的學習活動造成的對另一種學習活動的特殊心理準備狀態(tài)。在條件不變的情況下，思維定勢能夠使人用已掌握的方法迅速解決問題，如果解題情境發(fā)生變化，它會妨礙人們采用新的方法去解決問題，束縛創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

【案例4】

題目：王大伯想用24米長的籬笆靠墻（CD）圍成一個長方形的菜地，如何圍才能使得菜地的面積最大？

D C

A B

誤解：根據(jù)“周長一定，圍成的長方形中正方形的面積最大”去解題，將24米長的籬笆平均分成3段，即靠墻圍成一個邊長為8的正方形，此時面積為8×8=64（平方米）。

分析：“周長一定，圍成正方形的面積最大”，但此時24米的籬笆不是圍成一個正方形，而只有3條邊，這實際是一個大正方形的一半。

設AB=x，AD=y，則x+2y=24。要使長方形的面積最大，就是使得x·y取最大值，根據(jù)不等式定理：x·y=·（x·2y）≤·（）2=·（）2=72（平方米），且僅當x=2y時取得最大值。這類圍成正方形或靠墻圍成長方形，求面積的最大值，其實質都是圍成的長方形中，所有長=所有寬=總長。運用這個結論可以解決類似的更復雜的問題，如不靠墻（直接圍成正方形）、靠一面墻或靠兩面墻圍成一個或多個長方形的問題。

正解：在這題來說就是x=2y=，即圍成的長方形的長：x=12米，寬：y=6米，最大面積為12×6=72（平方米）。

類似的思維定勢還存在于學生學習乘法分配律時，如12×2+12×4=12×（2+4），學生很容易就認為12÷2+12÷4=12÷（2+4），從而出現(xiàn)錯誤。

策略四：發(fā)展學生求異思維，開展變式訓練

針對思維定勢，教學中教師要培養(yǎng)學生質疑的精神，發(fā)展他們的求異思維，養(yǎng)成獨立思考解決問題的習慣。教師需要精選一些能訓練學生解題思路、提高解題能力的例題進行分析，在分析過程中開展對學生進行一題多解、一題多變的變式訓練，激發(fā)學生解題的欲望。還可以多舉一些看似可用同樣的方法解決，實際卻需要另一種方法去解決的數(shù)學例題，讓學生感受到題目之間的本質區(qū)別，使學生突破思維定勢，達到良好的學習效果。

問題五：數(shù)學知識模型與生活實際問題之間存在理解偏差

【案例5】

題目：如圖所示，在公路m的同一側有A、B兩個村莊，要想在公路上找一點，修路到這兩個村莊，應如何設計路線，使得所修的路程最短？

偏解：如圖，根據(jù)“三角形三邊關系”及“兩點之間線段最短”的定理得出：作A點關于直線m的對稱點C，連結BC，交直線m于D點，則D點為所要找的點，修路長度為AD+BD。

分析：找出一點修路到兩個村莊，并不就一定是指自該點分別修路到A、B，實際生活中所修的公路可以有公共的部分，這樣就可以求得更小值。

在一個三角形中，到3個頂點距離之和最小的點叫作這個三角形的費馬點。

1.若△ABC的3個內(nèi)角均小于120°，在其內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。

2.若△ABC有一內(nèi)角不小于120°，則此鈍角的頂點就是三角形的費馬點。

根據(jù)以上費馬點定義，在△ABD中一定存在一點P，使得PA+PD+PB≤AD+BD，即所修最短路程不一定就是AD+BD，還有可能是PA+PD+PB等，這取決于費馬點的位置。

全解：

（1）如圖1，若∠ADB≥120°，則費馬點就為D點，所修公路為AD+BD最短。

圖1 圖2 圖3

（2）如圖2，若∠DAB≥120°，則費馬點就為A點，存在有AD+BD≥AD+AB≥AB+AE（僅當AD⊥m時取“=”）。所修公路為AB+AE最短。

（3）如圖3，給出的△ABD三個內(nèi)角均小于120°時，此類型相當于在直角梯形ABEC中找到P點，使得P點到A、B以及直線m的距離之和最小。根據(jù)費馬點定理，作∠CAP=∠EBP=60°，AP與BP交于P點，過P點作直線m的垂線，垂足為D，則D就是所要找的位置。存在PA+PD+PB值最小。

策略五：密切知識模型與生活實際的聯(lián)系

數(shù)學知識源于生活而最終服務于生活，在應用數(shù)學知識解決問題時，教師需要指出數(shù)學知識與實際生活模型的結合點，讓學生多思考知識的應用條件，以及實際生活中的限定條件與變通條件。

新課程標準指出，數(shù)學課程應致力于使人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。教師在教學過程中要善于抓住學生出現(xiàn)的錯誤，發(fā)現(xiàn)錯誤背后隱含的教育價值，引導學生通過猜測、推理、驗證等活動過程，帶著錯誤去尋求解決問題的正確方法。這樣，將學生的錯誤成為重要的課程資源，就能使每個學生在其認知基礎之上得到不同的發(fā)展。

參考文獻：

[1] 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2] 鄧友祥.小學生解題心理性錯誤原因分析與對策[J].現(xiàn)代中小學教育，1999（7）.

[3]馬文杰，羅增儒.數(shù)學題中“隱含條件”的解題功能研究[J].數(shù)學通訊，2010（8）.

[4]葉弈乾，何存道，梁寧建主編.普通心理學[M].上海：華東師范大學，1997.

[5]朱文娟.小學數(shù)學課堂學習錯誤資源有效利用的方法[J].數(shù)學學習與研究，2011（20）.

（杭州師范大學初等教育學院 310036）