構(gòu)造圖形，讓有理數(shù)的學(xué)習(xí)更精彩

吳慧琳

“有理數(shù)”是學(xué)生從小學(xué)階段的算術(shù)到代數(shù)的過渡重要階段，其中有理數(shù)的計(jì)算，既是實(shí)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)和依據(jù)，也是代數(shù)式四則運(yùn)算的重要基礎(chǔ).進(jìn)入初中的學(xué)生年齡大都是11至12歲，這個(gè)年齡段學(xué)生的思維正由形象思維向抽象思維過渡.思維的不穩(wěn)定性以及思維模式的尚未形成、方法的掌握極其重要.圖形的構(gòu)造，就是解決此類問題的一個(gè)極佳的橋梁.

一、等差數(shù)列的求和

在初一年級，等差數(shù)列的求和公式并未推導(dǎo)，如遇到等差數(shù)列的求和時(shí)，除了推導(dǎo)出等差數(shù)列求和公式再用其求解外，還可構(gòu)造圖形求解.

【例1】求1+2+3+4+…+n的值，其中n為正整數(shù).

對于這個(gè)求和問題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾相加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對n的奇偶性進(jìn)行討論.如采用數(shù)形結(jié)合的方法，借助圖形的性質(zhì)來說明，那就非常直觀了.

方法如下：如圖1，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個(gè)小圓圈排列組成的.而組成整個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值.現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個(gè)平行四邊形.此時(shí)，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個(gè)小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n（n+1）個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為n（n+1）2 ，即

1+2+3+4+…+n=n（n+1）2 .

此題也可拓展為求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數(shù).

圖1

方法一：作出一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的邊長分別為2n，n；則組成一個(gè)平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n×2n個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為n×n，即

1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

圖2

方法二：作出一個(gè)正方形（如圖2），它的邊長為n，此時(shí)小圓圈的總個(gè)數(shù)為：n×n=n2，即1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

二、等比數(shù)列的求和

在初一年級，等比數(shù)列的求和公式并未推導(dǎo)，且推導(dǎo)較為復(fù)雜，其中涉及有理數(shù)的乘方，初一學(xué)生還未曾學(xué)到，因此構(gòu)造圖形求解是極佳的求解方法.

【例2】求12 +14 +18 +116 +…+12n

的值，其中n為正整數(shù).

圖3

方法如下：分析數(shù)據(jù)，如圖3所示，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為12 的長方形，接著把面積為12 的長方形等分成兩個(gè)面積為14 的正方形，再把面積為14 的正方形等分成面積為18 的長方形，如此進(jìn)行下去……利用正方形的面積減去最后的一個(gè)小長方形的面積來求解面積和即可.由此可得：

12 +14 +18 +116 +…+12n=1-12n.

此題的作圖方法也可表示為：

圖4圖5

圖6圖7

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透，由數(shù)思形，以形思數(shù).因此，復(fù)雜的有理數(shù)計(jì)算正因?yàn)橛辛藞D形的構(gòu)造，而顯得精彩紛呈！

（責(zé)任編輯黃春香）