略談學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)理解存在的問(wèn)題及解決策略

陸志英

涉及分?jǐn)?shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的一大困惑。當(dāng)單獨(dú)進(jìn)行分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生總覺(jué)得非常簡(jiǎn)單易學(xué)，而一旦進(jìn)入分?jǐn)?shù)乘除法的學(xué)習(xí)后，老師們會(huì)突然發(fā)現(xiàn)，各種各樣的問(wèn)題如雨后春筍一樣陸續(xù)暴露出來(lái)了。雖然我們?cè)谡n堂上想方設(shè)法讓學(xué)生厘清分?jǐn)?shù)的概念，但效果總不盡如人意。最近，筆者有意識(shí)地關(guān)注了這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、實(shí)踐，形成了自己的一些認(rèn)識(shí)，并提出一些改進(jìn)策略。

一、緣起：從一道高頻出錯(cuò)題想起

在五年級(jí)教學(xué)完“分?jǐn)?shù)的意義”后，學(xué)生做“每份是總數(shù)的幾分之幾”這類(lèi)題時(shí)，正確率較高；在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時(shí)，學(xué)生做“每份是多少米”這樣的題目，正確率也很高。但當(dāng)這兩個(gè)問(wèn)題合二為一時(shí)，如在練習(xí)中經(jīng)常會(huì)碰到這類(lèi)題目：一根繩子長(zhǎng)3米，把它平均分成5段，每段是全長(zhǎng)的（ ），每段長(zhǎng)（ ），學(xué)生錯(cuò)誤相當(dāng)多。下面這題是六年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)時(shí)做的課堂練習(xí)，全班48個(gè)學(xué)生，有17個(gè)做錯(cuò)，主要錯(cuò)誤如下：

其中有一個(gè)學(xué)生為五年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)免考生，教師問(wèn)他：“平均分成7段，每段長(zhǎng)是米，你當(dāng)時(shí)是怎么想的？”“把10米長(zhǎng)的繩子平均分成7段， 求每段長(zhǎng)應(yīng)該是7÷10；不對(duì)，是10÷7，噢，不對(duì)，不對(duì)，應(yīng)該是7÷10?！边@個(gè)學(xué)生經(jīng)過(guò)“深思熟慮”之后，仍認(rèn)為應(yīng)該是米。看來(lái)，錯(cuò)誤在學(xué)生頭腦中真是根深蒂固。為什么學(xué)生在建立分?jǐn)?shù)概念時(shí)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤呢？如何使學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)的兩種意義？

二、剖析：學(xué)生出錯(cuò)原因與教師教學(xué)存在的問(wèn)題

分析學(xué)生出錯(cuò)的原因，從學(xué)生、教師角度考慮，筆者認(rèn)為主要有以下幾點(diǎn)：

原因之一是由于這類(lèi)題目中的兩個(gè)問(wèn)題非常相似（特別是所求數(shù)量沒(méi)帶單位時(shí)），許多學(xué)生區(qū)分不了這個(gè)問(wèn)題是求部分與整體的關(guān)系，還是求具體的數(shù)量。當(dāng)然其中反映出來(lái)的是學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的兩種意義的理解不夠透徹，正是認(rèn)識(shí)上的這種不足，才造成學(xué)生混淆分?jǐn)?shù)作為一個(gè)數(shù)量和作為一種關(guān)系的根源所在。因此，分?jǐn)?shù)兼具數(shù)的性質(zhì)和比的性質(zhì)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，錯(cuò)誤多與學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解不透徹有關(guān)。

原因之二是學(xué)生存在思維定勢(shì)。在低年級(jí)求每份數(shù)時(shí)，總數(shù)總是大于份數(shù)，并且能被份數(shù)整除。到了五、六年級(jí)，在求具體數(shù)量且結(jié)果不能用整數(shù)表示時(shí)，學(xué)生思維還停留在原來(lái)的水平上，一旦碰到份數(shù)比總數(shù)大，或結(jié)果不能用整數(shù)表示時(shí)，學(xué)生解題就無(wú)從下手，只能憑感覺(jué)行事了。

原因之三是由于教師在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，不能很好地把握分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)要點(diǎn)，往往就課而論，以解決本課時(shí)的知識(shí)目標(biāo)為重點(diǎn)，忽視了知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性。隨著知識(shí)難度的增加，知識(shí)結(jié)構(gòu)的逐漸整合，原本隱藏的問(wèn)題逐漸顯現(xiàn)出來(lái)。

三、追溯：教材編排反思

對(duì)于分?jǐn)?shù)意義，人教版教材分兩個(gè)階段：第一階段是三年級(jí)上冊(cè)，主要借助具體的實(shí)物和直觀圖形，把一個(gè)物體或一個(gè)圖形平均分成若干份，用分?jǐn)?shù)來(lái)表示其中的一份或幾份。第二階段是五年級(jí)下冊(cè)，把多個(gè)物體或多個(gè)圖形看做一個(gè)整體，概括出單位“1”及分?jǐn)?shù)的意義，再接著學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、初步學(xué)習(xí)怎樣求“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的問(wèn)題，此時(shí)涉及分?jǐn)?shù)的兩種含義：（1）表示一種關(guān)系；（2）表示具體的數(shù)量。從教材的編排中，可以看出有諸多不利于學(xué)生區(qū)分分?jǐn)?shù)兩種身份的因素。

1.分?jǐn)?shù)兩種意義在教材中的輕重失衡

在第一學(xué)段，教材所有內(nèi)容都是理解分?jǐn)?shù)表示部分和整體的關(guān)系，容易使學(xué)生根深蒂固地建立起“分?jǐn)?shù)就是部分和整體的一種關(guān)系”的思維模式。第二學(xué)段雖有1課時(shí)來(lái)理解分?jǐn)?shù)表示具體的數(shù)量，但相對(duì)于已建立起強(qiáng)大的“部分和整體的一種關(guān)系”來(lái)說(shuō)力量顯得過(guò)于單薄，在腦海中不能留下明顯痕跡。

2.定義分?jǐn)?shù)意義的角度較為單一

分?jǐn)?shù)既然有兩種含義，在定義分?jǐn)?shù)的意義時(shí)理應(yīng)都有所涉及，而人教版教材在分?jǐn)?shù)的意義一節(jié)中對(duì)分?jǐn)?shù)的概念表述為：一個(gè)物體或一些物體等都可以看做一個(gè)整體，把這個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。可以看出教材對(duì)于分?jǐn)?shù)這一概念的解釋角度比較單一。

3.不能利用整數(shù)中已學(xué)知識(shí)進(jìn)行正遷移

教材在編排分?jǐn)?shù)與除法、一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾時(shí)，特意繞開(kāi)整數(shù)除法中相對(duì)應(yīng)的知識(shí)，而用分?jǐn)?shù)表示一種關(guān)系去解釋?zhuān)仁箤W(xué)生對(duì)用分?jǐn)?shù)求具體數(shù)量難以接受，無(wú)法理解；又使得整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)中求具體數(shù)量的知識(shí)相隔裂，使學(xué)生的知識(shí)不能發(fā)生正遷移。

在對(duì)學(xué)生和自身進(jìn)行剖析，對(duì)教材進(jìn)行反思后，我們可以改進(jìn)教學(xué)，從而使學(xué)生少出差錯(cuò)。

四、策略：教材把握與教學(xué)改進(jìn)

策略一：有效利用遷移，簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)的兩種認(rèn)識(shí)

在初步接觸分?jǐn)?shù)之前，學(xué)生已有了在整數(shù)范圍內(nèi)求每份數(shù)、份數(shù)、倍數(shù)的基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)的意義其實(shí)與倍數(shù)、每份數(shù)的求法相關(guān)聯(lián)。所以在教學(xué)分?jǐn)?shù)意義時(shí)，應(yīng)突出分?jǐn)?shù)是對(duì)整數(shù)的一次擴(kuò)充，應(yīng)讓學(xué)生看到分?jǐn)?shù)與整數(shù)的相同之處，充分利用知識(shí)的正遷移，對(duì)學(xué)生原有的知識(shí)進(jìn)行擴(kuò)充，完善其知識(shí)體系：當(dāng)我們?cè)O(shè)定了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)后，另一個(gè)量與“標(biāo)準(zhǔn)”比較后，結(jié)果是整數(shù)就是我們以前學(xué)的知識(shí)，表示幾倍；當(dāng)與設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)比較的結(jié)果不足1時(shí)，就是現(xiàn)在要學(xué)的知識(shí)，我們用分?jǐn)?shù)來(lái)表示；而當(dāng)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是自然數(shù)1時(shí)，分?jǐn)?shù)跟整數(shù)一樣，表示具體的數(shù)。把總數(shù)平均分成若干份，求每份數(shù)的時(shí)候，與整數(shù)中每份數(shù)的求法一樣，只不過(guò)因?yàn)楝F(xiàn)在的得數(shù)不能整除而用分?jǐn)?shù)表示而已。假如我們能充分利用整數(shù)知識(shí)的正遷移來(lái)指導(dǎo)分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)，學(xué)生頭腦中的分?jǐn)?shù)就不再顯得那么特別，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的建構(gòu)就不會(huì)另起爐灶了，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)跟學(xué)生早已熟知的整數(shù)一樣，沒(méi)有什么特別。

策略二： 調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，整合分?jǐn)?shù)的兩種意義

在人教版教材中，分?jǐn)?shù)是以份數(shù)定義。其實(shí)分?jǐn)?shù)應(yīng)是兩個(gè)自然數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商，即商定義。所謂份數(shù)定義，只是初步認(rèn)識(shí)時(shí)的過(guò)渡說(shuō)法。至于比定義，則是商定義的引申。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于“能夠表示不能整除情形下平均分以后得到的那個(gè)結(jié)果的大小”。這就是說(shuō)，a能整除b（a、b都是自然數(shù)，a≠0）時(shí)，其商是整數(shù)；不能整除時(shí)，其商就是新的數(shù)，我們稱(chēng)它為分?jǐn)?shù)。

既然分?jǐn)?shù)的定義只有商定義一個(gè)，那么我們可以在學(xué)生學(xué)習(xí) “分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”后，再來(lái)學(xué)習(xí)、總結(jié)分?jǐn)?shù)的意義，把分?jǐn)?shù)的兩種意義進(jìn)行整合，明確把分?jǐn)?shù)定義為兩個(gè)自然數(shù)相除的商。如在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”后，教師就可以整合分?jǐn)?shù)兩種意義：把單位“1”平均分成n份，表示這樣的m份，相當(dāng)于求m是n的幾倍，但由于現(xiàn)在得數(shù)小于1，所以結(jié)果我們不用“幾倍”而用“幾分之幾”來(lái)表示；這樣，把分?jǐn)?shù)兩種意義整合為一個(gè)后，大大降低了分?jǐn)?shù)意義的難度，減少了出錯(cuò)的機(jī)會(huì)。

策略三：調(diào)節(jié)教學(xué)輕重，平衡分?jǐn)?shù)兩種認(rèn)識(shí)

我們從教材編排中不難看出，更多安排的是求部分與整體的一種關(guān)系，所以在教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)調(diào)節(jié)教學(xué)輕重，在教學(xué)中適當(dāng)增加分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量的比重，使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)兩種意義的理解在認(rèn)識(shí)上有所平衡。如我們?cè)诮虒W(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，可以從最基本的測(cè)量與分物入手，讓學(xué)生在剛認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，就留下深刻印象：分?jǐn)?shù)可以表示具體的數(shù)量。

測(cè)量：用1分米長(zhǎng)的繩子去測(cè)量單人課桌的長(zhǎng)

（1）學(xué)生測(cè)量后反饋：5分米多一點(diǎn)

（2）多一點(diǎn)是幾分米呢？（引導(dǎo)學(xué)生把1分米平均分成10份再測(cè)量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)是分米）

（3）說(shuō)說(shuō)分米的意思。

也可在課堂上進(jìn)行分物：把3個(gè)餅平均分給4個(gè)同學(xué)，每人分到多少個(gè)？

在本單元的教學(xué)中，教師能有意識(shí)地在課堂上調(diào)節(jié)教學(xué)輕重，適度增加分?jǐn)?shù)可以表示具體的數(shù)量的講解，學(xué)生在認(rèn)識(shí)上也會(huì)產(chǎn)生一定的重視，而不會(huì)忽略某一種。

策略四：拓展題目類(lèi)型，強(qiáng)化分?jǐn)?shù)兩種意義

除了上面幾點(diǎn)，我們還可以在課堂練習(xí)或課后練習(xí)中下工夫。一是在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系后，專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)一節(jié)練習(xí)課；二是平時(shí)每天課后，教師改變題目的情景，讓學(xué)生適當(dāng)做幾題，如：

1.把12個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每份是這些月餅的（ ），每人有（ ） 個(gè)月餅。

○○○○○○○○○○○○

2.A.把8個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每份是這些月餅的（ ），每份有 （ ）個(gè)月餅。

B.把3個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，每份是這些月餅的（ ），每份有（ ）個(gè)月餅。

C.把3個(gè)月餅平均分給4個(gè)人，3份是這些月餅的（ ）。

3.（1）一根2米長(zhǎng)的繩子，剪去它的，還剩下它的（ ）；剪去米，這根繩子還剩下（ ）。

（2）1塊燒餅的與3塊燒餅的（ ）相等。1千克的，與3千克的（ ）是一樣重的。

通過(guò)這樣分?jǐn)?shù)兩種含義的對(duì)比練習(xí)課，就可以使學(xué)生更好分辨此類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生在檢測(cè)中便不會(huì)出錯(cuò)了。