巧證勾股定理

胡一名

在學(xué)勾股定理的時(shí)候，我總覺得證明繁瑣，倒不如用求陰影部分的面積的方法來(lái)證明勾股定理。

如圖：是由四個(gè)全等直角三角形組成的圖形，試求圖中陰影部分的面積：

方法一：大正方形的面積減去小正方形面積：

c2-（b-a）2=c2-a2-b2+2ab

方法二：四個(gè)全等直角三角形的和：

12ab×4

比較方法一與方法二得出：

c2-a2-b2+2ab=12ab*4

整理上式得：c2=a2+b2（即勾股定理）

這種證明勾股定理的方法，比起常規(guī)證明來(lái)簡(jiǎn)單、明了、易懂。

有熔絲時(shí)另加），故 R（1）T= R（1）內(nèi)標(biāo)-r標(biāo)=14.4Ω，使（9）式可具體寫為 R（1）內(nèi)=14.4 +r （10）

而r的實(shí)際值與電池型號(hào)及老化度有關(guān)，據(jù)測(cè)5號(hào)普通（鋅錳）電池r從新買（E≈1.65V）經(jīng)標(biāo)稱態(tài)（E=1.5V）最后老化到×1Ω檔難調(diào)零過(guò)程中電池內(nèi)阻值約相應(yīng)為 r普≈0.4～0.6～1.1Ω：而今已取代它的優(yōu)質(zhì)（堿性鋅錳）電池的內(nèi)阻相應(yīng)為 r憂≈0.2～0.3～0.5Ω（近為前者之半）。

2.3 在×1Ω檔求電動(dòng)勢(shì)修正值E修。從（1）式已知E的測(cè)量值為E測(cè)=1.54V， 近標(biāo)稱態(tài)， 由上對(duì)普通電池取r普≈0.55Ω，用（10）（7）式 [由（4）式知Im 不受r影響， 仍取102mA] 得 E修普（≈E實(shí)普）=1.53V，系統(tǒng)誤差為△E普/E普 =（1.54-1.53）/1.53 =0.7 % ；對(duì)優(yōu)質(zhì)電池取 r優(yōu)≈0.28Ω，仿上得E修優(yōu)（≈E實(shí)優(yōu)）=1.51V，△E優(yōu)/E優(yōu)=2.0% （若多用表是用2 或1 號(hào)優(yōu)質(zhì)電池，則r優(yōu)及E實(shí)優(yōu)會(huì)比上再小些，誤差會(huì)更大些）。

2.4 多用表?yè)Q到×10Ω檔測(cè)E。系統(tǒng)誤差將減小，其理是： 由（8）式知多用表表內(nèi)阻R內(nèi)由兩部分合成，即為在電池變化時(shí)由E和r共同通過(guò)調(diào)零（電路）影響R內(nèi)的和由r 直接影響R內(nèi)的兩部分，（以一般多用表Ω檔×1Ω、…×1kΩ四擋共用一個(gè)1.5V電池例）前者重顯在最高（×1kΩ）擋，R內(nèi)的變化率△R內(nèi)調(diào)/R內(nèi)最大有百分之幾（<10%），在其它較低檔以近1/10比率衰減；后者重顯在最低（×1Ω）擋， 本題為2%[注1]，在其它較高檔也以1/10比率衰減。故在×10Ω檔 ∣△R（10）內(nèi)調(diào)/R（10）內(nèi)∣<10%/102=0.1%，∣△r/R（10）內(nèi)∣=2%/10=0.2%，由（8）～（6）式知 ∣△E/E∣（10）=∣△R（10）內(nèi)/R（10）∣<0.3%. 明顯比×1Ω檔時(shí)（2%）小。

3 分析隨機(jī)誤差，算電動(dòng)勢(shì)測(cè)量的不確定度

3.1 電動(dòng)勢(shì)測(cè)量的不確定度 今算由儀表基本誤差引發(fā)的在表針偏轉(zhuǎn)示值（格）時(shí)隨機(jī)誤差帶來(lái)的對(duì)E測(cè)量的不確定度。其中多用電表調(diào)零表針指示滿刻度Nm時(shí)，隨機(jī)誤差最大值（對(duì)C=2.5級(jí)電表，下同）達(dá)2.5%，不可忽視；同時(shí)它還影響對(duì)電位器的調(diào)節(jié)引發(fā)表內(nèi)阻R內(nèi)的誤差，但因?qū)嶋H多用表是分流調(diào)零，經(jīng)算R內(nèi) 的最大隨機(jī)誤差在×1kΩ檔小于0.1%（其它檔更?。┛陕杂?jì)。故在微分時(shí)R內(nèi)可視作恒量。為便探算沿[解2]思路。先將（5）式寫成對(duì)數(shù)式 lnE =lnIA+lnNm-lnN +lnR內(nèi) （11）

對(duì)上式兩邊取微分（代誤差），以IA、Nm和N為變量（R內(nèi)為常量），有 dE/E =dIA/IA+dNm/Nm-dN/N （12）

用U代d表示不確定度，對(duì)單次直接測(cè)量的不確定度用儀器誤差限代之，故有 UIA=C%IAm 和UNm=UN=C%Nm （C為表頭準(zhǔn)確度等級(jí)，同上取C=2.5級(jí)），由上[并經(jīng)（4）式變換] 得電動(dòng)勢(shì)測(cè)量的相對(duì)不確定度式

若沿[解1]思路，先由（3）（4）式得R外=（Im/I-1）R內(nèi)=（Nm/N -1）R內(nèi)仿上算得表針示值R外時(shí)的不確定度式 UR外，再代到由（1）式算得的對(duì)E測(cè)量的不確定度式[UE/E ]中（經(jīng)變換）也可得（13）式 。

3.2 表針最佳示值位置。由（13）式知，為減小[UE/E]，既要求電流表表針示值IA靠近其滿刻度IAm ，也要求多用表表針示格N（或電流I）靠近其電流滿刻度Nm （或調(diào)零電流Im），又因IA=I，這還要求電流表量程IAm選與Im相等或相近。當(dāng)I（=IA）=Im=IAm時(shí)，[UE/E]min=4.3%. （但這是理想值，因電流表有內(nèi)阻，I

以本題例，將數(shù)據(jù)（Nm=50.0，N=25.9， IAm=60.0mA，IA=53.0mA）代入（13a）式，得 [UE/E]= 6.1%.

現(xiàn)選IAm近Im（=102mA ）的100mA，若電流表用原表改裝，算得內(nèi)阻 RA=5.6Ω[注2]， 調(diào)電阻箱電阻至零，則 R外=RA=5.6Ω，E用修正值1.51v（優(yōu)質(zhì)電池），取r≈0.3Ω，由（10）式R內(nèi)=14.7Ω，再由（1）式IA=I=E/（R內(nèi)+R外）=74.4mA，后由（13b）式得 [UE/E ]=5.4%（<6.1%）；若用高中物理課本（選修3-1）P-51例2中電流表，改成100mA量程后RA=0.3Ω， 調(diào)電阻箱電阻R0=0.1Ω，I可達(dá)100mA， 相應(yīng) [UE/E]=4.4% （近理想值）。

為減小系統(tǒng)誤差，改用×10Ω檔時(shí)，因該檔表內(nèi)阻較穩(wěn)定用標(biāo)稱值150Ω，調(diào)零電流Im=E/R內(nèi)=1.51/150=10.1mA，IAm選（近Im的）10mA，同樣有當(dāng)R外（≥RA）愈小，IA（=I）愈近IAm（≈Im）時(shí)，[UE/E ]也愈小。

4 為減小測(cè)E誤差建議調(diào)整本題的設(shè)置

（1）多用電表?yè)Q至×10Ω檔（為減小系統(tǒng)誤差）

（2）電流表應(yīng)選低內(nèi)阻且量程宜為10mA [以適應(yīng)（1）（3）項(xiàng)]。

（3）操作時(shí)調(diào)節(jié)電阻箱電阻使兩表針各自指在近電流滿刻度處（為減小不確定度）。

[注1] 由題設(shè)R（1）內(nèi)標(biāo)=15.0Ω， 而 r標(biāo)=0.6Ω，已算得對(duì)優(yōu)質(zhì)電池E修優(yōu)=1.51V近標(biāo)稱態(tài).近取內(nèi)阻r=0.3Ω， 得在 ×1Ω檔 ∣△r/R（1）內(nèi)∣=∣（0.3-0.6）/15.0∣= 2%.

[注2] 由題圖2（c）知電阻箱電阻為R0=4.6Ω， 則題中電流表內(nèi)阻為 RA0=R外-R0=14-4.6=9.4Ω，令n為量程擴(kuò)大倍數(shù)，改裝成100mA后電流表內(nèi)阻變?yōu)?RA=RA0/n=9.4/（100/60）=5.6Ω.