一道中考題的多視角解法

徐強(qiáng)

【關(guān)鍵詞】中考題 多視角 解法

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）05B-

0085-02

一道數(shù)學(xué)題從多視角解答，不僅能讓學(xué)生掌握多種解題技巧，還可以幫助學(xué)生培養(yǎng)全方位觀察問題的習(xí)慣?！耙活}多解”能夠讓學(xué)生多角度、多層次地深入理解數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)解題能力，學(xué)生的思維也會變得更靈活，解題思路會更開闊，應(yīng)變能力也隨之增強(qiáng)。本文將以一道中考題來展現(xiàn)多視角解法的操作。

一、試題呈現(xiàn)

如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（0，-4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B（-2，0），C（4，0）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線y=x2+bx+c向上平移個(gè)單位長度、再向左平移m（m>0）個(gè)單位長度，得到新拋物線。若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長.

二、解法展示

本題（1）（2）問解答略，對于問題（3）的解答可從以下角度來思考。

視角1：圖形構(gòu)造，大見成效。

1.與相似同行。

解法一：在y軸正半軸上取點(diǎn)M，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠OBN=45°

∴∠NBA+∠NAB=45°

又∵∠OMB+∠OAB=∠ACB=45°

∴∠NBA=∠OMB

又∵∠BAN=∠MAB

∴△BAN∽△MAB

∴=

20=2·AM

∴AM=10

根據(jù)對稱性，當(dāng)M在y軸負(fù)半軸時(shí)，AM=2。

綜上所述AM=10或2。

解法二：在y軸正半軸對取一點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD∥BM。

∴∠OAD=∠BMO，∴∠BAD=45°

∴△BAD∽△BCA，∴AB2=BD·BC

∴BD=，∴OD=

∵AD∥BM

=

∴MO=6

∴AM=10或2.

2.與直角三角形融合

①用方程思想滲透

解：如圖，由A（0，-4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；在y軸正半軸上取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MH⊥AB，∴∠HBM=∠ACB=45°，假設(shè)OM的長度為x，所以BM2=x2+4。

∴HM=HB=，在Rt△HMA中，+（+2）=（x+4）2

∴x=6（負(fù)值已舍）.

②用相似聯(lián)姻

解：同上圖，可由△BAO∽△MAH，得=，

∴=

∴BH=2，BM=2，

∴MO=6，

∴AM=10或2

③用函數(shù)配合，同上圖，

設(shè)M（0，a），

∵AB解析式：y=2x-4，

∴HM解析式：y=x+a，

∴交點(diǎn)H（，），

∴HM2=a2+4，

=（）（a+4），

∴a=6

∴AM=10或2.

視角2：圖形變換，精彩再現(xiàn)。

變換1，解：把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，B點(diǎn)落在y軸上，記為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DH⊥AC

∵∠OMB+∠OAB=∠ACB

又∵旋轉(zhuǎn)

∴∠OAB=∠OCD

∴∠DCH=∠OMB

∴tan∠DCH=tan∠OMB

∴=

=

∴MO=6

∴AM=10或2.

注：利用相似也可求出MO的長

變換2，把△AOB沿y軸翻折B點(diǎn)在x軸正半由記為D，過點(diǎn)D作DH⊥AC，證明同上。（解略）

視角3：兩角和的正切公式，高屋建瓴解。

tan（∠OMB+∠OAB）=

=

=

∵∠OMB+∠OAB=∠ACB=45°

∴tan（∠OMB+∠OAB）=1

∴==1-

=

∴MO=6

∴AM=10或2.

三、教學(xué)啟示

1.讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的“威力”。2011版新課標(biāo)變化之一是由傳統(tǒng)的“雙基”變?yōu)椤八幕?，基本思想是新增?nèi)容之一，基本思想主要指基本的、重大的數(shù)學(xué)思想與方法，是能使學(xué)生終身受益的那些思想從中可以凸顯。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，知識是基礎(chǔ)，方法是中介，思想才是本源，有了上位思想的統(tǒng)領(lǐng)，其它兩者才能結(jié)合并上升為學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧。

因此在我們的教學(xué)中，需要讓學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。在本題的解題過程中，如數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、化歸思想、割補(bǔ)思想、數(shù)學(xué)建模思想等得到全面體現(xiàn)，而這些思想為學(xué)生解題能力的提高都有著不可小視的作用。

2.讓學(xué)生體會圖形全等變換的“魅力”。初中階段圖形全等變換有3種，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折。通過圖形變換實(shí)現(xiàn)“分散”變“集中”，“隱蔽”變“明顯”體現(xiàn)割補(bǔ)思想等。在我們的教學(xué)中若能讓學(xué)生領(lǐng)會這種解題的實(shí)質(zhì)，并能合理使用，將能有效提高學(xué)生的思維品質(zhì)，進(jìn)一步拓展學(xué)生的空間概念，為后繼學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

3.讓學(xué)生掌握解決問題的“通法”。通法是指解決問題一般的、通用的方法。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該以“授人以魚不如授之以漁”為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生看見某知識點(diǎn)聯(lián)想某思路，如本題出現(xiàn)45°的角，聯(lián)想構(gòu)造直角三角形這一基本圖形；出現(xiàn)角的和，聯(lián)想割補(bǔ)思想等。求線段的長，嘗試通過全等三角形、相似、三角函數(shù)、函數(shù)等知識的靈活使用。讓學(xué)生明白，思考問題通法優(yōu)先，讓學(xué)生掌握通法是解決中考壓軸題的基本策略之一。當(dāng)然，平時(shí)借助這些數(shù)學(xué)思想活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能真正培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力。實(shí)現(xiàn)思想教學(xué)的目標(biāo)，由“兩能”發(fā)展為“四能”。

（責(zé)編 韋 力）