依托青島版數(shù)學(xué)教材，培養(yǎng)小學(xué)生推理能力

李強強

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷出某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：

合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。

1 教材編寫體現(xiàn)對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)

1.1 合情推理在教材中的體現(xiàn)。

合情推理是指"合乎情理"的推理。數(shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向。一般來講，合情推理包括類比推理、歸納推理和統(tǒng)計推理等。

1.1.1 從個別到一般，在歸納推理中培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。

歸納推理是指由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理。比如，《三角形的內(nèi)角和》的編排體現(xiàn)了教材對學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng)。在學(xué)生認識了平角之后，教材通過引導(dǎo)學(xué)生通過量、拼、折等方法發(fā)現(xiàn)銳角三角形的三個角加起來正好是180度，直角三角形的三個角加起來是180度，鈍角三角形的三個角加起來也正好是180度。從而發(fā)現(xiàn)無論是銳角、直角還是鈍角三角形，只要是三角形，它的內(nèi)角和就都是180度。教材從直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和分別都是180度這些個別性知識，推出了"一切三角形內(nèi)角和都是180度"這樣的一般性結(jié)論，體現(xiàn)了教材對學(xué)生歸納推理能力的注重和培養(yǎng)。

1.1.2 從特殊到特殊，在類比推理中培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。

類比推理是指由兩類對象具有某些類似特性和其中一類對象的某類已知特性，推出另一類對象也具有這些特性的推理。比如，《乘法運算律》的編排體現(xiàn)了編者對學(xué)生類比推理能力的培養(yǎng)。在第一單元中學(xué)生們已經(jīng)學(xué)過了加法交換律和加法結(jié)合律，在本信息窗中，學(xué)生通過解決問題發(fā)現(xiàn)了兩種算法的得數(shù)相等，通過舉例驗證發(fā)現(xiàn)"三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘再乘第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相乘再乘第一個數(shù)，它們的積不變。"這與前面學(xué)過的"三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加再加第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相加再加第一個數(shù)，它們的和不變。"（加法結(jié)合律）非常的類似，而且這種規(guī)律也是叫結(jié)合律。從而推斷加法作為一種運算，具有交換律和結(jié)合律，那乘法作為加法的一種簡便運算，也應(yīng)該有交換律和結(jié)合律。

1.1.3 從舉一到反三，在統(tǒng)計推理中培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。

五年級上冊《條形統(tǒng)計圖》后面習(xí)題的設(shè)計也體現(xiàn)了編者對學(xué)生合情推理（統(tǒng)計推理）能力的培養(yǎng)。因為是對駕校五年來培養(yǎng)學(xué)員數(shù)量變化情況的統(tǒng)計，所以學(xué)生在選擇了折線統(tǒng)計圖表示這些數(shù)據(jù)后，非常容發(fā)現(xiàn)該校2002年～2006年培訓(xùn)學(xué)員數(shù)量整體是呈上升趨勢的。在這樣一個認知礎(chǔ)上，教材提出了"2007年該駕?？赡芘嘤?xùn)學(xué)員多少人？并說明理由"的問題。根據(jù)前面的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生自然會想到2007年培訓(xùn)學(xué)員的數(shù)量應(yīng)該大于2006年，因為近幾年來的學(xué)員數(shù)都是呈上升趨勢的，所以2007年參加培訓(xùn)的學(xué)員數(shù)肯定要比2006年多。學(xué)生能夠做出這樣的一個推斷，他思維中所經(jīng)歷的過程就是根據(jù)數(shù)據(jù)的表征做出推理和解釋的過程，也就是統(tǒng)計推理的過程。

1.2 演繹推理在教材中的體現(xiàn)。

演繹推理是指從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論。比如，六年級上冊《分數(shù)的四則運算》中，教材通過算法的多樣化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩種算法其實就是乘法分配律的表現(xiàn)形式。從而引發(fā)學(xué)生的思考：整數(shù)的運算律會不會也適用于分數(shù)呢？為了驗證這一猜想，教師引導(dǎo)著學(xué)生通過舉例子等方法來進行進一步證明，例如：等等，從而得出結(jié)論"整數(shù)運算定律也同樣適用于分數(shù)"。這些例子的列舉，其實就是學(xué)生按照已有的整數(shù)乘法運算律的規(guī)則來列式、計算和證明的，這就是典型的演繹推理。

2 課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略

2.1 培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的策略。

2.1.1 策略1：以實際問題為線索，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生推理能力。

青島版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫以密切聯(lián)系學(xué)生生活的素材構(gòu)成"情境串"引發(fā)

一系列問題，形成"問題串"，進而將整個單元的內(nèi)容串聯(lián)在一起。使學(xué)生在解決一連串現(xiàn)實的有挑戰(zhàn)性問題的過程中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

如：青島版六年級下冊第四單元《快樂足球--比例尺》。

【教學(xué)片段】

師：觀察這幅情境圖，你了解到什么信息？

生：研究戰(zhàn)術(shù)需要畫一個足球場的平面圖。

（學(xué)生根據(jù)自己的想法獨立畫圖，教師巡視。）

師：同學(xué)們，我們先來看一看這幾位同學(xué)們畫的。

這一幅畫的怎么樣，像嗎？

生：像。

師：這一幅呢，像不像？

生：像

師：這一幅呢？

生：不像！

師：同樣的長方形，為什么有的同學(xué)畫得像，有的同學(xué)畫得不像呢？咱們

找這幾個同學(xué)自己來說一說，他們是怎么畫的，好不好。

以上這個教學(xué)片段，教師選取了學(xué)生喜聞樂見的足球比賽的情境，通過討論同樣的一個足球場，為什么有的同學(xué)畫出的平面圖像，有的畫得不像，激發(fā)學(xué)生對比例尺知識的探索和學(xué)習(xí)，這是提升學(xué)生推理能力的重要基礎(chǔ)和前提。

2.1.2 策略2：在猜想-實驗--驗證中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

①大膽猜想，合理推測：

牛頓曾說過"只有大膽的猜想，才有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明"。任何一項發(fā)明都是從大膽猜想開始的，但大膽猜想不是胡亂猜想，而是要猜測的有理有據(jù)。如，五年級上冊《平行四邊形的面積》。

【教學(xué)片段】

教師拿出平行四邊形的卡片

師：它的面積怎樣計算？你能大膽猜想一下嗎？

生1：底×高。

師：這位同學(xué)大膽提出了自己的猜想，敢想敢說。老師把你的猜想記下來。還有誰愿意把你的猜想表達出來？

生2：這兩條邊相乘。

師：你來指一指。大家看，這條邊是平行四邊形的底，這條邊是和這條底邊相鄰的邊，我們就叫它鄰邊吧。老師也把你的猜想記下來，那就是底×它的鄰邊。

師：在剛才大家的猜想中，都提到了平行四邊形的底、高和它的鄰邊。為了便于研究，老師給出這幾個數(shù)據(jù)，算算每種猜想的結(jié)果是多少？第一種。

生齊答：28cm？。

師：這個呢？

生齊答：35cm？。

師：到底哪種猜想對？

……

在上面的教學(xué)中，教師為學(xué)生提供了猜想平行四邊形面積的幾個主要數(shù)據(jù)，這時的課堂上雖然只出現(xiàn)"平行四邊形的面積等于底乘高"和"平行四邊形的面積等于底乘鄰邊"兩種不同的想法，但這兩種想法學(xué)生都能講清猜想的根據(jù)，猜想的有理有據(jù)。

②動手操作，驗證結(jié)論：

學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)或生活經(jīng)驗提出了自己對新問題答案的猜想，那么究竟

學(xué)生的猜想是否正確呢，這時老師就需要引領(lǐng)著學(xué)生進行驗證。

【教學(xué)片段】

師：哪個小組愿意介紹一下你們是怎樣驗證的？

（1）數(shù)方格的方法

生：我們小組是數(shù)方格數(shù)出來的。

師：到前面來數(shù)數(shù)看，你們是怎樣數(shù)的？

生邊指大屏幕，邊數(shù)：1、2、3……22。

師：數(shù)出22個整格，再怎么數(shù)？

生：把不滿一格的合起來數(shù)。

師：平行四邊形有28個1 cm？的小方格，它的面積就是28 cm。驗證了這個猜想是正確的。

（2）轉(zhuǎn)化的方法

生：我們小組是把平行四邊形沿著這條高剪下來，拼過去變成長方形。我們量了量長方形的長是7厘米，寬是4厘米，這個長方形的面積是28 cm？，所以平行四邊形的面積就是28 cm。

師：這個長方形的面積是28 cm？，這個平行四邊形的面積就是28 cm？嗎？

生齊答：是。

師：為什么？

生：因為剪拼的都是這一塊，沒有變，所以它們的面積是相等的。

師：我聽出來了，大家的意思是整個圖形在剪拼過程中沒有增加，也沒有減少，它們的面積是相等的，長方形的面積是28 cm？，平行四邊形的面積也就是28 cm？。這個猜想又一次得到了驗證。

從開始猜想平行四邊形面積的計算方法，到后來驗證平行四邊形面積的計算方法，學(xué)生們經(jīng)歷著從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過轉(zhuǎn)化等方法歸納出結(jié)論的整個過程，很好地培養(yǎng)了孩子們的合情推理能力。

2.1.3 策略3：通過新舊知識的遷移培養(yǎng)學(xué)生推理能力。

數(shù)學(xué)是一門邏輯嚴謹性和系統(tǒng)性很強的學(xué)科，前面的知識是后面知識的基

礎(chǔ)，后面的知識是前面知識的延伸。老師要善于把前后知識有機的聯(lián)系起來，使學(xué)生進行知識的順利遷移，以提高他們的推理能力。如：六上《分數(shù)四則混合運算》。

【教學(xué)片段】

師：同學(xué)們，我們一起來看這個分數(shù)四則混合運算的式子，誰來說一說，剛才我們在計算的時候，是先算的什么，又算的什么呀？

生：先算天壇公園的四分之一是多少，再算故宮的占地面積是多少。

師：也就是我們先算了乘法，再算的加法，對吧？

講到這兒，你有什么想法？

生：我覺得分數(shù)四則混合運算的運算順序應(yīng)該跟整數(shù)四則混合運算的運算順序相同。

師：回想一下，整數(shù)四則混合運算的運算順序是怎樣的？

生：有括號的要先算括號里面的，再算括號外面的；有乘除、有加減，要先算乘除后算加減； 如果是同一級運算，就按照從左往右的順序依次進行計算。

師： 既然大家都同意分數(shù)四則混合運算的運算順序與整數(shù)四則混合運算相同，那誰來說一說，分數(shù)四則混合運算的運算順序應(yīng)該是怎樣的？

生：……

以上片段的設(shè)計，教師充分利用學(xué)生已有的整數(shù)四則混合運算的知識經(jīng)驗喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生結(jié)合具體情境探索，充分觀察，對比體驗，體會分數(shù)四則混合運算的順序，體驗數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，將新知識納入知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展了學(xué)生的抽象概括能力和初步的推理能力。

2.2 培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的策略。

2.2.1 策略1：轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生演繹推能力。

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一個重要思想。任何一個新知識，總是原有知識發(fā)展和轉(zhuǎn)化的結(jié)果。比如六年級上冊《分數(shù)除以整數(shù)》。

【教學(xué)片段】

通過以上環(huán)節(jié)的設(shè)計我們看到，在遇到新問題時，學(xué)生們都有意識的將這種不會的新知識轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的舊知識，通知舊知識來解決新知識中的問題。各種方法之間也加以互相驗證，結(jié)果相同，說明思路正確，非常好的發(fā)展了學(xué)生的演繹推理能力。

2.2.2 策略2：高效習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力。

習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，它能使學(xué)生在練習(xí)的過程中體驗到優(yōu)化的解題策略，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維和演繹推理能力。比如，六年級下冊《正比例和反比例》。

【教學(xué)片段】

師：同學(xué)們，剛才我們在知道了 和XY=3的情況下，成功判斷了X和Y成什么比例關(guān)系。還想接受挑戰(zhàn)嗎？

生：想

師：已知2X=3Y，判斷X和Y成什么比例關(guān)系？

生：……

師：可以小組討論一下。

師：哪個小組已經(jīng)有答案了，來說說你們的想法。

生1：我們組通過表格的方法，先假設(shè)X的值分別為1，2，3，4……然后根據(jù)關(guān)系式2X=3Y，算出對應(yīng)的Y的值，最后，我們通過列式的方法計算出 （一定），X和Y的商一定就說明X和Y成正比例關(guān)系。

生2：我們是根據(jù)比例的基本性質(zhì)，將"2X=3Y"推導(dǎo)成" = （一定）"，從而判斷出X和Y成正比例關(guān)系。

生3：……

從以上環(huán)節(jié)可以看出，在解決問題的整個過程中，不管學(xué)生選擇了哪種方法進行判斷，他們都經(jīng)過了一定的推理的過程，通過觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，來逐一推導(dǎo)，最終得到推理出最后的結(jié)果。

總之，演繹推理的主要功能在于驗證結(jié)論，而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。真理的發(fā)現(xiàn)永遠要靠合情推理。但我們不能說這兩種推理哪種更重要，而是要去強調(diào)兩者的結(jié)合。因為在解決一個問題時，我們要運用合情推理（也就是生活已有經(jīng)驗）去思考、去解決；也要用演繹推理去理論的、科學(xué)的驗證。兩者相輔相成，缺一不可。推理做為數(shù)學(xué)的基本思維方式，必須貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程當(dāng)中。