一類微分經(jīng)濟(jì)模型的非線性動力分析

卯興聰?趙澤福?趙燕春

本文建立了考慮借貸消費(fèi)及借貸投資的經(jīng)濟(jì)周期模型，對模型的動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，在此基礎(chǔ)上，分析了該系統(tǒng)的分岔和混沌行為，討論了參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的變化和轉(zhuǎn)遷規(guī)律，研究發(fā)現(xiàn)選擇合理的宏觀調(diào)控力度，能夠控制借貸消費(fèi)率及借貸投資率，從而對我國的解決發(fā)展起到明顯的促進(jìn)作用。

引言

國內(nèi)外有不少學(xué)者專家對經(jīng)濟(jì)周期模型進(jìn)行了研究分析，取得了非常豐富的研究成果。1930年法國的Corbeiller提出可以基于非線性動力學(xué)的混沌分岔理論對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。隨后，基于非線性動力學(xué)理論對經(jīng)濟(jì)微分系統(tǒng)進(jìn)行分析成為學(xué)界的共識。1950年，Goodwin通過改進(jìn)希格斯的消費(fèi)函數(shù)，并結(jié)合時(shí)滯系統(tǒng)的思想，建立了一個(gè)非線性“乘數(shù)-加速數(shù)”經(jīng)濟(jì)周期模型，在該模型中，他通過非線性動力學(xué)理論研究了系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在參數(shù)變化時(shí)會出現(xiàn)周期極限環(huán)等典型的非線性動力學(xué)特征。隨后，Puu同樣以希格斯消費(fèi)函數(shù)為基礎(chǔ)建立了一個(gè)考慮非線性投資函數(shù)的周期經(jīng)濟(jì)學(xué)動力系統(tǒng)模型，重點(diǎn)對該模型的局部和全局動力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行詳細(xì)研究。

我國學(xué)者也對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的非線性動力學(xué)展開了廣泛的研究。李偉通過對綜合消費(fèi)函數(shù)和投資函數(shù)進(jìn)行綜合考慮，并考慮自發(fā)性函數(shù)項(xiàng)，建立了一類新的經(jīng)濟(jì)動力學(xué)模型。文獻(xiàn)研究時(shí)考慮了時(shí)滯項(xiàng)對系統(tǒng)的影響，得到了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的判別式條件，從而研究了系統(tǒng)的周期與非周期特性。

綜上所述，包含消費(fèi)函數(shù)、投資函數(shù)、時(shí)滯等因素的經(jīng)濟(jì)學(xué)動力系統(tǒng)，往往包含有周期項(xiàng)，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)了典型的周期倍化分岔、Hopf分岔、極限環(huán)等多種非線性響應(yīng)。在參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)隨著動力學(xué)參數(shù)的變化，經(jīng)濟(jì)模型動態(tài)響應(yīng)也隨之改變。

本文針對一類非線性周期經(jīng)濟(jì)動力學(xué)系統(tǒng)，建立了考慮多種參數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)微分方程，重點(diǎn)研究了基于借貸模式的經(jīng)濟(jì)周期的非線性模型，通過非線性動力學(xué)理論對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行求解分析。本文的研究對于宏觀經(jīng)濟(jì)政策決策有一定的理論指導(dǎo)意義。

基于借貸消費(fèi)的經(jīng)濟(jì)周期模型

借貸消費(fèi)起源于美國，近年來在中國開始逐漸研究借貸消費(fèi)對我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響。特別是經(jīng)濟(jì)危機(jī)的出現(xiàn)，使得越來越多的專家學(xué)者開始對借貸消費(fèi)的優(yōu)劣更多關(guān)注。因此，如何合理利用和控制借貸消費(fèi)，成為經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。

式（6）表示的系統(tǒng)中，外部激勵(lì)項(xiàng)f為國家宏觀調(diào)控的力度，下面研究系統(tǒng)隨該參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性。當(dāng)f連續(xù)變化時(shí)，以f=0.4275為系統(tǒng)的周期倍化分岔臨界值。在分岔點(diǎn)附近，系統(tǒng)的軌線的拓?fù)浣Y(jié)果有實(shí)質(zhì)性的差異，焦點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，極限化由無到有，由大到小，且極限環(huán)的周期性發(fā)生了明顯改變從周期2變?yōu)橹芷?，如圖2a～b所示。

（一）f=0.4275是系統(tǒng)分岔臨界值，可以發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)隨著系數(shù)的波動出現(xiàn)了模型的周期性波動，而且隨著參數(shù)改變，系統(tǒng)的周期同樣明顯改變。這與世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展確實(shí)存在周期波動完全一致。

（二）f=0.423左右，系統(tǒng)在該參數(shù)沒有出現(xiàn)周期解。出現(xiàn)了明顯的混沌現(xiàn)象，這樣的現(xiàn)象說明，系統(tǒng)在該參數(shù)下是混沌的，暗示這樣的參數(shù)條件下該系統(tǒng)可能爆發(fā)經(jīng)濟(jì)危機(jī)。由于經(jīng)濟(jì)危機(jī)比如影響到世界經(jīng)濟(jì)的正常發(fā)展和前進(jìn)，而且這樣的狀態(tài)具有隨機(jī)遍歷性，因此對任何經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)都是十分危險(xiǎn)的。需要努力去控制，因此，使得中國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于混沌狀態(tài)。因此，要避免經(jīng)濟(jì)危機(jī)對中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的危害，保證經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長，宏觀調(diào)控的力度一定要保持在0.4230以上。

（三）當(dāng)f的取值從依次減小時(shí)候，極限環(huán)的半徑也在依次變大。這說明f的值越大，發(fā)生一個(gè)經(jīng)濟(jì)周期所經(jīng)歷的時(shí)間越長，即經(jīng)濟(jì)發(fā)展相對穩(wěn)定。

（四））f的值越小，發(fā)生一個(gè)經(jīng)濟(jì)周期所經(jīng)歷的時(shí)間越長，而且經(jīng)濟(jì)發(fā)展的波動性較大。

綜上，我們可以發(fā)現(xiàn)外部干擾f對系統(tǒng)的影響較大，我們可以通過加以較小的外力干擾就可以使經(jīng)濟(jì)由混沌狀態(tài)進(jìn)入到確定狀態(tài)。隨著f的變化，要想使得經(jīng)濟(jì)由混沌狀態(tài)進(jìn)入到確定狀態(tài)，需要施加的外力 也需要不斷增加。在現(xiàn)實(shí)中，這就說明當(dāng)宏觀調(diào)控力度較小時(shí)，政府使用比較單一的經(jīng)濟(jì)調(diào)控手段就可以控制經(jīng)濟(jì)的發(fā)展方向，而當(dāng) 較大時(shí)，政府需要聯(lián)合使用較多的經(jīng)濟(jì)調(diào)控手段才可以控制經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。

結(jié)論

本文建立了考慮借貸消費(fèi)及借貸投資的經(jīng)濟(jì)周期模型，對模型的動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，在此基礎(chǔ)上，分析了外部干擾項(xiàng)對該系統(tǒng)的分岔和混沌行為的影響規(guī)律，得到參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的變化和轉(zhuǎn)遷規(guī)律，研究發(fā)現(xiàn)選擇合理的外部控制項(xiàng)，能夠?qū)ο到y(tǒng)的周期與非周期性產(chǎn)生十分明顯的作用，達(dá)到控制借貸消費(fèi)率及借貸投資率的目的，從而對我國的解決發(fā)展起到明顯的促進(jìn)作用。

（作者單位：云南昭通學(xué)院）