高中數(shù)學(xué)空間距離專題講授方法探討

龍偉成

【摘要】空間距離是立體幾何的重要內(nèi)容，常常在考試中出現(xiàn)，該種題目的難度一般在中等難度之上，在解題時常常需要與其他的證明現(xiàn)結(jié)合，因此，空間距離的教學(xué)效果對于數(shù)學(xué)教學(xué)效果有著直接的影響。本文主要探討通過對例題的分析來探討高中數(shù)學(xué)空間距離專題講授方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；空間距離；專題講授方法

空間距離是立體幾何的重要內(nèi)容，常常在考試中出現(xiàn)，該種題目的難度一般在中等難度之上，在解題時常常需要與其他的證明現(xiàn)結(jié)合，因此，空間距離的教學(xué)效果對于數(shù)學(xué)教學(xué)效果有著直接的影響。本文以《空間距離》為例，探討高中數(shù)學(xué)空間距離的專題講授方法。

1 教學(xué)目標(biāo)的確定

空間距離的教學(xué)目標(biāo)包括以下幾個方面：首先，傳授距離的概念，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力和觀察能力；其次，培養(yǎng)學(xué)生的立體感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，同時，要精心的設(shè)計(jì)練習(xí)題，幫助學(xué)生對空間距離的知識進(jìn)行梳理，并將學(xué)到的知識融合到自身的數(shù)學(xué)知識體系之中。

2 教學(xué)方法的設(shè)計(jì)

空間距離的內(nèi)容較多，包括點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)與線之間的距離、點(diǎn)與面之間的距離、平行線之間的距離、異面直線之間的距離、平面中平行線與平面之間的距離、兩個平行平面的距離。在以上幾種內(nèi)容之中，點(diǎn)與面之間距離的求解是教學(xué)中的重點(diǎn)，異面之間直線距離的求解是教學(xué)中的難點(diǎn)，以下就以幾道題目為例，探討空間距離的求解方式。

例1 如圖1 ，ABCD為空間四邊形，AB=AC=BC=CD=BD=a，其中，E、F為AB和CD的中點(diǎn)。求AB到CD間的距離，證明EF是AB和CD的公垂線。

圖1

解答：連接AF、BF，可知AF=BF，由于AE=BE，因此，F(xiàn)E⊥AB交AB與點(diǎn)E，同理，EF⊥DC交DC于F，因此，EF為AB和CD的公垂線。

在Rt△BEF中，BE=1/2a，BF= /2a，因此，EF?=BF?-BE?=1/2a，那個EF= /2a，因此，EF為AB、CD的公垂線，AB到CD間距離為 /2a。

例1是典型的空間距離求解問題，其中牽涉到公垂線的證明問題，公垂線的證明較為簡單，如例1所示，只要將AF、BF相連，即可根據(jù)相關(guān)公垂線定理證明EF就是AB和CD的公垂線，關(guān)于AB到CD間距離的計(jì)算，在得出公垂線后，就可以勾股定理計(jì)算得出。在考試中，很多題目都是該種類型題目變形組合而來，類似這種題目求解方式就是根據(jù)空間垂線的定理來判斷和計(jì)算。

一般情況下，求解異面直線間距離的方法為：利用圖形的性質(zhì)找出公垂線，求出公垂線長度，如果兩條異面之間中一條直線與另一條直線平面平行，就可以轉(zhuǎn)換為直線到平面的距離，如果異面直線在了兩個相互平行的平面之中，就可以轉(zhuǎn)化為求平面間的距離。除此以外，要讓學(xué)生明確三垂線的定理，關(guān)于三垂線的應(yīng)用，關(guān)鍵就是找出平面垂線，在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)變思維，從不同的角度分析和理解問題，對于空間距離的計(jì)算來說，有兩個難點(diǎn)，即找和計(jì)算，為了突破這兩個難點(diǎn)，在課堂上要重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會計(jì)算點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離，只要學(xué)生可以掌握這兩種計(jì)算方法，那么其他的計(jì)算也能夠迎刃而解。

例2 圖2多面體是由底面ABCD長方體被截面AEC1F截面得到，AB=4，BC=2，BE=1，CC1=3，求BF長度；點(diǎn)C到AEC1F的距離。

圖2

求解方式：經(jīng)E作EF∥BC，交CC1于H，那么EH∥AD，CH=BE=1，EH=AD

∵C1H=DF=2，∴ C1EH= FAD，Rt△ADF Rt△EHC1

∵DF=C1H=2，∴BF=

延長C1E與CB相交于G，連接AG，那么平面AEC1F與平面ABCD相交于AG，經(jīng)過點(diǎn)C作CM⊥AG，連接C1M，根據(jù)三垂定理可以得出，AG⊥C1M，因此，平面AEC1F⊥C1MC，在Rt△C1CM中，經(jīng)過點(diǎn)C作CQ⊥MC1，那么CQ長度就是C到AEC1F的距離。

，那么BG=1，AG= ，

GAB= MCG，那么CM=3cosMCG=3cosGAB= ，

∴CQ

例2是一道典型的空間立體幾何問題，求解起來也比例1 要復(fù)雜，但是，只要做出平行線，并根據(jù)三垂線定理也可以一目了然的計(jì)算出結(jié)果，這類題目的解題策略就是“化繁為簡”，只要經(jīng)E作EF∥BC，交CC1于H，延長C1E與CB相交于G，連接AG，那么就可以構(gòu)成一個平面，再利用余弦定理、勾股定理就可以逐步得到C到AEC1F的距離。

在求空間距離時需要注意三個問題，首先要遵循一作二證三計(jì)算的步驟，其次，要利用轉(zhuǎn)化的概念求出面面和線面之間的具體；在計(jì)算過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)就是在“一作”上，即作出異面直線的公垂線段，由于這種方法對學(xué)生的基本功要求較高，因此，可以教學(xué)生利用轉(zhuǎn)化法來求解空間距離。關(guān)于兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，可以使用距離公式來計(jì)算，如果圖形特殊，則可以建立好坐標(biāo)系，作出兩點(diǎn)坐標(biāo)，帶入公式即可得出結(jié)果。在計(jì)算點(diǎn)到直線距離時，一般的解題方式是尋找和構(gòu)造三角形，再利用等面積法來計(jì)算出點(diǎn)線之間的距離，尋找和構(gòu)建的三角形應(yīng)該一般選擇等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等，關(guān)節(jié)的求解步驟就是要計(jì)算出三角形的面積，在計(jì)算出面積后，就可以使用等面積法來計(jì)算出需求的結(jié)果。

3 總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)空間距離的教學(xué)中，切忌不能選擇繁瑣的解題方法和解題思路，可以適當(dāng)?shù)膫魇诮o學(xué)生相關(guān)的解題技巧，但是要注意到，在空間距離的教學(xué)中依然要將基本的思路作為教學(xué)重點(diǎn)傳授給學(xué)生。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉立偉.高中數(shù)學(xué)空間距離專題講授方法探討[期刊論文]，延邊教育學(xué)院學(xué)報，2010，06（20）

[2]朱慧娟.高中數(shù)學(xué)課堂高效教學(xué)模式構(gòu)建策略研究——以高中幾何教學(xué)為例[期刊論文]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013，02（05）