芻議高中數(shù)學“概念”教學過程性的方法

李園

概念是進行判斷、推導推理的基礎，清晰的概念是正確思維的前提。由于數(shù)學概念是反映空間形式和數(shù)量關系的本質屬性，數(shù)學概念具有高度的抽象性、概括性、系統(tǒng)性等特點。所以數(shù)學概念不是學生通過簡單的記誦、記憶就能形成的，它需要借助于學生自己主動的思維思考、積極的建構才能產(chǎn)生成型。理解數(shù)學概念就意味著去建立概念的系統(tǒng)，確定概念之間的依存關系，這就要求在數(shù)學概念的教學中，教師應充分展現(xiàn)其形成過程。

一、 揭示概念的形成過程

數(shù)學中每個重要概念的產(chǎn)生歷經(jīng)了前人長期觀察、比較、分析、抽象、概括、創(chuàng)造了漫長過程，其形成過程蘊含著數(shù)學的思想方法、數(shù)學創(chuàng)造方法，展現(xiàn)數(shù)學概念形成過程的教學可使學生領悟形成概念的方法，鍛煉思維品質，激發(fā)學習興趣，增強內在活力。使其在學習過程中處于亢奮狀態(tài)。

讓學生從大量具體例子出發(fā)，從他們實際經(jīng)驗的肯定例證中，以歸納方式概括出一類事物的共同本質屬性，從而獲得概念叫概念的形成。概念可分為以下幾個心理活動階段，以函數(shù)概念為例進行闡述。

⑴觀察實例，學生觀察下列事例中，指出變量與變量的關系。

①以40米/小時速度行駛的汽車，行駛的路程s與時間t。

②用圖表給出的某水庫的存水量Q與水深h。

③某一天氣溫F與時刻t。

④某一次考試的班級學生成績m與學號n。

⑤一個數(shù)y是另一個x的平方。

⑵分析共同屬性。分析各實例的屬性，并綜合出共同屬性。如上例中各實例的共同屬性有：①抽象地看成兩變量間關系②一個變量隨另一個變量變化而變化③一個變量每取定一個值，另一個變量有唯一確定的值與它對應。

⑶抽象出本質屬性，經(jīng)過猜想，假設等過程，最后得到一個變量每確定一個值，另一個變量也唯一確定一個值與之對應，這是本質屬性。

⑷比較正反實例，確認本質屬性，如例④中反過來n未必是m的函數(shù)；例⑤中開平方x=+y 也不是函數(shù)，強化本質屬性，排除非本質屬性。

⑸概括出概念含義，把抽象出的本質屬性推廣到同類事物，給出名稱。這時還需要進一步區(qū)分各種本質屬性的從屬關系，找出關鍵的本質屬性下定義。

二、 揭示概念的同化過程

利用學生認識結構中原有的概念和知識經(jīng)驗，以定義方式直接向學生提示概念的本質屬性，從而獲得概念的方式叫概念的同化。以“一元二次方程”概念教學為例，提示其同化過程。

⑴觀察概念的定義，名稱和符號，揭示概念的本質屬性，例如學習“一元二次方程”

這個概念，首先觀察它的定義——含有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其本質屬性有：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)為二次，是整式方程。

⑵對概念進行分類，討論各種特殊情況，進一步突出概念的本質屬性，

⑶把新概念系統(tǒng)化，把新概念同化到原認知結構中去。如上例，學生把一元二次方程同化到原有關于方程的認知結構之中，區(qū)分一元二次方程與方程，一元一次方程，分式方程，整式方程等概念，并形成一個關于方程概念的系統(tǒng)。

概念同化的學習過程，以學生間接經(jīng)驗為基礎，要求學生具備較豐富的知識經(jīng)驗，并具有積極思維能力和較高的心理活動水平，但比較省時。

三、 重視概念的建構過程

建構主義認為，學習的過程是一個主動建構的過程，建立起新的認知結構，是其經(jīng)驗與認識的投入和重建，是一種具有探索性的再創(chuàng)活動。要求教師是數(shù)學建構活動的深謀遠慮的設計者、組織者、參與者、指導者和評估者。現(xiàn)以“直線的傾斜角與斜率”一節(jié)教學為例。

⑴闡述實際意義，建立概念。黑板上畫兩個邊長差別很大的正方形，請學生用一三角板畫出它們的對角線（其中一個正方形的對角線長度小于三角板的邊長，另一個正方形的對角線長度大于三角板的邊長），小正方形的對角線容易畫出，但大正方形的對角線卻使 學生陷入困境，讓學生自己去選擇方法和探索認證，思考畫直線的理論依據(jù)除兩點確定一條直線外，還有由點與方向確定一定直線，這樣便自然產(chǎn)生了“直線的傾斜角”的概念，進而反思，討論用角和數(shù)進行運算的不便后，建立起斜率的概念

⑵揭示本質，理解概念。引進斜率概念后，針對關鍵詞進行分析，學生思考之余提出：“討論繞點（2，3）按逆時針方向旋轉一周的直線斜率變化情況如何？通過畫圖，利用運動的觀點解決問題，從而進一步認識了傾斜角和斜率的概念的聯(lián)系與區(qū)別及它們取值范圍和變化趨勢，通過建構活動，同化或順應于學生的認知結構。

⑶深入分析比較，深化概念

斜率和傾斜角納入原有認知結構后，提出問題：過點P（1，1），Q（2，3）的直線的傾斜角與斜率各是多少？鼓勵學生探索、創(chuàng)造建立兩個新的“解析成果”與最基本“解析成果”――點的坐標的關系，討論、概括學生的思路：

直線上兩點坐標——————直線斜率

正切值的坐標表示——————直線傾斜角

如此則形成了斜率坐標公式的推導思路，通過重建充實了原認識結構。

⑷加強應用，鞏固概念。

選擇典型的循序漸進的題組進行鞏固，建立起相應的應用模式。如：

①直線過點（1，4），（3+1，1）其傾斜角和斜率各是多少？

②已知直線過點P（3，4），Q（-2-m，-m+5），當m為何值時，直線與x軸平行？當m為何值時，直線與y軸平行？當m為何值時，其傾斜角為3π/4？

③已知點M（-4，7），N（2，15）若直線1傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，則1的斜率為多少？

這樣學生在問題激發(fā)下主動建構，從形成概念、掌握本質，直至融概念于原認知結構中，建立起新的認知結構，相對獨立地完成數(shù)學建構活動，達到概念理解深刻、全面。

四、組織概念的系統(tǒng)化、整體化的過程。

數(shù)學中許多概念的理解和掌握不是一次可以完成的，教師應有計劃地使學生不斷豐富和加深理解?？梢酝ㄟ^單元復習，階段復習，甚至是垮學年地總結的方式使所學的有關概念系統(tǒng)化和整體化，組織學生概括、歸納，不斷豐富概念的內涵和外延，充實認知結構。

例關于“角”的概念的深化與系統(tǒng)化

⑴平面角：①一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形（靜態(tài)定義）②以一條射線的端點為頂點旋轉所形成的圖形，逆時針旋轉為正角，順時針為負角，不作旋轉為零角。

⑵異面直線所成的角：在空間任意取一點，分別引兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角，叫做兩條異面直線的所成的角。

⑶直線與平面所成的角。若直線在平面內或與平面平行，則所成角為00；若直線與平面垂直，則所成的角為900；平面內一條斜線和它在平面內射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角。

要對角的概念形成一個良好的認知結構，還需要進一步抽象與概括出都是在“平面角”基礎上發(fā)展與推廣；反之，空間角又都是轉化為“平面角”來表示。這樣建立起穩(wěn)固的認知結構、數(shù)學思想方法和解題模式。

總之，在概念教學中要根據(jù)新課標對概念的具體要求，要創(chuàng)造性的使用教材，優(yōu)化概念教學設計，把握概念教學過程，真正使學生在參與的過程中產(chǎn)生內心的體驗和創(chuàng)造，以達到認識數(shù)學思想和數(shù)學概念本質的目的。