基于《勾股定理》的同課異構(gòu)分析淺談“創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)教材”

陳瑤

摘要：創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對(duì)教材的靈活運(yùn)用和對(duì)課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強(qiáng)的課程意識(shí)，準(zhǔn)確把握教材編寫(xiě)意圖和教學(xué)目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中教師的專(zhuān)業(yè)化水平將得到飛速提高。

關(guān)鍵詞：教師；教材使用；創(chuàng)造性；勾股定理

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）50-0153-02

本次課程改革無(wú)論是在課程設(shè)置上還是在課程內(nèi)容及教材編排方式的更新上都給教師提供了廣闊的創(chuàng)造空間。它帶來(lái)教學(xué)觀念、方式的一大改變，就是要求打破原有的教學(xué)觀、教材觀，創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)教材。這就要求教師在充分了解和把握課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科特點(diǎn)、教學(xué)目標(biāo)、教材編寫(xiě)意圖的基礎(chǔ)上，以教材為載體，靈活有效地組織教學(xué)，拓展課堂教學(xué)空間。創(chuàng)造性地使用教材是教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式綜合優(yōu)化的過(guò)程；是課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容與學(xué)生生活實(shí)際相聯(lián)系的結(jié)晶；是教師智慧與學(xué)生創(chuàng)造力的有效融合。

一、創(chuàng)造性的使用教材的內(nèi)涵

創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對(duì)教材的靈活運(yùn)用和對(duì)課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強(qiáng)的課程意識(shí)，準(zhǔn)確把握教材編寫(xiě)意圖和教學(xué)目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中教師的專(zhuān)業(yè)化水平將得到飛速提高。

那究竟如何來(lái)創(chuàng)造性地使用教材呢？筆者擬通過(guò)人教版八年級(jí)下冊(cè)《勾股定理》一課來(lái)具體闡述。在人教版的教學(xué)建議中，明確指出：《勾股定理》一課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生了解勾股定理的歷史背景，體會(huì)勾股定理的探索過(guò)程，掌握直角三角形的三邊關(guān)系。為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，不同的教師創(chuàng)設(shè)任務(wù)的方式也有所不同。

二、課堂再現(xiàn)

課例1

1.提出問(wèn)題。T：相傳兩千五百多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情地歡樂(lè)。只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚發(fā)呆，原來(lái)朋友家的地面是用直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪就過(guò)去詢(xún)問(wèn)，誰(shuí)知畢達(dá)哥拉斯突然站起來(lái)，大笑著跑回家了，他發(fā)現(xiàn)了直角三角形的某一些性質(zhì)。同學(xué)們，你知道畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么性質(zhì)？你能發(fā)現(xiàn)什么？S1：我發(fā)現(xiàn)圖中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我發(fā)現(xiàn)以直角邊為邊做出的正方形的兩個(gè)面積之和等于斜邊為邊做出的正方形面積。T：我們發(fā)現(xiàn)A+B=C，由于這個(gè)三角形為特殊的直角等腰三角形。我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形，它們的面積是否依然存在這樣關(guān)系？

2.解決問(wèn)題。T：接下來(lái)我們一起來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)，大家看下圖。A、B、C面積之間有什么關(guān)系？邊長(zhǎng)a、b、c之間存在什么樣的關(guān)系？

老師發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)不會(huì)算C的面積，于是請(qǐng)會(huì)算的同學(xué)說(shuō)說(shuō)計(jì)算思路。

S：我用的方法是補(bǔ)的，就是把這樣以c為邊的斜的正方形補(bǔ)成一個(gè)正放的大正方形。

先算出大正方形的面積，減去4塊直角三角形的面積就得出C的面積了。

T：非常好，有沒(méi)有不同的方法？

S：我用的是分割的方法。我把這個(gè)大的正方形割成4個(gè)直角三角形和1個(gè)小的正方形。我們可用三角形的面積加上中間小正方形就是大的正方形的面積。

T：非常好。接下來(lái)，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)想一下，直角三角形三邊可能存在哪些數(shù)量關(guān)系？

S：a2+b2=c2

3.揭示本質(zhì)。T：我們剛才進(jìn)一步驗(yàn)證我們的猜想a2+b2=c2是成立的。那對(duì)于一般的直角三角形，兩直角邊為a、b斜邊為c，是否都有a2+b2=c2？不要忘記，剛才我們?cè)谇蟠笳叫蔚拿娣e是如何求的？它給我們什么啟示？其實(shí)歷史對(duì)證明勾股定理有許多種，而我們中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的證明思想是“以盈補(bǔ)虛，出入相補(bǔ)”。

T：2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)放在北京舉行，大會(huì)的會(huì)徽正是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽關(guān)于勾股定理證明的草圖。同學(xué)們，請(qǐng)拿出紙筆證明一下。

S：我用大的正方形的面積等于四個(gè)直角三角形加上小正方形的面積。

T：運(yùn)用面積不變，用割補(bǔ)的方法我們可以得到a2+b2=c2。

4.描述定義。T：下面我們給出勾股定理的表述。

命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵△ABC為直角三角形，∠C=90°∴AC2+BC2=AB2

5.教學(xué)總結(jié)。T：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們學(xué)了勾股定理，那你學(xué)到了什么？S：用割補(bǔ)法進(jìn)行勾股定理的證明。T：對(duì)，我們講了中國(guó)古代以盈補(bǔ)虛的數(shù)學(xué)思想，那這種以面積來(lái)證明勾股定理的方法同時(shí)也體現(xiàn)了我們的數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合的思想。這節(jié)課你還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法？S：從特殊到一般。T：我們從特殊的等腰直角三角形入手再探究有整數(shù)邊的直角三角形，最后到一般直角三角形的證明。

分析：張老師本節(jié)課的重點(diǎn)放在定理的證明上，讓學(xué)生充分體驗(yàn)邏輯推理的魅力。讓學(xué)生自主探索、小組合作交流，直觀理解勾股定理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，重視學(xué)生獨(dú)立思考和探索能力的培養(yǎng)，在與同學(xué)交流學(xué)習(xí)中，通過(guò)取長(zhǎng)補(bǔ)短，吸收同學(xué)意見(jiàn)，修正、完善自己的想法，探討出利用割補(bǔ)法求面積的方法，就本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容而言，掌握方法（割補(bǔ)法）和滲透學(xué)科思想（轉(zhuǎn)化的思想）與知道結(jié)果同樣重要。

課例2

1.引入課題（第一次活動(dòng)）。T：請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭?huà)面積最小的格點(diǎn)Rt△ABC，教師用實(shí)物投影展示一位學(xué)生作品即如圖△ABC，并隨即提問(wèn)：Rt△ABC中，BC=1，AC=1，你能否用計(jì)算面積法求AB的長(zhǎng)？

S：可以把四個(gè)三角形拼成一個(gè)大正方形，得到正方形的面積為2，那正方形的邊長(zhǎng)也就是AB的長(zhǎng)為■。

T：對(duì)于一個(gè)特殊的Rt△確實(shí)有a2+b2=c2，但對(duì)于一般直角三角形能成立嗎？

2.深入探究（第二次活動(dòng)）。T：請(qǐng)各組利用手中的四個(gè)全等Rt△紙板，拼出一個(gè)邊長(zhǎng)為C的正方形。（設(shè)定兩直角邊、斜邊分別是a，b，c）學(xué)生合作后擺出了如下的兩種圖案：

T：對(duì)于擺法1，大正方形面積可有幾種表示法？S：兩種，一種是c2，另一種為4個(gè)直角三角形和與一個(gè)小正方形的面積。

T：小正方形邊長(zhǎng)為多少？S：b-a，把兩種表示法等同起來(lái)（b-a）2+2ab=c2，化簡(jiǎn)整理得a2+b2=c2。

S：對(duì)于擺法2，也可得出a2+b2=c2。

3.強(qiáng)調(diào)定義。如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

4.總結(jié)拓展。T：關(guān)于勾股定理的證明方法有五百余種，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。下面我們來(lái)看幾組勾股定理證明的簡(jiǎn)單介紹（介紹劉徽?qǐng)D、加菲爾德圖），希望同學(xué)們課下也去思考一種證明勾股定理的方法。

分析：課例2中的兩次活動(dòng)都運(yùn)用了動(dòng)手操作的形式，非常符合中學(xué)生好奇性強(qiáng)的心理特點(diǎn)，幾乎所有的學(xué)生都興趣盎然地參與了整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并在教師的提問(wèn)下進(jìn)行積極的思考與探索。新課程下的學(xué)生不希望老師經(jīng)常給他們一些輕而易舉就能解決的問(wèn)題，有時(shí)他們渴望做一個(gè)探索者、研究者、論證家。而上面的兩個(gè)活動(dòng)正是為學(xué)生提供了這樣的氛圍與平臺(tái)，使學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中體會(huì)了從特殊到一般的論證思想，整個(gè)設(shè)計(jì)提倡多樣化問(wèn)題解決的思維方式，在活動(dòng)中完成了思維的不斷發(fā)展。最后老師展示了一些較為典型的證明方法激發(fā)學(xué)生思考，也為學(xué)生課下學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

三、創(chuàng)造性地使用教材

上述兩位老師都在課堂中創(chuàng)造性地使用教材，那創(chuàng)造性地使用教材究竟有哪些可取之處呢？筆者認(rèn)為有三點(diǎn)：首先，它要求教師要進(jìn)一步樹(shù)立課程意識(shí)，以新的課程觀（學(xué)生觀、教材觀、課程資源觀）來(lái)重新審視、規(guī)劃教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容和方法——以更高、更寬的眼光來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)、看待孩子，而不僅僅局限在教材和一時(shí)的教學(xué)效果。其次，教師在創(chuàng)造性使用教材中應(yīng)充分認(rèn)識(shí)明確教學(xué)目的的重要性。每節(jié)課、每次活動(dòng)都應(yīng)有明確的教學(xué)目的，而不是為了創(chuàng)造性地使用教材而輕率、刻意地去更改教材內(nèi)容等等。教學(xué)手段與教學(xué)目的和諧一致的原則是創(chuàng)造性教材使用的基本著眼點(diǎn)與歸宿。最后，希望教師們?cè)趧?chuàng)造性地使用教材的過(guò)程中獲得專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)。一是廣泛吸收各種教材的精華與長(zhǎng)處，進(jìn)行合理整合，逐步形成自己的東西；二是結(jié)合個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、研究成果和本地實(shí)際，嘗試編制富有時(shí)代氣息和地方特色的校本教材，從而進(jìn)一步豐富和完善現(xiàn)行的教材體系。當(dāng)教師在自己的教學(xué)活動(dòng)中有了明顯的課程意識(shí)和研究、探索意識(shí)，教師就不再是普通的“教書(shū)匠”，而是已經(jīng)步入到學(xué)者型、專(zhuān)家型的實(shí)踐研究者行列，其專(zhuān)業(yè)化教學(xué)水平必然得到全面發(fā)展與提高。

參考文獻(xiàn)：

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