淺談積分學(xué)中的共性

張雨田

摘要：筆者通過比較各類積分的基本概念、運(yùn)算性質(zhì)、計(jì)算方法及技巧，幫助同學(xué)們更深刻地認(rèn)識(shí)到不同類型的積分之間存在著某些共性，從而有利于學(xué)生記憶和熟練掌握多元函數(shù)積分。

關(guān)鍵詞：積分；類比；共性

中圖分類號(hào)：O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）52-0090-03

積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的重要組成部分，包括定積分，二重積分、三重積分、曲線積分（第一型與第二型）和曲面積分（第一型與第二型）。眾多學(xué)生在學(xué)完高等數(shù)學(xué)全部內(nèi)容后，都會(huì)有這樣的感想：在學(xué)習(xí)積分的過程中，數(shù)學(xué)符號(hào)描述得越來越煩瑣，概念表述得越來越抽象，計(jì)算演變得越來越復(fù)雜。一般情況下，同學(xué)們在初學(xué)定積分時(shí)會(huì)認(rèn)為較容易，在接觸二重積分時(shí)感覺還能接受，但在會(huì)晤三重積分時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生些許距離。更甚的是，部分同學(xué)在學(xué)習(xí)完曲線積分和曲面積分后，某些情況下經(jīng)常會(huì)同定積分和重積分混淆不清，從而導(dǎo)致計(jì)算方法的張冠李戴。事實(shí)上，不論是定積分，或是重積分，還是曲線（面）積分，它們同屬積分學(xué)的分支，在許多方面都具有共性，找到這些共性，然后運(yùn)用類比的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)研究，有助于我們更好地理解相關(guān)知識(shí)。

一、概念的類比

積分學(xué)的思想源于采用“元素法”求物理量。具體步驟分為四步：分割、取近似、求和、取極限。運(yùn)用這一思想，我們解決了曲邊梯形面積的求解問題，并抽象為數(shù)學(xué)語言，提出了定積分這一概念。曲邊梯形的面積便是定積分的幾何意義，而不均勻（密度不同）的直線型導(dǎo)線的質(zhì)量則是定積分的物理意義。基于定積分的物理意義，從物體的幾何形狀出發(fā)，我們的研究對(duì)象可作如下演化：導(dǎo)線質(zhì)量→薄片質(zhì)量→空間立體物體質(zhì)量，其中，導(dǎo)線質(zhì)量又分為直線型導(dǎo)線質(zhì)量和曲線型導(dǎo)線質(zhì)量，而薄片質(zhì)量可分為平面薄片質(zhì)量和曲面薄片質(zhì)量。類似于定積分的提出，運(yùn)用“分割、取近似、求和、取極限”的方法，可以用數(shù)學(xué)式子表示出不均勻曲線型導(dǎo)線、平面薄片、曲面薄片和空間物體的質(zhì)量，分別抽象為數(shù)學(xué)語言即為我們所學(xué)的第一型曲線積分、二重積分、第一型曲面積分和三重積分。不難發(fā)現(xiàn)：定積分、二重積分、三重積分、第一型曲線積分和第一型曲面積分的物理意義都是不均勻的物體質(zhì)量，區(qū)別在于對(duì)象不同。

二、性質(zhì)的類比

假設(shè)：被積函數(shù)在積分范圍內(nèi)均連續(xù)。則對(duì)于定積分，有：

（1）■αf（x）+βg（x）dx=α■f（x）dx+β■g（x）dx

（2）■dx=b-a （3）■f（x）dx=f（ξ）（b-a），ξ∈（a，b）

通過類比，不難聯(lián)想到關(guān)于二重積分有：

（4）■αf（x，y）+βg（x，y）dσ=α■f（x，y）dσ+

β■g（x，y）dσ

（5）■dσ=SD （6）■f（x，y）dσ=f（ξ，η）SD，（ξ，η）∈D

對(duì)于三重積分有：

（7）■αf（x，y，z）+βg（x，y，z）dv=α■f（x，y，z）dv+

β■g（x，y，z）dv （8）■dv=VΩ

（9）■f（x，y，z）dv=f（ξ，η，ζ）VΩ，（ξ，η，ζ）∈Ω

對(duì)于第一型曲線積分有：

（10）■（k■f（x，y）+k■g（x，y））ds=k■■f（x，y）ds+

k■■g（x，y）ds）

（11）■1ds=L0 （12）■f（x，y）ds=f（ξ，η）L0，（ξ，η）∈L

對(duì)于第一型曲面積分有：

（13）■∑（k■f（x，y，z）+k■g（x，y，z））dS=k■■∑f（x，y，z）dS+k2■∑g（x，y，z）dS

（14）■∑dS=A，（15）■∑f（x，y，z）dS=f（ξ，η，ζ）A，

（ξ，η，ζ）∈Σ

定積分、重積分、第一型曲線（面）積分均滿足線性運(yùn)算性質(zhì)、中值定理。并且，當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，相應(yīng)的積分值均只與積分區(qū)域有關(guān)，或是積分直（曲）線段的長度，或是積分平（曲）面薄片的面積，又或是積分立體物體的體積。

三、計(jì)算方法的類比

定積分的計(jì)算較簡單，主要工具是萊布尼茨公式，而重積分、曲線積分和曲面積分的計(jì)算較復(fù)雜，但最終均需轉(zhuǎn)化為定積分。

1.重積分的計(jì)算。重積分計(jì)算較復(fù)雜，主要思想是根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)，并結(jié)合被積函數(shù)的特征將重積分轉(zhuǎn)化為幾次定積分，也稱為累次積分。同學(xué)們往往在將重積分轉(zhuǎn)化為累次積分的過程中感到棘手。事實(shí)上，無論是將二重積分或是三重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，其基本原則是一致的，即在轉(zhuǎn)化的過程中要保證“積分區(qū)域中點(diǎn)的遍歷性”。如何做到這點(diǎn)？因?yàn)橹胤e分的變量有多個(gè)，所以不宜對(duì)于所有變量同時(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)考慮。能想到的方法是：在固定其中某些個(gè)變量的前提下，再來觀察剩余的變量的動(dòng)態(tài)變化。這是我們轉(zhuǎn)化重積分為累次積分的核心思想。將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分的步驟分三步：首先，找到積分區(qū)域D（平面中的有界閉區(qū)域）內(nèi)其中一個(gè)變量（或x或y）的變化范圍。不失一般性，這里我們首先考慮變量x的取值范圍。具體實(shí)現(xiàn)方法為：將積分區(qū)域D投影到x軸上，得到投影區(qū)間Lx，而Lx即為變量x的取值范圍。然后，在積分區(qū)域D內(nèi)先將變量x固定于某一定值，再看變量y的變化范圍。顯然，不同的x定值對(duì)應(yīng)著不同的變量y的變化范圍。具體實(shí)現(xiàn)方法為：在投影區(qū)間Lx上任意取定一點(diǎn)，作等x線（平行于y軸的直線）穿透區(qū)域D，不同的點(diǎn)將會(huì)引出不同的穿透直線。最后，考慮這些不同的變量y的變化范圍是否能統(tǒng)一？即是否能用同一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示出來？具體實(shí)現(xiàn)方法為：考慮對(duì)于不同的穿透直線，其穿透方式是否總是一致？即是否沿著同樣的曲線穿入，又沿著同樣的曲線穿出？如是，二重積分可直接轉(zhuǎn)化為二次定積分。如不是，則應(yīng)劃分積分區(qū)域?yàn)閹讉€(gè)小區(qū)域，然后對(duì)于每個(gè)小區(qū)域再重新實(shí)施前面所提到的三步。類比地，我們可以聯(lián)想到將三重積分化為累次積分的方法：首先，找到積分區(qū)域Ω（空間中的有界閉區(qū)域）內(nèi)其中兩個(gè)變量的變化范圍。不失一般性，這里我們首先考慮變量x和變量y的變化范圍。具體實(shí)現(xiàn)方法為：將積分區(qū)域Ω投影到xoy坐標(biāo)面上，得到投影區(qū)域Dxy，而 即為變量Dxy和變量y的變化范圍。然后，在積分區(qū)域Ω內(nèi)先將變量x及變量y固定，再看變量z的變化范圍。顯然，不同的固定實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）將會(huì)對(duì)應(yīng)著不同的變量z的變化范圍。具體實(shí)現(xiàn)方法為：在投影區(qū)域Dxy上任意取定一點(diǎn)，作等x且等y線（平行于z軸的直線）穿透區(qū)域Ω，不同的點(diǎn)將會(huì)引出不同的穿透直線。最后，考慮這些不同的變量z的變化范圍是否能統(tǒng)一？即是否能用同一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示出來？具體實(shí)現(xiàn)方法為：考慮對(duì)于不同的穿透直線，其穿透方式是否總是一致？即是否沿著同樣的曲面穿入，又沿著同樣的曲面穿出？如是，三重積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為先一（定積分），后二（二重積分）的計(jì)算。如不是，則應(yīng)劃分積分區(qū)域?yàn)閹讉€(gè)小區(qū)域，然后對(duì)于每個(gè)小區(qū)域再重新實(shí)施前面所提到的三步。

2.曲線積分和曲面積分的計(jì)算。曲線（曲面）積分的計(jì)算與重積分計(jì)算區(qū)別較大，主要原因是：積分范圍不同。重積分中積分區(qū)域是平面上的有界閉區(qū)域或是空間中的有界閉區(qū)域，積分變量之間的關(guān)系無法以函數(shù)形式表現(xiàn)；但曲線或曲面積分中的積分區(qū)域則是平面上的一段曲線或是空間中的一塊曲面，所以，多個(gè)積分變量必須協(xié)同滿足相應(yīng)的曲線方程或曲面方程，從而結(jié)合弧長微分或曲面面積微分公式可以做到：減少積分變量的個(gè)數(shù)。具體地，可以將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分，可以將曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分，再由二重積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為定積分。

四、計(jì)算簡化技巧的類比

在積分計(jì)算中，有一些常用的簡化技巧，較典型的是：當(dāng)積分區(qū)域具有一定的對(duì)稱性時(shí)，可以根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性作大大的簡化。下面，我們就定積分、重積分、第一型曲線積分和第一型曲面積分，對(duì)這一技巧作類比說明。

1.如果f（x）在[-a，a]是奇函數(shù)，有■f（x）dx=0；當(dāng)被積函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，有■f（x）=2■f（x）dx。

2.如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，則當(dāng)被積函數(shù)f（x，y）關(guān)于變量y是奇函數(shù)時(shí)，有■f（x，y）dσ=0；當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于變量y是偶函數(shù)時(shí)，有■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ，其中D1是區(qū)域D在x軸上側(cè)的部分。類似地，可討論積分區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱的情形。

3.如果積分區(qū)域Ω關(guān)于xoy面對(duì)稱，則當(dāng)被積函數(shù)f（x，y，z）關(guān)于變量z是奇函數(shù)時(shí)，有■f（x，y，z）dv=0；當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于變量z是偶函數(shù)時(shí)，有■f（x，y，z）dv=2■f（x，y，z）dv，其中Ω1是Ω在xoy面上方的部分。類似地，可討論積分區(qū)域關(guān)于 xoz面，yoz面對(duì)稱的情形。

4.如果積分曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱，則當(dāng)被積函數(shù)f（x，y）關(guān)于變量y是奇函數(shù)時(shí)，有■f（x，y）ds=0；當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于變量y是偶函數(shù)時(shí)，有■f（x，y）ds=2■f（x，y）ds，其中L1是L在上側(cè)的部分。類似地，可討論積分曲線關(guān)于y軸對(duì)稱的情形。

5.如果積分曲面Σ關(guān)于xoy面對(duì)稱，則當(dāng)被積函數(shù)f（x，y，z）關(guān)于變量z是奇函數(shù)時(shí)，有■∑f（x，y，z）dS=0；當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于變量z是偶函數(shù)時(shí)，有■f（x，y，z）dS=2■f（x，y，z）dS，其中Σ1是Σ在xoy面上方的部分。類似地，可討論積分曲面關(guān)于 xoz面，yoz面對(duì)稱的情形。

通過以上關(guān)于各類積分概念、運(yùn)算性質(zhì)、計(jì)算方法及簡化技巧的類比，可以看到：不同類型的積分在許多方面都是具有共性的，包括概念的提出，滿足的運(yùn)算性質(zhì)及計(jì)算方法和技巧，把握住這些共性，可以更好的了解和掌握積分學(xué)。當(dāng)然，在各類積分之間，絕對(duì)也存在著差異，欲了解差異是什么，則需先弄清引發(fā)差異的源頭。這里，大家可以考慮第一型曲線積分和第二型曲線積分的差異，本文不作闡述。