啟發(fā)式教學(xué)法在線性代數(shù)概念引入中的應(yīng)用

姚斌 楊玲香

摘要：以矩陣的逆一節(jié)內(nèi)容為教學(xué)實例，探討如何在《線性代數(shù)》課堂教學(xué)中運用啟發(fā)式教學(xué)法引入新的概念及相關(guān)理論，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；啟發(fā)式教學(xué)法；概念引入

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0065-02

《線性代數(shù)》是高等院校工科學(xué)生的三門數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課之一，與其他兩門數(shù)學(xué)課程（高等數(shù)學(xué)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計）不同的是，這門課程的概念多、定理多、運算規(guī)律多，并且基本概念、理論和方法具有較強的邏輯性、抽象性和實用性。通過多年的教學(xué)工作，我們發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多的學(xué)生覺得課程內(nèi)容過于枯燥、抽象，不理解其中概念及相關(guān)理論的來龍去脈，概念與概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，只會簡單記憶概念、性質(zhì)和公式，進行行列式、矩陣等的運算，而不知道如何運用《線性代數(shù)》的知識將各種實際問題抽象為一個線性代數(shù)問題并進行求解。如何將課程中抽象枯燥的概念生動形象地表達出來，產(chǎn)生相關(guān)理論的思想、方法和過程深入淺出地展現(xiàn)出來，讓學(xué)生易于理解和接受，并有意識地引導(dǎo)他們自己去發(fā)現(xiàn)概念與概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，是《線性代數(shù)》課堂教學(xué)急需解決的問題。所謂啟發(fā)式教學(xué)法[1，2]，就是教師在教學(xué)過程中，能夠使學(xué)生通過自己的能動的思考活動，領(lǐng)會和理解教學(xué)內(nèi)容，提高和發(fā)展其自立性和創(chuàng)造性，同時積極促進學(xué)生的思維活動，使他們對事物現(xiàn)象的本質(zhì)能夠自主地、容易地把握和領(lǐng)會的教學(xué)方法。下面我們以戴斌祥老師主編的《線性代數(shù)》教材中第二章第三節(jié)矩陣的逆一節(jié)內(nèi)容為教學(xué)實例，說明如何從教材內(nèi)容、教學(xué)要求和學(xué)生的實際出發(fā)，在課堂教學(xué)中運用啟發(fā)式教學(xué)法引入新的概念及相關(guān)理論。

一、深挖教材內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題情境

能否在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題情境，使問題情境與學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識建立自然的、內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，從而激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，最終生成有效的教學(xué)探索活動是數(shù)學(xué)課程開展啟發(fā)式教學(xué)成敗的關(guān)鍵?！毒€性代數(shù)》課程主要研究對象是線性方程組，主要研究內(nèi)容是線性方程組解的存在性、解的個數(shù)和解的結(jié)構(gòu)問題，研究工具包括行列式、矩陣和向量組。由于《線性代數(shù)》的概念、定理及性質(zhì)較多，零散且繁雜，這就要求教師必須鉆研教材，立足于教學(xué)要求，以課程的主攻課題為研究主線，加強即將新學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生不斷地建立和改進課程知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，促進學(xué)生對新學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的理解。教材第一章引入了行列式的定義，討論了行列式的性質(zhì)和計算方法，并介紹了行列式的一個直接應(yīng)用：克拉默法則。通過第一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生明白了行列式起源于解線性方程組，應(yīng)用行列式解線性方程組必須滿足克拉默法則的兩個前提：一是線性方程組的方程個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)要相等，二是線性方程組的系數(shù)行列式不等于零。同時，學(xué)生體會到由于計算行列式的方法比較靈活，計算工作量大，當(dāng)系數(shù)行列式的階數(shù)較大時用克拉默法則解線性方程組是不適用的。教材第二章第一節(jié)從所要研究的一般的線性方程組（m個方程n個未知量）引入了矩陣的定義，第二節(jié)介紹了矩陣的五類運算：矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣與矩陣相乘、矩陣的轉(zhuǎn)置和方陣的行列式。到此為止，學(xué)生已經(jīng)掌握了線性方程組的矩陣形式，明白了引入矩陣實際上是希望通過研究矩陣的相關(guān)理論進一步地討論線性方程組解的理論和方法。根據(jù)以上學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有的課程知識，為了在矩陣的逆這一節(jié)的課堂教學(xué)中開展啟發(fā)式教學(xué)，我們創(chuàng)設(shè)了如下數(shù)學(xué)問題情境：數(shù)的運算定義有加法、減法、乘法、除法，有了數(shù)的除法，一元一次方程ax=b，當(dāng)a≠0時，方程的解可表示為x=b÷a，而矩陣的運算也定義有加法、減法、乘法，那么矩陣是否也可以定義一個除法，當(dāng)矩陣方程AX=B滿足一定的條件時，方程的解可表示為X=B÷A。

二、精心設(shè)計教學(xué)過程，開展富有啟發(fā)性的課堂講授

啟發(fā)教學(xué)法倡導(dǎo)教師開展啟發(fā)式的講授，而不是教師簡單告訴、學(xué)生被動接受的灌輸式的講授。也就是說，在課堂講授中，要學(xué)習(xí)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然是以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，但教師不能徑直地告訴學(xué)生有待掌握的數(shù)學(xué)知識和解決問題的過程，然后學(xué)生消極旁觀地傾聽并進行簡單的記憶和模仿，而要引導(dǎo)學(xué)生使新學(xué)習(xí)的內(nèi)容與已有認知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識建立內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，并對教師的講授做出自己的解釋，構(gòu)建新知識的意義，以此加以內(nèi)化，從而使新舊知識融為一體。這就要求教師以數(shù)學(xué)知識為載體，精心設(shè)計教學(xué)過程，使啟發(fā)指向數(shù)學(xué)思考過程和數(shù)學(xué)思維方法，并從中把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。矩陣的逆這一節(jié)的主要數(shù)學(xué)內(nèi)容教材是按如下順序安排的。

為了充分暴露數(shù)學(xué)思維過程，形成啟發(fā)態(tài)勢，我們以創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)問題情境為起點，對教材內(nèi)容按照知識的發(fā)生發(fā)展及數(shù)學(xué)家的思維過程和思維方法進行教學(xué)法加工，引入教學(xué)內(nèi)容中矩陣的逆矩陣及矩陣的伴隨矩陣這兩個重要概念。

1.矩陣的逆矩陣定義的引入。首先，回顧數(shù)的乘法與矩陣的乘法的異同，說明由于數(shù)的乘法滿足交換律，為此一元一次方程ax=b與xa=b同解，當(dāng)a≠0時，方程的解可表示為x=b÷a，而矩陣的乘法不滿足交換律，矩陣方程AX=B與XA=B（假設(shè)AX和XA都滿足乘法定義）不一定同解，故無法找到直接定義矩陣除法的方法。另一方面，類比于數(shù)的除法是數(shù)的乘法的逆運算，b÷a=b×■=b×a-1，啟發(fā)學(xué)生通過定義矩陣的逆，并結(jié)合矩陣的乘法間接實現(xiàn)矩陣的除法去求解相應(yīng)的矩陣方程，即當(dāng)矩陣A滿足一定的條件時，矩陣方程AX=B與XA=B的解可分別表示為X=A-1×B和X=B×A-1。通過這樣的討論，學(xué)生很容易就明白了為什么要定義矩陣的逆，而沒有定義矩陣的除法。與此同時，原來創(chuàng)設(shè)的如何定義矩陣除法的數(shù)學(xué)問題情境也順利轉(zhuǎn)化為如何定義矩陣的逆。然后，類比于數(shù)的逆運算，當(dāng)a≠0時，數(shù)a的逆a-1存在，且滿足aa-1=a-1a=1，并聯(lián)想到矩陣運算中單位矩陣的作用類似于數(shù)的運算中1的作用，結(jié)合正反兩方面的實例，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是所有的矩陣都存在逆矩陣，只有矩陣是方陣時才可能存在逆矩陣，方陣A的逆矩陣A-1存在時滿足方程AA-1=A-1A=E。最后，給出方陣的逆矩陣的存在性定義，并把如何定義矩陣的逆的數(shù)學(xué)問題情境進一步轉(zhuǎn)化為方陣滿足什么樣的條件才存在逆矩陣，存在時又如何求它。

2.矩陣的伴隨矩陣定義的引入。首先，由數(shù)a的逆a-1存在的充分必要條件是a≠0和任何一個方陣A可通過行列式運算對應(yīng)到一個數(shù)|A|上，啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生方陣A的逆矩陣A-1存在的充分必要條件是|A|≠0的猜想。然后，引導(dǎo)學(xué)生證明該猜想。必要性的證明由逆矩陣A-1存在時滿足的方程AA-1=A-1A=E兩邊同時取行列式運算即能得到。充分性的證明，可引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)方陣的逆矩陣的存在性定義和矩陣的乘法定義具體化為：在方陣A=（aij）n的行列式|A|≠0的條件下，一定能夠找到一個方陣B=（bij）n，使得■a■b■=1，i=j0，i≠j。接著，回顧行列式|A|的代數(shù)余子式Aij的性質(zhì)■a■A■=|A|，i=j0，i≠j，并將其與■a■b■=1，i=j0，i≠j進行比較，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)|A|≠0時，方陣B一定存在且B=（bij）n=■■=■=■。此時，猜想得到證實，并進一步得到方陣A的逆矩陣A-1存在時A-1=■。最后，引入方陣A=（aij）n的伴隨矩陣A*=[（A■）n]'的概念，并給出伴隨矩陣的重要性質(zhì)A*A=AA*=|A|E和伴隨矩陣描述下的矩陣可逆的充分必要條件及其證明過程。

參考文獻：

[1]鮑培文.線性代數(shù)啟發(fā)式教學(xué)改革的新思路[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，（31）.

[2]韓龍淑.數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)研究[D].南京師范大學(xué)，2007：8-17.

基金項目：石河子大學(xué)教育教學(xué)改革項目（項目編號：JG-2012-163）

作者簡介：姚斌（1982-），男，江西萍鄉(xiāng)人，講師，碩士研究生，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

通訊作者：楊玲香（1982-），女，新疆伊犁人，講師，碩士研究生，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。