初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的邏輯解析

王國蘭

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行運(yùn)算、判斷、推理、證明的基礎(chǔ)，形成準(zhǔn)確、清晰的概念是正確思維的前提。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握程度直接影響其學(xué)習(xí)效果。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。

數(shù)學(xué)概念分為原始概念和定義概念。原始概念往往是直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系抽象而來的，比較直觀具體。在教學(xué)中，教師若能很好地利用直觀教具，使學(xué)生通過觀察而明確概念所反映的對(duì)象、特性，以及概念所適用的范圍，則能收到較好的效果。定義概念，雖然是對(duì)客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映，但其產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了抽象和概括的過程，具有其本身的復(fù)雜性和抽象性。因此，在進(jìn)行定義概念教學(xué)時(shí)，教師有針對(duì)性地引導(dǎo)和幫助學(xué)生逐個(gè)角度、逐個(gè)層面地認(rèn)識(shí)概念反映的對(duì)象，是很有必要的。

1.明確概念的研究對(duì)象

對(duì)概念要做到能夠正確理解，明確概念的研究對(duì)象是第一要義。教師在進(jìn)行概念教學(xué)，特別是在初步建立新概念時(shí)，必須首先明確指出概念的研究對(duì)象是什么，同時(shí)可采用類比、反例等手段對(duì)概念的研究對(duì)象進(jìn)行個(gè)性凸顯。例如，對(duì)“平行線”之一概念的教學(xué)，教師在引導(dǎo)學(xué)生通過觀察得出平行線是“同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線”時(shí)，要強(qiáng)調(diào)平行線概念的研究對(duì)象是同一平面內(nèi)的兩條直線，它不是射線、線段，更不是曲線。學(xué)生對(duì)于研究對(duì)象的明確，意味著對(duì)新概念已初步地接受，有了初步的認(rèn)知。

2.明確概念成立的條件

要正確理解概念，明確概念成立的條件同樣是很重要的環(huán)節(jié)。有些概念的表述很相似，但隨著其限制條件的不同，概念的內(nèi)涵可能完全不同。比如，“在同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線是平行線”，這一關(guān)于平行線的概念，如果忽視了其前提條件“在同一平面內(nèi)”，“平行線”之一概念就不一定成立。因?yàn)樵诳臻g中確實(shí)存在著不相交但也確實(shí)不平行的直線——異面直線；再如“圓”之一概念的表述為“在同一平面內(nèi)，到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合”，如果沒有“在同一平面內(nèi)”這一前提作保障，“圓”的概念同樣不能成立，因?yàn)樵诳臻g中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合可能是球面。像這樣的條件性較強(qiáng)的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中是很多的，教師要用類比的方法，使學(xué)生對(duì)概念成立的條件有明確的認(rèn)識(shí)和全面的理解。

3.揭示概念的內(nèi)涵

概念的內(nèi)涵是概念的反映對(duì)象在一定條件下所具備的本質(zhì)屬性，是此概念區(qū)別于其他概念的根本標(biāo)志。一個(gè)定義概念，其研究對(duì)象及相應(yīng)條件的確定，即意味著概念內(nèi)涵的確定。因此，概念教學(xué)的主要任務(wù)之一即是要凸顯概念的內(nèi)涵本質(zhì)和本質(zhì)特征，同時(shí)要幫助學(xué)生排除誤解因素對(duì)本質(zhì)理解的干擾。

由于在教學(xué)中，給概念下定義常用“種概念加類差”的方式，因此概念教學(xué)時(shí)要重點(diǎn)講解定義中種概念和類差，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到被定義概念既擁有它的種概念的一切屬性，又有自己所獨(dú)有的特性即類差。例如，“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”這一定義中，“四邊形”就是平行四邊形所具有的最鄰近的種概念，類差是“兩組對(duì)邊平行”。應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出平行四邊形首先是四邊形，具有四邊形的一切屬性，如內(nèi)角和為360°，具有不穩(wěn)定性等，同時(shí)還應(yīng)強(qiáng)調(diào)平行四邊形是特殊的四邊形，特殊在“有兩組對(duì)邊分別平行”。

有些概念的種概念和類差不夠明確，教學(xué)時(shí)通常還要從側(cè)面對(duì)這些概念的內(nèi)涵進(jìn)行闡述。比如“互為余角”概念的教學(xué)，必須強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：其一，必須是兩個(gè)角，單獨(dú)一個(gè)90°角或和為90°的三個(gè)角及三個(gè)以上角，都不能說互為余角；其二，兩個(gè)角之和必須為90°。這兩點(diǎn)即是“互為余角”這一概念的本質(zhì)所在。另外，教學(xué)實(shí)踐表明，很有必要向?qū)W生說明兩個(gè)角是否互余與角所處的位置無關(guān)，比如南極有一個(gè)角為30°，北極有一個(gè)角為60°，但這兩個(gè)角仍然互為余角。

4.在應(yīng)用中加深對(duì)概念的理解

無疑，學(xué)習(xí)概念是為了應(yīng)用。學(xué)生對(duì)初學(xué)概念即使能弄清其基本含義，也未必能運(yùn)用概念進(jìn)行運(yùn)算、證明。同時(shí)，應(yīng)用是對(duì)概念的加深理解最有效的方式和途徑，具體應(yīng)用過程可使概念的對(duì)象屬格化、抽象的條件具體化、深刻的定義淺顯化。所以，必須配以典型的例題，引導(dǎo)學(xué)生掌握概念的適用范圍和方法，從而加深學(xué)生對(duì)概念的理解。仍以“互為余角”概念為例，配以如下例題，要求學(xué)生自己先行解答。

例：如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，則圖中互余的角共有（ ？搖？搖）對(duì)。

A.6 B.7 C.8 D.9

結(jié)果多數(shù)學(xué)生選C。我們對(duì)此題作如下分析：在解決直角三角形中的互余問題時(shí)，要考慮三種情況：①直角三角形中的直角被分成兩部分的兩個(gè)角互余：∠1與∠2，∠3與∠4；②同一直角三角形中的兩個(gè)銳角互余：∠2與∠B，∠1與∠3，∠4與∠A，∠A與∠B，∠1與∠A；③等量代換得到的互余角：∠2=∠3，故∠3+∠B=90°，∠2+∠4=90°，即∠3與∠B、∠2與∠4也是互余角，所以共有9對(duì)互余角，正確答案為D。該題中學(xué)生出錯(cuò)的主要原因是不自覺中對(duì)“互為余角”強(qiáng)調(diào)了位置關(guān)系。通過以上分析，學(xué)生可以更全面、深刻地理解“互為余角”這一概念。

5.梳理概念之間的關(guān)系，形成概念體系

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)概念是分散的、漸進(jìn)的，有些概念的理解不是一次能完成的。因此，教師應(yīng)該有計(jì)劃地進(jìn)行單元總結(jié)或階段歸納。比如絕對(duì)值、算數(shù)平方根、完全平方數(shù)，這是中學(xué)數(shù)學(xué)不同階段的三個(gè)表述完全不同的概念，但它們之間有一個(gè)共同點(diǎn)，都是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0，≥0，a2≥0.在這個(gè)意義上可把它們劃歸為一類，可以利用這一類的非負(fù)性解決很多相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

對(duì)所學(xué)概念進(jìn)行經(jīng)常性的比較和梳理，可使概念知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，漸次構(gòu)成一個(gè)完整的概念體系，只有這樣，才能使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念理解得更深刻，也才能使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念運(yùn)用得得心應(yīng)手。