讓運(yùn)算為解題保駕護(hù)航

分析手中批改好的數(shù)學(xué)試卷，卻郁悶地發(fā)現(xiàn)依然有幾道題目算錯(cuò)了，白白丟了分?jǐn)?shù)——盡管我們每次考試時(shí)都決心要仔細(xì)對(duì)待，但各種各樣的運(yùn)算錯(cuò)誤仍然層出不窮，讓人懊悔不已.

運(yùn)算錯(cuò)誤不能僅用“粗心”來(lái)解釋，這還與每個(gè)人的運(yùn)算能力有關(guān).運(yùn)算能力也不僅是指能進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)字運(yùn)算，更是指能根據(jù)數(shù)學(xué)的概念、公式、法則，對(duì)數(shù)、式、方程進(jìn)行適當(dāng)變形和正確運(yùn)算.要求出正確答案，審題、探索解題方向、調(diào)整解題思路固然十分重要，但如果沒(méi)有正確的運(yùn)算為其保駕護(hù)航，解題也會(huì)功虧一簣.

如何能夠算得又快又準(zhǔn)確呢？除了要在運(yùn)算時(shí)保持耐心、細(xì)致，更要注意以下三個(gè)方面.

為了準(zhǔn)確、快速地算出結(jié)果，我們應(yīng)充分挖掘題干中的重要信息，由此確定正確的運(yùn)算方向，從整體上把握所求的數(shù)學(xué)量.

例1 [2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第13題] 設(shè)公比為q （q>0）的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q= .

解析： 這道題并不難.要求q的值，只需把首項(xiàng)a1和公比q直接代入S2=3a2+2，S4=3a4+2，再解方程組即可.但這樣一來(lái)運(yùn)算卻比較麻煩.如果仔細(xì)分析條件，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“S2=3a2+2，S4=3a4+2”恰好對(duì)應(yīng)了以an為自變量、Sn為因變量的一次函數(shù)Sn=3an+2，因此可以將等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式與Sn=3an+2對(duì)照，得到比較簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法.

如果q=1，則{an}為常數(shù)列.由S2=3a2+2可得a2=-2；由S4=3a4+2可得a4=2. 因?yàn)閍2≠a4，這與q=1矛盾，故q≠1.

因?yàn)镾n===-an+，所以Sn是關(guān)于an的一次函數(shù).由S2=3a2+2，S4=3a4+2可知-=3，=2；解得q=，a1=-1.故q=.

點(diǎn)評(píng)： 求解例1時(shí)，我們受條件“S2=3a2+2，S4=3a4+2”的優(yōu)美結(jié)構(gòu)啟發(fā)，根據(jù)“Sn是關(guān)于an的一次函數(shù)”這一發(fā)現(xiàn)，利用待定系數(shù)法得到了答案，這便是題目的本質(zhì)所在.

例2 [2010年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第13題] 在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若+=6cosC，則+的值是 .

解析： 例2的已知條件中既有邊的關(guān)系又有角的關(guān)系，是把邊轉(zhuǎn)化為角，還是把角轉(zhuǎn)化為邊呢？觀察所求式+，該式只包含了角的關(guān)系，把正切函數(shù)化為正、余弦函數(shù)后，由正、余弦定理可把所有角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，由此就確定了運(yùn)算方向——把已知條件和所求結(jié)論“統(tǒng)一”到邊的關(guān)系上來(lái)運(yùn)算.

由+=6cosC得a2+b2=6abcosC，由余弦定理可得a2+b2=6ab，整理得a2+b2=c2.

+=+=·=·==.因?yàn)閏osC=，a2+b2=c2，所以===4，即+=4.

點(diǎn)評(píng)： 只有熟練掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，才能找出與題目條件、所求目標(biāo)對(duì)應(yīng)的知識(shí)與方法，并把它們聯(lián)系起來(lái)，明確運(yùn)算方向.方向明確了，就可以避免不必要的運(yùn)算，讓運(yùn)算更加快捷正確.

例3 [2010年高考數(shù)學(xué)浙江卷（文科）第16題] 某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等.若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是 .

解析： 由題意可知“六月份至十月份的銷售總額不少于7000-3860=3140萬(wàn)元”，即500+2×500×[（1+x%）+（1+x%）2]≥3140，整理得（1+x%）+（1+x%）2-2.64≥0.因式分解可得[（1+x%）-1.2]·[（1+x%）+2.2]≥0，故1+x%≥1.2或1+x%≤-2.2.因?yàn)榱⑵?、八月份的銷售額依次遞增，所以x%≥0，所以1+x%≥1.2，即x≥20.

點(diǎn)評(píng)： 由解題過(guò)程我們不難發(fā)現(xiàn)，將1+x%看成一個(gè)整體，運(yùn)算能相對(duì)簡(jiǎn)單一些.此外，對(duì)于不等式（1+x%）+（1+x%）2-2.64≥0，盡快發(fā)現(xiàn)2.64=2.2×1.2是數(shù)學(xué)運(yùn)算熟練的一種標(biāo)志，據(jù)此對(duì)不等式進(jìn)行因式分解，比用求根公式運(yùn)算簡(jiǎn)便得多.

有些問(wèn)題看起來(lái)形式復(fù)雜煩瑣，要直接求解很麻煩.但若利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊化、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，換一個(gè)角度思考問(wèn)題，往往可以簡(jiǎn)化運(yùn)算、方便解題.

例4 [2012年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題第（3）問(wèn)] 已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).設(shè)h（x）=f[f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y=h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析： f′（x）=3x2+2ax+b.因?yàn)?和-1是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，故 f′（1）=3+2a+b=0， f′（-1）=3-2a+b=0；解得a=0，b=-3.所以f（x）=x3-3x.

如果把f（x）=x3-3x代入h（x）=f[f（x）]-c，再考慮y=h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解過(guò)程必定不勝其煩.所以我們必須另辟蹊徑.

由于f（x）∈R，為了方便解題，我們可以先研究當(dāng)c∈[-2，2]時(shí)，f（x）-c=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即研究曲線y=f（x）與直線y=c，c∈[-2，2]的交點(diǎn)個(gè)數(shù).對(duì)此，只要利用數(shù)形結(jié)合思想作出圖象，就能找到答案.

因?yàn)楫?dāng)x=1或x=-1時(shí)，f（x）=x3-3x有極值點(diǎn)，代入解得f（x）的極小值為f（1）=-2，極大值為f（-1）=2.令f（x）=0，解得x1=-，x2=0，x3=，故函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn).如圖1所示，作出f（x）=x3-3x與y=c，c∈[-2，2]的圖象.

當(dāng)c=2時(shí)，直線y=2、直線y=-2與f（x）=x3-3x的圖象各有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且可以解得f（x）=2的兩個(gè)根為x=-1或x=2； f（x）=-2的兩個(gè)根為x=-2或x=1.

當(dāng)c<2時(shí)，由圖1可知，y=f（x）的圖象與直線y=c，c∈（-2，2）有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性可判斷，方程f（x）=c的解分別在區(qū)間（-2，-1），（-1，1），（1，2）內(nèi).

接下來(lái)考慮函數(shù)h（x）=f[f（x）]-c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即研究方程f[f（x）]=c，c∈[-2，2]的解的個(gè)數(shù).

當(dāng)c=2時(shí)，f[f（x）]=2.如果我們把f（x）看成t，則有f（t）=2.由以上分析可知t=-1或t=2，即f（x）=-1或f（x）=2.由圖1可知f（x）=-1有3個(gè)不同的解，f（x）=2有2個(gè)不同的解，因此f[f（x）]=2有5個(gè)不同的解，即y=h（x）有5個(gè)不同的零點(diǎn).

當(dāng)c=-2時(shí)，同理可得f（x）=-2或f（x）=1，由圖1可知y=h（x）有5個(gè)不同的零點(diǎn).

當(dāng)-2

綜上可得，當(dāng)c=2時(shí)，函數(shù)y=h（x）有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)c<2時(shí)，函數(shù)y=h（x）有9個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)： 求解例4的關(guān)鍵在于合理地應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，尤其是充分利用了數(shù)形結(jié)合思想，先根據(jù)圖象研究f（x）-c=0，c∈[-2，2]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再把結(jié)果代入f[f（x）]=c，c∈[-2，2]中進(jìn)行分析，避免了大量的運(yùn)算，直觀方便地解決了問(wèn)題.

在解題時(shí)“一條道走到黑”，盲目地進(jìn)行運(yùn)算，往往是事倍功半.盡可能從多角度探究問(wèn)題，靈活機(jī)動(dòng)地選擇最合適的運(yùn)算方法，才能提高解題效率.

例5 [2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第21題第（2）問(wèn)改編] 如圖2所示，橢圓C：+=1，P（2，1），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線OP平分線段AB.求直線l的斜率k.

解法一： 因?yàn)镺（0，0），P（2，1），故直線OP的方程為y=x.因?yàn)镺P平分線段AB，而直線l不過(guò)原點(diǎn)O，故直線l的斜率k存在且l在y軸上的截距不為0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)為M，直線l的方程為y=kx+b （b≠0）.

聯(lián)立直線l與橢圓C的方程有 y=kx+b，+=1；整理得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0 ，則Δ=64k2b2-4（3+4k2）（4b2-12）>0.由韋達(dá)定理可得x1+x2=-，x1x2=；所以M-，.

因?yàn)镸在直線OP：y=x上，所以=·.解得b=0 （舍去）或k=-.當(dāng)k=-時(shí)，由Δ>0解得b∈（-2，2）且b≠0.即只有在此情況下，k=-才成立.

解法二： 由解法一可知直線OP的方程為y=x，直線l的斜率k存在且l在y軸上的截距不為0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)M（2m，m）.因?yàn)锳，B都在橢圓上，故+=1，+=1，兩式相減得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，所以k==-·=-·=-. 如解法一，需把k=-代入Δ>0驗(yàn)算，解得當(dāng)b∈（-2，2）且b≠0時(shí)，k=-才成立.

解法三： 由解法一可知直線OP的方程為y=x，直線l的斜率k存在.設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（2m，m），則直線l的參數(shù)方程為x=2m+tcosα，y=m+tsinα（t為參數(shù)）.代入+=1，整理得（3+sin2α）t2+4m（3cosα+2sinα）t+16m2-12=0，因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，所以t1+t2=0=，解得tanα=-，即k=-.如解法一，還需把k=-代入Δ>0進(jìn)行驗(yàn)算.

點(diǎn)評(píng)： 解法一通過(guò)聯(lián)立方程，利用判別式和韋達(dá)定理求解，這是求解這類解析幾何問(wèn)題的通法，但運(yùn)算比較復(fù)雜，聯(lián)立直線方程與橢圓方程后，在消元整理時(shí)容易算錯(cuò).解法二利用點(diǎn)差法來(lái)求解，點(diǎn)差法常用于求解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題，它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量較小，但使用前提是直線與圓錐曲線必須有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此解出答案后還需驗(yàn)算.解法三使用了直線的參數(shù)方程，通過(guò)直線的傾斜角α求斜率，這對(duì)掌握了直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式的同學(xué)來(lái)說(shuō)，不失為一種很好的解法.

明確運(yùn)算方向、簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、選擇合適的運(yùn)算方法從大方向上保證了運(yùn)算的便捷，要在具體的運(yùn)算過(guò)程中做到更快捷更準(zhǔn)確，還必須注意以下幾點(diǎn)：

（1） 要保證數(shù)學(xué)運(yùn)算的正確性，首先要正確熟練地記憶立方和公式、立方差公式、三角函數(shù)相關(guān)公式等各類數(shù)學(xué)公式.其次要掌握因式分解法、配方法等基本數(shù)學(xué)方法.此外還需重視對(duì)運(yùn)算結(jié)果的反思，比如算出正弦值為，我們應(yīng)馬上意識(shí)到這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，再回頭檢查整個(gè)運(yùn)算過(guò)程，確保正確解題.為了提高運(yùn)算速度，我們還應(yīng)該記住一些運(yùn)算中常見(jiàn)的數(shù)值，如1到30每個(gè)數(shù)的平方是多少、210是多少.

（2） 重視對(duì)數(shù)字進(jìn)行正確的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子進(jìn)行合理的組合變形和分解變形.在遇到障礙時(shí)，應(yīng)能及時(shí)調(diào)整運(yùn)算方向.

（3） 要提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，不能只看題不做題，足量的練習(xí)很有必要.

【編后語(yǔ)】 在這個(gè)蟬音初揚(yáng)的夏日，“一起研究高考題”這個(gè)系列要和同學(xué)們說(shuō)再見(jiàn)了.回顧這十期內(nèi)容，我們從研究高考試題的必要性講起，分析了試題的不同來(lái)源，給出了復(fù)習(xí)建議.接下來(lái)，我們從審題、確定解題方向、調(diào)整解題思路、進(jìn)行解后反思、提高運(yùn)算能力這五個(gè)方面，深入講解了解題的各個(gè)步驟.如果你認(rèn)真研讀了這些文章，相信一定能在考場(chǎng)上更加胸有成竹.在此預(yù)祝同學(xué)們?nèi)〉煤贸煽?jī)，考上理想的院校！