開放題在數(shù)學教學中的運用與反思

胡旅航

【摘要】 隨著新課程的進一步深入，素質(zhì)教育的全面推廣，學生思維能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)越來越受到重視. 數(shù)學開放題作為提高思維能力和培養(yǎng)創(chuàng)新精神的有效載體，引入課堂已成為必然. 數(shù)學開放題不僅有利于培養(yǎng)學生靈活多變、觸類旁通的思維品質(zhì)，還是優(yōu)化課堂教學的有效途徑之一.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學開放題；運用；反思

數(shù)學的本質(zhì)是一種思維活動，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的核心. 實踐表明，在進行基礎(chǔ)知識教學的同時，如果不引導學生去“發(fā)現(xiàn)”，不注意培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，而只要求學生“記公式定理、套題型解法”，則有可能導致學生思維發(fā)展的停滯，聰明才智被扼殺. 在長期的教學實踐中，開放題顯現(xiàn)出其越來越豐富的教育功能. 因此，數(shù)學開放題被認為是最富有教育價值的題型之一.

數(shù)學開放型問題是相對于傳統(tǒng)的條件完備和結(jié)論確定的封閉型問題而言的，目前，對于什么是開放題，還沒有完全一致的概念. 但就開放題的類型而言，筆者認為：主要分為條件開放、解題過程開放、結(jié)論開放和條件、結(jié)論都開放等題型. 建構(gòu)主義認為：“知識不是被動接受，而是認知主體積極建構(gòu)的. ”雖然學生要學的知識都是前人已經(jīng)建立好的，但對他們來說，仍是全新的、未知的，需要再現(xiàn)類似的創(chuàng)造過程來形成，用學生自己的活動對人類已有的知識建構(gòu)起自己正確的理解. 所以，用建構(gòu)主義理論指導開放題教學，無疑是理論與實踐的完美結(jié)合. 在建構(gòu)主義理論指導下，開放題教學能更好地發(fā)揮其教育價值，而以開放題為載體，可使建構(gòu)主義理論的指導作用更落到實處.

一、數(shù)學開放題在教學活動中的運用

實施開放題教學，能在新課的導入、課堂結(jié)構(gòu)設計、習題或作業(yè)的延伸處理等方面采取不同的形式. 設置開放題，開展開放題的學習活動能使學生積極參與到教學活動中，從而真正體現(xiàn)學生的主體地位和教師的主導作用.

1. 利用開放題導入新課：構(gòu)建開放的問題情境，激發(fā)學生學習的興趣

建構(gòu)主義認為，在實際情境下學習，可以激活學生頭腦中與當前學習相關(guān)的知識，同時也可以導致認知上的沖突，啟動學生的思維，從而更好地同化或順應學習新知識.

為此，在“三角形全等的條件”之“角角邊”定理的新課引入時，筆者設置了這樣的問題情境：

如圖1，有下列四個論斷：

① AB = AC；② AD = AE；③ ∠B = ∠C；④ BE = CD.

請你以其中一些論斷為條件， 說明△ABE ≌ △ACD.

問題一出來，學生的思維就活躍了：

生1：“我認為將論斷①②④組合，根據(jù)‘邊邊邊可以判定△ABE ≌ △ACD. ”

生2：“我認為將論斷①③④組合，根據(jù)‘邊角邊也可以判定△ABE ≌ △ACD. ”聽了他倆的敘述，大家都點點頭. 學生們臉上浮現(xiàn)出解完題的輕松，筆者接著問：“還有其他的方法嗎？”

這時，教室里安靜下來，大家陷入了思考. 過了一小會，生3站起來，他很興奮：“我認為只要①②兩個論斷就可以得到△ABE ≌ △ACD. ” “為什么呢？”

生3：“圖形中△ABE和△ACD有公共角∠A，加上①②兩個論斷，根據(jù)‘邊角邊就能得到△ABE ≌ △ACD. ”聽了他的敘述，同學們投去了贊賞的目光.

“根據(jù)生3的思路，我認為①③兩個論斷也可以推導出結(jié)果. ”生4迫不及待地說. “他的想法行嗎？大家能替他給出解釋嗎？”“能！根據(jù)是‘角邊角公理. ”學生們很有自信.

“我們解題的時候，要充分利用圖形中∠A是公共角的隱含條件. 那么，此題還有其他的組合方法嗎？”學生們又陷入了沉思. 突然，生5站起來：“我覺得②③兩個論斷應該也行. ”她的聲音很低，學生們都看著她. “為什么呢？根據(jù)是什么？”她很為難：“我也說不好，只是感覺可以. ”“那她的想法正確嗎？大家能幫她解釋嗎？”教室里再一次安靜下來. 過了許久，生6站了起來.

生6：“我認為她的想法正確，根據(jù)還是‘角邊角，因為△ABE和△ACD有公共角∠A，而∠B = ∠C，三角形的內(nèi)角和是180°，這樣，第三個內(nèi)角∠ADC = ∠AEB. 再加上AD = AE，∠B = ∠C的條件，就可以推出△ABE ≌ △ACD. ”說完這些，他很激動.

不知是哪名同學帶的頭，教室里響起了掌聲. 顯然，其他同學理解并接受了生6的解釋. “你真了不起！”我給他豎起了大拇指，生6很開心地笑了.

在數(shù)學課堂教學中，呈現(xiàn)的情境應能促使學生產(chǎn)生繼續(xù)學習的愿望. 學生在認知沖突、發(fā)現(xiàn)問題、思考問題的過程中，增強了克服困難的信心，激發(fā)了發(fā)揮潛能的心智. 大教育家蘇霍姆林斯基說：“人的內(nèi)心有種根深蒂固的需要——看到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”課堂上，我們要多給學生“發(fā)現(xiàn)”的機會. 因此，情境的創(chuàng)設不僅要考慮學生現(xiàn)有的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，更為重要的是要著眼于學生更高層次的發(fā)展. 應當把學習者原有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導學習者從原有的知識經(jīng)驗中生長出新的知識經(jīng)驗，尋找學生的“最近發(fā)展區(qū)”. 為學生提供豐富的學習材料，引導學生提出問題，激發(fā)學生的探究欲望，促使他們科學地思考和學習. 實踐表明，合理的開放題教學導入能明顯地促進課堂優(yōu)化.

2. 利用開放題設計教學過程：讓更多的學生參與到教學中來，體驗知識的發(fā)現(xiàn)與發(fā)生過程，形成自己的知識網(wǎng)絡

學生對教材的理解是零碎的，雜亂無章的，對解題規(guī)律的探究是膚淺的，所以課堂教學時，我們數(shù)學教師要注意幫助學生建立知識間的內(nèi)在聯(lián)系. 應通過對典型例題的分析，對它的解題方法進行拓展和深化，揭示數(shù)學知識的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和發(fā)散思維能力. 讓學生學會將零碎的知識串成線，織成網(wǎng).

以浙教版八上教材P9頁例2為例：

如圖2，∠C + ∠A = ∠AEC.判斷AB與CD是否平行，并說明理由. 筆者要求學生至少用兩種方法解決.

顯然，此題的解法不唯一. 由于每名同學的思維方法不同，將得出不同的作輔助線方法. 學生們經(jīng)過討論得到如下的解題方法：

方法一：如圖3，延長CE交AB于F， 這里運用了三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和性質(zhì)定理和內(nèi)錯角相等、兩直線平行的判定定理.

方法二： 如圖4，過E作CD的平行線，這樣，將已知條件轉(zhuǎn)化為兩組相等的內(nèi)錯角，再根據(jù)平行于同一條直線的兩直線互相平行可得結(jié)論.

方法三：如圖5，連CA，△ACE的內(nèi)角和為180°，而∠ECD + ∠EAB = ∠AEC，于是∠ACD + ∠CAB = 180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得結(jié)論.

通過這樣的比較學習，讓學生思考：什么時候用平行線的性質(zhì)？什么時候用平行線的判定？這類題該怎樣添加輔助線？哪一種解法最佳？這樣比盲目做題的效果好得多. 通過比較，學生自己總結(jié)出這樣的規(guī)律：知平行，用性質(zhì)；不知平行用判定.

“學習的本質(zhì)就是鑒別，又由于鑒別依賴于對差異的認識，因此，在教學中應盡可能地擴展變異的維數(shù). ” 在開放題的教學中，我們不能滿足于只是列出多種不同的解題方法或答案，而應更加注意對于所得出的不同方法和解答進行比較和鑒別，從中得出規(guī)律性、本質(zhì)性的東西. 啟發(fā)引導學生多角度地去思考問題，這樣既能加強知識間的聯(lián)系，又能培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，有利于創(chuàng)新能力的提高. 只有這樣，才能提高課堂教學效益，優(yōu)化課堂教學.

3. 利用開放題讓課堂小結(jié)“翹尾巴”：留下思維的懸念，擴大和延伸探究范圍

課堂教學的最后幾分鐘，學生往往會出現(xiàn)思想放松，注意力不集中，如果教師組織得好，就能使學生仍能保持飽滿的學習熱情，使整堂課在歸納中得以升華，在懸念中繼續(xù)探索. 在“二次函數(shù)的圖像”新課快下課時，筆者并沒有像往常一樣讓學生做課堂總結(jié)，而是引用了這樣一道中考題：

更難能可貴的是，有個別同學還將本題和一元二次方程聯(lián)系起來，得到b2 - 4ac > 0及方程ax2 + bx + c = 0兩根的范圍.

當學生被探究欲望和挑戰(zhàn)激發(fā)時，才表現(xiàn)得最有創(chuàng)新精神. 我們知道，創(chuàng)新的過程就是學生思維能力升華的過程，因此，教師要多采用開放題那樣有懸念、能激起求知欲的習題，使學生積極地擴大和延伸探究范圍，把數(shù)學課的探究變成日常生活的一部分. 筆者堅信：只要我們教師能堅持這樣做下去，學生的思維能力和創(chuàng)新精神就會有很大程度的提高，而且我們的課堂教學也會越來越優(yōu)化.

二、數(shù)學開放題教學的幾點反思

1. 開放題教學對教師提出了高要求

由于開放題的解答過程沒有現(xiàn)成的解題模式，問題的答案有不確定性， 這就要求教師不僅要有充分的課前預設，還要具有靈活的應變能力以處理課堂上有可能出現(xiàn)的各種問題.

2. 設置的開放題要有層次性

要設置能聯(lián)系實際、層次性強的開放題，這樣才能使全體學生參與教學成為可能. 對于未徹底解決的問題、有待繼續(xù)發(fā)展的問題，可留給學生在課后繼續(xù)思考和探討. 這樣可以使學有余力的學生有思考的時間和空間，還能促進數(shù)學興趣小組的發(fā)展，對培養(yǎng)數(shù)學愛好者有一定的積極作用.

3. 開放題教學要開放有度

一要把握開放題的“難度”：設計的問題要難度適中. 太簡單，沒有思維深度；太難，學生解決不了，喪失信心. 二是要控制課程的“進度”. 我們知道開放題的教學很費時間，往往“放”開去就很難“收”回來，導致教學進度不能正常繼續(xù). 如何在保證正常教學進度和實施開放題的教學中找到一個平衡點，一直困擾著筆者. 筆者提倡開放題并不意味排斥封閉題，傳統(tǒng)的封閉題是開放題的基礎(chǔ)，而開放題也僅僅是為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，為提高思維能力提供一種新途徑，開放題本身不是萬能的. 在教學中要在常規(guī)題練習為主體訓練的前提下，引進開放題，以彌補封閉性練習題的不足. 因此，在實施開放題教學時要開放有度，而不是放棄所有封閉題的完全開放.

新課標理念下的數(shù)學課堂教學，對教師學生均提出新的要求. 教師作為數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者，應充分理解新課程的要求，把握新方法、掌握新技能，充分利用開放題培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)，優(yōu)化課堂教學. 只有具有創(chuàng)新精神的老師才能有創(chuàng)新的課堂，才能培養(yǎng)出具有良好思維能力和創(chuàng)新精神的學生.

【參考文獻】

[1]義務教育課程標準實驗教科書七年級下冊《數(shù)學》.杭州：浙江教育出版社 2006.

[2]義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊《數(shù)學》.杭州：浙江教育出版社 2006.

[3]義務教育課程標準實驗教科書九年級上冊《數(shù)學》.杭州：浙江教育出版社 2006.

[4]黃邦杰，著.中學數(shù)學開放式教學模式初探[J].中國數(shù)學教育，2004（10）.

[5]戴再平.開放題—數(shù)學教學的新模式.上海：上海教育出版社，2002.

[6]學與教的心理學. 上海：華東師范大學出版社，1997.