學課標、明變點、謀方略

趙守文 楊俊杰 馬紅艷

趙守文：曾任哈爾濱市教育研究院義務教研部主任。先后被評為全國優(yōu)秀教師，黑龍江省及哈爾濱市有突出貢獻的中青年專家，哈爾濱市勞動模范、優(yōu)秀教育工作者標兵、一級功勛教師。2010年被評為哈爾濱市教育事業(yè)做出突出貢獻的教育工作者，享受國務院特殊津貼和黑龍江省政府特殊津貼。曾先后在《人民教育》、《數(shù)學通報》、《中學數(shù)學教學參考》、《黑龍江教育》等國家級及省級刊物上發(fā)表數(shù)學類文章70多篇，三部數(shù)學專著《中學數(shù)學重點難點研究》、《數(shù)學教學素質教育探索》、《講臺、平臺、展臺》全面展示了他數(shù)學研究的領域和進程，為我市教育改革和教師培訓做出了突出的貢獻。

以《初中數(shù)學課程標準》（2011年版）為藍本，以歷年中考數(shù)學試題為載體，對今后中考命題的走向和趨勢進行認真分析、研究和思考，確定務實高效的中考數(shù)學復習方略，無疑將是提高復習效率和中考質量的重要前提和保障.

我們知道，2011年頒布的《初中數(shù)學課程標準》與原有的“課程標準”相比較存在不同之處，這些將是我們制定復習方略必須牢牢把握住的關鍵點.

一、找準由“雙基”到“四基”的銜接點

《初中數(shù)學課程標準》（2011年版）在學生的數(shù)學素養(yǎng)方面，由原來的“基礎知識和基本技能”升華到“四基”，即：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.新增加的“兩基”則是必須要加以強化和關注的.

（一）突出“基礎知識和基本技能”考查的研究與思考

關于“數(shù)與代數(shù)”的“雙基”主要體現(xiàn)在對基本概念、基本計算、基本解法、基本性質的考查；幾何圖形方面體現(xiàn)對基本幾何圖形的性質、推理、變換及其相互關系的考查；數(shù)據(jù)統(tǒng)計方面體現(xiàn)對基本數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析及對事件可能性的刻畫的考查.這些是歷年中考都嚴格掌控的內(nèi)容.這些基礎知識和技能都是學生應知應會的必備數(shù)學素養(yǎng)，也是中考試題考查的主體，是面向全體學生的考查與評價.

（二）突出“基本思想”考查的研究與思考

《初中數(shù)學課程標準》（2011年版）把“基本的數(shù)學思想”作為課程目標的重要組成部分，單獨明確地提出來，這不僅是義務教育性質的重要體現(xiàn)，也是對學生實施創(chuàng)新教育，培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要保證.數(shù)學基本思想是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容，其蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，如抽象、模型化和推理等.中考命題將會重視“數(shù)學思想”的考查與評價.

1.“抽象”問題

數(shù)學在本質上是研究抽象的東西，數(shù)學的發(fā)展所依賴的最“基本思想”就是抽象，中考命題只能在“抽象”的某一側面或某一環(huán)節(jié)以及多從實際問題抽象出數(shù)學問題入手加以考查.

甲、乙兩組工人同時加工某種零件，乙組工作中有一次停產(chǎn)更換設備，更換設備后，乙組的工作效率是原來的2倍.兩組各自加工零件的數(shù)量y（件）與時間x（時）的函數(shù)圖象如圖所示.

（1）求甲組加工零件的數(shù)量y與時間x之間的函數(shù)關系式.

（2）求乙組加工零件總量a的值.

（3）甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱，每夠300件裝一箱，零件裝箱的時間忽略不計，求經(jīng)過多長時間恰好裝滿第1箱？再經(jīng)過多長時間恰好裝滿第2箱？

答案：（1）甲組加工的零件數(shù)量y與時間x的函數(shù)關系式為y=60x.

（2）a=300.

（3）經(jīng)過3小時恰好裝滿第1箱，再經(jīng)過2小時恰好裝滿第2箱.

某班師生組織植樹活動，上午8時從學校出發(fā)，到植樹地點植樹后原路返校，如圖為師生離校路程s與時間t之間的關系圖象.請回答下列問題：

（1）求師生何時回到學校？

（2）如果運送樹苗的三輪車比師生遲半小時出發(fā)，與師生同路勻速前進，早半小時到達植樹地點，請在圖中畫出該三輪車運送樹苗時，離校路程s與時間t之間的圖象，并結合圖象直接寫出三輪車追上師生時離學校的路程.

（3）如果師生騎自行車上午8時出發(fā)，到植樹地點后，植樹需2小時，要求14時前返回到學校，往返平均速度分別為每時10km、8km.現(xiàn)有A、B、C、D四個植樹點與學校的路程分別是13km、15km、17km、19km，試通過計算說明哪幾個植樹點符合要求.

答案：（1）師生在13.6時回到學校.

（2）由圖象得，當三輪車追上師生時，離學校4km.

（3）A、B、C植樹點符合學校的要求.

以上兩題是從學生所熟悉的現(xiàn)實生活中抽象出的數(shù)學問題，題目以函數(shù)為主線，融行程問題、不等式知識為一體，綜合考查學生從函數(shù)圖象信息及實際問題中抽象出變量之間的函數(shù)關系的能力.可以揣測：如何讓學生從實際問題中自主抽象出數(shù)學問題，如何用高層次的抽象解決低層次抽象的合理性，應是今后值得我們探索的兩個方面.

2.“數(shù)形結合思想”的問題

“數(shù)與代數(shù)”部分的核心內(nèi)容是函數(shù)，“圖形與幾何”部分的核心內(nèi)容是圖形.用函數(shù)思想刻畫圖形變化規(guī)律，恰是初中數(shù)學的最核心內(nèi)容.圖象是以幾何直觀的方式體現(xiàn)量與量之間的關系，函數(shù)圖象體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，函數(shù)模型是對數(shù)量與圖形對應關系的刻畫.因此，以運動變化為背景，利用函數(shù)刻畫動態(tài)幾何的綜合問題作為中考壓軸題，一直是中考試題中“數(shù)形結合思想”考查的重要部分.

如圖，在長方形中截取兩個相同的圓作為圓柱的上、下底面，剩余的矩形作為圓柱的側面，剛好能組合成圓柱.設矩形的長和寬分別為y和x，則y與x的函數(shù)圖象大致是（）

如圖在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB邊上的一個動點（不與點A、B重合），過點D作CD的垂線交射線CA于點E.設AD=X，CE=Y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關系圖象大致是（）

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O.

（1）如圖1，連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周.即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止.在運動過程中：①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當點Q運動到點E之前，設P、F、D、Q四點組成的四邊形的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式（寫出自變量的取值范圍）；②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關系式.

3.“推理”問題

推理是數(shù)學的基本思維方法，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理，《初中數(shù)學課程標準》（2011年版）增加了歸納推理的闡述，成為修訂部分的重要內(nèi)容.

（1）請觀察上面命題，猜想出命題n （ n是正整數(shù)）；

（2）證明你猜想的命題n是正確的.

以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結這四個點，得四邊形EFGH.

（1）如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當四邊形ABCD為矩形時，請判斷四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；

（2）如圖3，當四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設∠ADC=α（0°<α<90°）：

①試用含α的代數(shù)式表示∠HAE；

②求證：HE=HG；

③四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由.

答案：

（1）四邊形EFGH的形狀是正方形.

（2）①用含α的代數(shù)式表示∠HAE是90°+α.

②證明略.

③四邊形EFGH是正方形，理由略.

例6由一般到特殊探究一組直線和一組雙曲線的一個交點規(guī)律，體現(xiàn)了一個完整的推理過程：觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證、歸納；例7先由最特殊的正方形開始探究，再到矩形，最后到一般四邊形，體現(xiàn)了合情推理和演繹推理的結合.

（三）突出“基本活動經(jīng)驗”考查的研究與思考

《初中數(shù)學課程標準》（2011年版）明確了數(shù)學基本思想和基本活動經(jīng)驗的教育是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力的主要內(nèi)容，因此基本活動經(jīng)驗的考查將是中考命題的焦點之一.數(shù)學的活動經(jīng)驗不僅包括觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學學習過程的經(jīng)驗，而且還應包括數(shù)學的思考方式和數(shù)學的應用知識，即數(shù)學基本學習經(jīng)驗和數(shù)學應用意識.

通過學習三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（sad），如圖①，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊/腰=BC

AB

.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

題目給出一個新的定義素材，關注學生的學習過程，通過類比學生比較熟悉的銳角三角函數(shù)的學習過程，特別給出一個類似三角函數(shù)的符號sad，較為全面地考查了學生的基本學習經(jīng)驗.通過探究新知識，引導學生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，激發(fā)數(shù)學思考.通過構造學習新知識的過程，實現(xiàn)對一類知識學習過程的考查.

2.“數(shù)學應用意識”問題

數(shù)學的活動經(jīng)驗是指學習者在參與數(shù)學活動的過程中所形成的感性認識、情感體驗和應用意識，而應用意識又是其核心部分，應用意識的形成是知識經(jīng)驗形成的標志.

小明家有一塊長8m、寬6m的矩形空地，媽媽準備在該空地上建造一個花園，并使花園面積為空地面積的一半，小明設計了如下的四種方案供媽媽挑選，請你選擇其中的一種方案幫小明求出圖中的x值.

答案略.

以上題目結合了基本圖形與圖形變換知識，體現(xiàn)了對不規(guī)則圖形向規(guī)則圖形的轉化思想的考查，體現(xiàn)了應用數(shù)學知識解決實際問題的意識.事實上對基本活動經(jīng)驗的考查是一個很難完全通過考試來加以測評的過程，因此也只能盡可能地做出對數(shù)學活動經(jīng)驗的近似考查.

二、把握“兩能”到“四能”的鮮亮點

《初中數(shù)學課程標準》（2011年版）在強調發(fā)展學生分析和解決問題的能力（兩個能力）的基礎上，增加了“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”的能力，即構成了“四個能力”.因此中考命題在注重“分析問題和解決問題能力”考查的基礎上，將會嘗試構制“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”這一類型的試題，其中包括觀察能力、歸納能力、類比能力等.

數(shù)學的學習能力，很重要的一個方面是要具有敏感且又較準確的發(fā)現(xiàn)能力，而發(fā)現(xiàn)問題又基于具備觀察、歸納、類比與實驗操作能力.觀察是認識事物和發(fā)展規(guī)律的起始與基礎，也是猜想形成的重要條件和動力，通過對觀察能力的考查來落實對發(fā)現(xiàn)能力的考查，便是一種有效的選擇和途徑.

閱讀材料回答問題

我們經(jīng)常通過認識一個事物的局部或其特殊類型來逐步認識這個事物，比如我們通過學習兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形（繼續(xù)學習它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等）來逐步認識四邊形.我們對課本里特殊四邊形的學習，一般先學習圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質和判定方法，然后通過解決簡單的問題鞏固所學知識.請解決以下問題：

如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”.

（1）寫出箏形的兩個性質（定義除外）；

（2）寫出箏形的兩個判定方法（定義除外），并選出一個進行證明.

答案略.

題目要求寫出“箏形”的兩個性質和兩個判定方法，這些都是要以良好的觀察為基礎，而由觀察引發(fā)猜想則體現(xiàn)了對發(fā)現(xiàn)能力的考查.

在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度.

（1）實驗操作：

在平面直角坐標系中描出點P從原點O出發(fā)，平移1次后，2次后，3次后可能到達的點，并把相應點的坐標填寫在表格中：

（2）觀察發(fā)現(xiàn)：

任一次平移，點P可能到達的點在我們學過的一種函數(shù)的圖象上，如：平移1次后在函數(shù)_______的圖象上；平移2次后在函數(shù)的_______圖象上……由此我們知道，平移n次后在函數(shù)的_____圖象上.（請?zhí)顚懴鄳慕馕鍪剑?/p>

（3）探索運用：

點P從原點O出發(fā)經(jīng)過n次平移后，到達直線y=x上的點Q，且平移的路徑長不小于50，不超過56，求點Q的坐標.

答案：（1）

（2）y=-2x+2；y=-2x+4；y=-2x+2n.

（3）點Q的坐標為（26，26），（28，28）.

題目中的問題（1）首先根據(jù)平移的要求在坐標系里描繪出平移1、2、3次可能到達的點，由此借助歸納方法判斷出平移次數(shù)與可能到的點所在直線的對應關系，這也就解決了問題（2），而問題（3）則是利用得到的對應規(guī)律和提出的新要求，構造方程組來解決問題并通過構造構思巧妙的形式對歸納能力進行考查，同時也可以強化對發(fā)現(xiàn)能力的考查力度.

如圖1，將三角板放在正方形

ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F.另一邊交CB的延長線于點G.

（1）求證：EF=EG.

（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

“類比能力”也是一種由發(fā)現(xiàn)規(guī)律從而形成猜想的能力，因此通過考查類比能力來落實對發(fā)現(xiàn)問題能力的考查.題目是將由一直角三角板的直角頂點置于正方形一頂點時所得到的結論，先類比到直角頂點在正方形對角線上其他點時該結論是否仍成立，進而再類比到直角頂點在矩形對角線上的相應情況，對應的結論也相應地發(fā)生了變化.類比中因問題背景要素發(fā)生變化而引起的結論變化，正是類比能力的重要考查內(nèi)容.