退一步海闊天空

林俊能

古諺有云：“忍一時風平浪靜，退一步海闊天空”。其原義說的是為人處世之道，實際上，數學的學習與研究又何嘗不是如此？在中學數學教材中充滿著具體與抽象，特殊與一般的辯證關系，而學會“退”一步來看問題就是一種很重要的思想方法。華羅庚教授曾不止一次地指出：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學習好數學的一個訣竅?！彼徽Z道出了退一步看問題對數學學習的重要性。

高中數學新課程標準中明確指出這幾個理念：倡導積極主動勇于探索的學習方式，讓學生體驗數學發(fā)現和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新思維；注重提高學生的數學思維能力；強調數學的本質，注重適當的形式化。同時認知理論也表明：學習過程是一個主動建構的過程，是根據先前的認知結構主動地和有選擇地知覺外在信息。數學知識盡管表現為形式化的符號，但它可視為具體生活經驗和常識的系統化。它可以在學生的生活背景中找到實體模型。因此，我認為，在教學中能“退”到學生原有的認知結構，是學好新知識、解決新問題的重要保證，也是讓學生實現新課程標準中提出的“體驗數學發(fā)現和創(chuàng)造歷程”這一說法的原動力，下面結合教學實際談一些“退”的方法。

一、 新課教學中的“退”

1. 退到簡單情形——具體化

數學教學的本質是思維過程的教學，學生認知的過程都遵循著從簡單到復雜，從具體到抽象的過程，所以思維過程的起點應該由簡單、具體開始，我們的教學也應該以此為起點。

過去的教材往往略去了過程的敘述，直接呈現出結果，而在新課程改革后，教材呈現的方式做了非常大的改進，盡可能地遵循學生的認知規(guī)律，也提供了非常豐富的具體簡單的背景。例如，以新課程標準（人教版）必修1第一章及第二章中函數的教學為例，教材從三個具體的實例抽象出函數的定義，由具體函數的圖象和數量關系抽象出一般函數的單調性和奇偶性，由具體的指數（對數）函數的圖象抽象出一般指數（對數）函數的圖象和性質…。我們在教學中只要珍惜這些教學資源，對教材體現的理念予以認同，給足學生時間，讓學生經歷積極探究，交流合作，主動建構的過程，我們提出的“退”就很有價值和意義。

特別地，結合我校學生的實際情況，有時還應在利用課本資源的基礎上，給予更具體的鋪墊，“退”到切合學生的實際認知水平。例如，在函數的單調性這節(jié)課的教學中，首先利用教材，讓學生動手列表作出函數y=x2的圖象，并作出初步的描述；其次考慮到學生抽象能力不高，為了能順利地得出函數y=x2及一般函數單調性的定義，補充了在兩個區(qū)間（-∞，0）和[0，+∞）中任意寫出幾組具體的自變量和對應的函數值；然后讓學生觀察數據，發(fā)現特征，從而順利地完成一般定義的探究。這也說明退到何處才是簡單情形，不應該僅僅從教材考慮，一成不變，而應考慮當前學生的認知實際，以學定教。

2. 退到熟悉的問題——類比與遷移

類比是一種重要的解題策略，是根據兩個不同對象的某些相同或相似的性質，推測出這兩個對象在其他性質上也有可能有相同或相似之處。它是一種合情推理方式，是由特殊到特殊的推理。常體現為把熟悉的結論遷移到相關（甚至是看似毫無關聯）的問題上。在這過程中往往能體現出一個人對知識的遷移能力，聯想能力及創(chuàng)新意識，這也是普遍聯系的哲學觀點的具體體現。

落實到數學教學中，要多給學生類比的機會。原因還是在于應盡可能地退到學生思維和知識的最近發(fā)展區(qū)，讓學生主動探究，勇于探索，這是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的很好機會。而這種機會在課堂教學中完全可以信手拈來。例如：把冪的運算法則類比到對數的運算法則；把對指數函數的研究方法類比到對數函數的研究；圓錐曲線中將橢圓的性質和研究方法類比到雙曲線的性質及研究上；數列中將等差數列的定義與性質類比到等比數列的定義與性質……而平面幾何與立體幾何的類比更是處處可見。例如：把平面中直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方類比到空間中側棱兩兩垂直的三棱錐的三個側面面積的平方和等于底面面積的平方；再如：有這樣一道題目，三個平面可以把空間分成幾個部分？請畫圖說明。這對初學者來說要完整答出有些困難。但是如果讓學生類比平面幾何中的問題：三條直線可以把平面分成幾個部分？把對這個問題的解決過程類比過來，前面的問題就能應迎刃而解了。

當然，類比的產生有時是思維中的靈光閃現，但也并非無跡可尋。其核心就是善于把考慮的問題盡可能地“退”到熟悉的相關的問題中，尋找一個合適的類比對象，加以聯系，并且不斷總結經驗，上升到理性認識。

二、 解題中的“退”

1. “退”到極端情形——特殊化

數學中的許多一般性質往往會通過一些數量上達到極端值的對象反映出來。這就使得我們可以把它們作為重點考察對象，在解題時通過“退”到這些極端情形，來尋找問題的突破點和答案。這就是特殊與一般的辯證觀點的體現。

這種“退”的策略在數學解題中往往起著重要的作用。在解題中我們可以結合具體問題的背景，從一些特殊的對象（特殊點、特殊數據、特殊圖形）和特殊位置入手加以探究，經常可以收到奇效。如：

例1 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數列，則■=

解析 取a=3，b=4，c=5，則a，b，c符合成等差數列的條件，且∠C=90°

∴cosA=■，cosC=0∴原式=■=■

例2 過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作直線a交拋物線于A，B兩點，則■+■=（ ）

A、 2p B、■ C、 ■ D、■

解析 考慮直線a的特殊位置，當直線a垂直于拋物線的對稱軸時，直線a的方程為x=■，易得|AF|=|BF|=p，∴■+■=■，選D。

當然，以上幾個例題的解答相對只注重得到結論。我們在實際的教學時，如果有條件，不能滿足于到此為止，應當繼續(xù)做一般性的探究，以培養(yǎng)學生思維的深刻性。這也符合新課程標準中“強調數學的本質，注重適當的形式化”這一理念。比如對例2做一般性的討論，原來所考慮的特殊位置本身就是一般解法的一部分。

上面所舉的例題都是客觀題，其實“特殊化“的思想方法在解綜合題時也同樣能發(fā)揮作用。如：

例3 （2006·遼寧） 已知f（x）=xn，fk（x）=■其中k≤n（n，k∈Z+ ），設F（x）=C0n f0（x2）+C1n f1（x2）+…+Ckn fk（x2）+Cnn fn（x2），x∈[-1，1]

（1）略

（2）證明：對任意的x1，x2∈[-1，1]，恒有|F（x1）-F（x2）|

≤2n-1（n+2）-n-1

解析 本題綜合性較強，難度大。先求出函數F（x）的表達式，再利用該表達式得到函數F（x）的單調性和奇偶性，然后的關鍵點就是對|F（x1）-F（x2）|進行變換。這時只需考慮取F（x）的極端值，易得F（x）max=F（1），F（x）min=F（0），從而就有對于任意的x1，x2∈[-1，1]，都有|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0），最后再將不等式的右邊利用函數F（x）的表達式變形化簡即可。

上面這道題的解題思路就是“退”到極端位置，所以在解決一些一般性、存在性的問題時，“退”到極端情形是很好的切入點。

2. “退”到起始點——分析法

分析法是一種直接證明的方法，即從數學的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。簡言之就是執(zhí)果索因，它實際上也是一種主動的“退”，有目的性的“退”。有如一條江從源頭開始，后面可能產生很多分支。如果我們把數學題中的已知條件比作一條江的源頭，待證結論比作它的下游。那么，從下游逆流而上尋找源頭，反倒更有目的性，不容易受到其他支流的干擾，也更能發(fā)現問題的本質。

例如 新課程標準（湘教版）選修4-5《不等式選講》中提到了定理：|a+b|≤|a|+|b|

對這個定理可采用綜合法證明如下：

∵-|a|≤a≤|a|——① -|b|≤b≤|b|——②

∴由①②相加得到：-（|a|+|b|）≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b|

在上述的證明過程中，筆者認為①②兩式的引入讓人覺得有點突然，而且教師在講解時不容易講清思考方向。但若采用分析法來解決，思路的產生就顯得自然多了。另外還可以采用另一種更為簡潔的分析法證明：

要證 |a+b|≤|a|+|b| 只需證|a+b|2≤（|a|+|b| ）2

只需證a2+2ab+b2≤a2+2|ab|+b2 只需證ab≤|ab|

上式顯然成立 ∴原不等式成立。

綜上，筆者認為在數學學習中，應具有“退”的意識，講究“退”的方法與策略。當代著名的美國數學家、教育家波利亞說過：“我們應該談論一般化，特殊化和類比這些過程本身，它們是獲得發(fā)現的偉大源泉。”就讓我們以退為進，使學生學會學習，學會探究，學會創(chuàng)新吧！