運(yùn)用“微探究”提升初中數(shù)學(xué)幾何定理教學(xué)的有效性

鄭麗娟

摘 要：“微探究”教學(xué)具有小巧、靈活、用時(shí)少、便于操作的特點(diǎn)，很適合在初中數(shù)學(xué)幾何定理課堂教學(xué)上運(yùn)用，是提升課堂教學(xué)有效性的一種途徑。

關(guān)鍵詞：微探究；定理教學(xué)；有效性

1 問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一；動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。平面幾何定理是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在教學(xué)中必須加強(qiáng)定理的探索與發(fā)現(xiàn)過程的教學(xué)。一般的探究教學(xué)用時(shí)長(zhǎng)、操作煩、過程多，在實(shí)際課堂定理教學(xué)中很難展開，“微探究”教學(xué)具有小巧、靈活、用時(shí)少、便于操作的特點(diǎn)，很適合在初中數(shù)學(xué)幾何定理課堂教學(xué)上運(yùn)用。它是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、課堂實(shí)際，靈活地從課堂中拿出5-15分鐘，圍繞某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某一問題，以學(xué)生為主體、師生共同參與的一種研討式、交流式的教學(xué)方式。平面幾何定理的“微探究” 教學(xué)不僅可以很好地做到教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的統(tǒng)一，也是提高學(xué)生合情推理能力和演繹推理能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑。筆者在初中幾何定理教學(xué)中進(jìn)行了“微探究”的一些探索，現(xiàn)交流如下：

2 幾何定理教學(xué)中實(shí)施“微探究”的教學(xué)流程

2.1 實(shí)施動(dòng)手操作式的“微探究”，揭示定理的內(nèi)在本質(zhì)

案例1“直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理”的微探究

2.1.1 對(duì)定理的簡(jiǎn)要說明

“直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理”是比較重要的一個(gè)性質(zhì)，但在初中數(shù)學(xué)教材中它卻是以矩形性質(zhì)（矩形的對(duì)角線相等）的推論直接呈現(xiàn)出來的，學(xué)生對(duì)這一定理的理解就只停留在表面的文字?jǐn)⑹龊蛿?shù)學(xué)符號(hào)語言上，甚至很多學(xué)生忽視了它的存在。筆者在教學(xué)中設(shè)置了一個(gè)“微探究”過程，取得了很好的效果。

2.1.2 “微探究”過程

第一步，學(xué)生帶著問題畫圖探究。

師：請(qǐng)你從直角頂點(diǎn)C出發(fā)向斜邊AB引一條線段CD，使得該線段將一個(gè)一般直角三角形ABC分成兩個(gè)等腰三角形。

學(xué)生考慮作的角平分線或斜邊AB上的高或斜邊AB上的中線。

第二步，學(xué)生自主探究，合作交流。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)作的角平分線CD或斜邊AB上的高CD只能將等腰直角三角形ABC分成兩個(gè)等腰三角形，一般的卻不成立。接著有學(xué)生提出作斜邊AB邊上的中線可以，通過畫幾個(gè)圖用尺子測(cè)量發(fā)現(xiàn)都能得出AD=CD=BD的結(jié)論。

師：很好，度量猜想也是思考問題的一種方法。我們?cè)撛趺打?yàn)證呢？

生1：我有另外一種做法，先作∠ACD=∠A，那么CD=AD，△ACD是等腰三角形。接下來只要證另一個(gè)三角形也是等腰三角形就可以了（如圖1所示）。

師：你太棒了，另辟奚徑，給我們解決問題提供了一種很好的思路。能跟我們一起分享你的證法嗎？

生1：因?yàn)椤螦CD+∠BCD=90°，∠A+∠B=90°，∠ACD=∠A。所以∠B=∠BCD，BD=CD，△BCD也是等腰三角形。

師：非常好！通過余角的重要性質(zhì)來證得。還有同學(xué)需要補(bǔ)充的嗎？

生2：這一題先作∠BCD=∠B，也可以證明ACD是等腰三角形。

生3：是啊，我還發(fā)現(xiàn)CD=■AB。

師：你的觀察力真敏銳，發(fā)現(xiàn)了直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系。

第三步，學(xué)生獲得結(jié)論。

生4：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

師：大家真棒，都成了一次數(shù)學(xué)家，成功地經(jīng)歷了定理的探索與發(fā)現(xiàn)過程。這就是今天我們所要學(xué)的直角三角形一個(gè)重要的性質(zhì)定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！?/p>

2.1.3 “微探究”效能分析

以上是對(duì)“直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理”進(jìn)行引入時(shí)實(shí)施的一次“微探究”。 學(xué)生對(duì)定理的理解是一個(gè)由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程，將定理以適當(dāng)?shù)姆绞郊右砸氩⑴鍋睚埲ッ}不但能使定理的內(nèi)容在學(xué)生頭腦中留下深刻的印象，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。該“微探究”先由學(xué)生動(dòng)手操作獲得直觀體驗(yàn)、體現(xiàn)了新課程理念提倡的幾何直觀形象化；再由學(xué)生自主探索、合作交流獲得定理，實(shí)現(xiàn)了由感性到理性的認(rèn)識(shí)、揭示了定理的內(nèi)在本質(zhì)。整個(gè)微探究過程都是以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，充分體現(xiàn)了新課程的核心理念。經(jīng)歷了該“微探究”過程，學(xué)生不僅可以很好地把相關(guān)的幾何圖形與該定理內(nèi)容聯(lián)系在一起，達(dá)到對(duì)定理的靈活運(yùn)用；而且合情推理和演繹推理能力也得到了進(jìn)一步提高。

2.2 實(shí)施任務(wù)驅(qū)動(dòng)式的“微探究”，揭示定理的聯(lián)系與區(qū)別

案例2 “菱形的性質(zhì)定理”的微探究

2.2.1 對(duì)定理的簡(jiǎn)要說明

菱形是特殊的平行四邊形，整個(gè)學(xué)習(xí)研究?jī)?nèi)容與平行四邊形相似。在學(xué)習(xí)菱形之前，學(xué)生已獲得了相關(guān)學(xué)習(xí)的一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可以讓學(xué)生對(duì)菱形性質(zhì)進(jìn)行自主探究、合作學(xué)習(xí)，教師在整個(gè)過程中起組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用。此外，在這一章中，涉及到的定理內(nèi)容較多，由學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)可以很好地做到對(duì)定理進(jìn)行聯(lián)系與區(qū)別，避免混淆。

2.2.2 “微探究”過程

任務(wù)1 平行四邊形的性質(zhì)有哪些？它是從哪幾方面進(jìn)行闡述的？

任務(wù)2 類比平行四邊形的性質(zhì)，探究菱形除了具備平行四邊形的一般性質(zhì)外，還具有自己本身哪些特殊的性質(zhì)？并證明之。

學(xué)生獨(dú)立探究、動(dòng)手操作，類比平行四邊形，利用量角器、三角板、直尺等工具從菱形的邊、角、對(duì)角線等方面探索菱形可能具有的特殊性質(zhì)，并將探究結(jié)論寫下來。兩分鐘后小組交流，三分鐘后小組選代表講解、交流，相互補(bǔ)充，猜想菱形具有的特殊性質(zhì)。最后學(xué)生上臺(tái)結(jié)合黑板上的菱形進(jìn)行講解，證明所得的結(jié)論，師生共同補(bǔ)充，得出菱形的性質(zhì)。

2.2.3 “微探究”效能分析

該“微探究”通過老師設(shè)置任務(wù)，學(xué)生受任務(wù)的驅(qū)動(dòng)通過類比平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行自主探索、合作交流學(xué)習(xí)。在不斷的思維碰撞中促進(jìn)了對(duì)菱形性質(zhì)的自主建構(gòu)，并完善了自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，很好地進(jìn)行了相關(guān)定理的聯(lián)系與區(qū)別。充分體現(xiàn)了新課程的理念，以學(xué)生為主體，對(duì)于新知識(shí)的獲取建立在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。此外，對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生后續(xù)的正方形、等腰梯形、直角梯形性質(zhì)的探究學(xué)習(xí)也起著積極作用：都是抓住“邊、角、對(duì)角線”三個(gè)基本元素進(jìn)行研究，研究對(duì)象也都只關(guān)注它們的度量關(guān)系和特殊位置關(guān)系；從而進(jìn)一步積累了數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.3 實(shí)施問題引導(dǎo)式的“微探究”，進(jìn)行定理的拓展

案例3 “多邊形的內(nèi)角和定理”的微探究

2.3.1 對(duì)定理的簡(jiǎn)要說明

多邊形內(nèi)角和知識(shí)與三角形相聯(lián)系，從三角形內(nèi)角和到多邊形內(nèi)角和環(huán)環(huán)相扣，前面知識(shí)為后邊知識(shí)做了鋪墊，同時(shí)下一課時(shí)的多邊形內(nèi)角和與本節(jié)內(nèi)容又密切聯(lián)系。因此對(duì)這個(gè)定理很有必要進(jìn)行探究。

2.3.2 “微探究”過程

第一步：創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)疑激思。

問題1：三角形內(nèi)角和是180°，那若改為四邊形、五邊形、甚至n邊形內(nèi)角和又分別是多少呢？

問題2：在解決這個(gè)問題之前，我們先來回顧一下三角形內(nèi)角和是通過什么方法猜想出來的？（生答用量角器度量或拼角。）

問題3：根據(jù)三角形內(nèi)角和的求法，你能否猜想出四邊形的內(nèi)角和呢？

問題4：在度量、拼角的過程中，有沒有發(fā)現(xiàn)這兩種方法存在不足之處呢？我們能否嘗試找到一種精確、省事且有理論根據(jù)的方法呢？

生答度量方法不精確，拼角方法操作不太容易，更有學(xué)生提出若不是四邊形，而是邊數(shù)較大的任意一個(gè)多邊形時(shí)，這兩種方法都不好用。

第二步：引導(dǎo)探索。

問題5：在我們解決未知的問題時(shí)，可以考慮用什么方法來解決呢？（生答將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。）

學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究。2分鐘后，小組討論、交流，尋找解答方法，并共同進(jìn)行歸納總結(jié)得出了以下4種方法（如圖2、圖3、圖4、圖5所示）。

第三步：類比遷移。

問題6：在我們剛得到的幾種方法你覺得哪種方法最簡(jiǎn)單呢？涉及到了哪些數(shù)學(xué)思想？（生答第一種，“類比”思想、“轉(zhuǎn)化”思想、“分類討論”思想。）

問題7：請(qǐng)同學(xué)們選擇你最喜歡的方法探索五邊形、六邊形的內(nèi)角和，并猜想n邊形的內(nèi)角和是多少？

學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、歸納與合作交流很順利地完成了上述任務(wù)。

2.3.3 “微探究”效能分析

教育的根本目標(biāo)就是育人，“從數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度，作為人的發(fā)展，就體現(xiàn)在發(fā)展人的認(rèn)知力?！苯虒W(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是面對(duì)新的情境，解決新問題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生尋求解決新問題的思路和方法?！皢栴}是思維的心臟”， 在一連串層層遞進(jìn)的設(shè)問中，探究實(shí)踐過程要真正理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，并關(guān)注到了數(shù)學(xué)的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3 幾何定理教學(xué)中實(shí)施“微探究”的思考

初中數(shù)學(xué)幾何定理的有效教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生合情推理、演繹推理、邏輯思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑，因此，引入“微探究”就顯得很有必要。但在具體實(shí)施時(shí)應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)：

（1）選擇的內(nèi)容要符合本班學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，要在學(xué)生能力“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，要有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索。

（2）面向全體學(xué)生，關(guān)注個(gè)體差異；給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間進(jìn)行探索；在經(jīng)歷定理的形成與發(fā)展過程，弄清定理的來龍去脈時(shí)，要特別注意數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與數(shù)學(xué)基本思想的滲透，為進(jìn)一步遷移和應(yīng)用做好準(zhǔn)備。

（3）定理的內(nèi)容要與幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，滲透“數(shù)形結(jié)合”思想；要盡可能與學(xué)過的定理聯(lián)系起來在新舊知識(shí)的反復(fù)重構(gòu)中加深理解。

（4）教師要進(jìn)行及時(shí)的激勵(lì)性與過程性評(píng)價(jià)。

4 結(jié)束語

筆者在近一年的“微探究”教學(xué)實(shí)踐中初見成效：所執(zhí)教的兩個(gè)班實(shí)驗(yàn)班比控制班更樂于學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生的思維能力得到了提升，解題能力也有了明顯的提高。綜上所述，在初中數(shù)學(xué)幾何定理教學(xué)中實(shí)施“微探究” 教學(xué)是適合我們目前課堂、提升課堂教學(xué)有效性的一種有效途徑。讓我們合理運(yùn)用“微探究”進(jìn)行教學(xué)，讓我們的“微探究”之路越走越遠(yuǎn) ！

參考文獻(xiàn)：

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[2]薛鶯，陳鋒. 運(yùn)用“微探究”幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2013（6）：20-22.