新課標(biāo)高考中運(yùn)算能力考查的特點(diǎn)分析

王戰(zhàn)普

摘要：新課標(biāo)高考以能力立意，運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，本文結(jié)合高考試題分析運(yùn)算能力的考查特點(diǎn)，即更側(cè)重與考查包括分析運(yùn)算條件、研究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算路徑等一系列過(guò)程中的思維能力。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)高考；運(yùn)算能力

新課程數(shù)學(xué)高考，更加重視對(duì)能力的要求，強(qiáng)調(diào)“能力立意”而非“知識(shí)立意”。以“能力立意”為統(tǒng)領(lǐng)的命題技術(shù)最大的特點(diǎn)是在考察學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，將學(xué)生大腦中依附于數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)能力由淺入深展示出來(lái)。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)五種能力兩種意識(shí)，運(yùn)算求解能力是其中之一。

運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合。運(yùn)算能力的核心包括合理、準(zhǔn)確、熟練、簡(jiǎn)潔四個(gè)維度，而準(zhǔn)確是運(yùn)算的基本要求，也是最低層次的要求；運(yùn)算的熟練，屬于技能的范疇。新課標(biāo)高考更側(cè)重與考查包括分析運(yùn)算條件、研究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算路徑等一系列過(guò)程中的思維能力，以及在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力，即重在運(yùn)算策略的選擇。

運(yùn)算能力的考察在新課程背景下主要集中在復(fù)數(shù)、三角函數(shù)恒等變換、數(shù)列、解析幾何四部分，以近三年的高考試題為例展開(kāi)說(shuō)明：

一、復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)在高考中通常是考察復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。在能力立意的背景下，復(fù)數(shù)又逐漸承擔(dān)了考察運(yùn)算能力的功能。

例1（2011年新課標(biāo)全國(guó)卷第1題）復(fù)數(shù)■的共軛復(fù)數(shù)是（ ）。

A.-■i B.■i C.-i D.i

解：解法一：■=■=i，共軛復(fù)數(shù)為-i，故選C

解法二：■=■=i，共軛復(fù)數(shù)為-i，故選C。

分析：試題中的復(fù)數(shù)精心設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)為分子和分母有一定的關(guān)系，以此來(lái)考查考生的觀察能力和優(yōu)化解題過(guò)程的能力。試題的設(shè)計(jì)使對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查和能力的考查巧妙結(jié)合，滿足了不同基礎(chǔ)和能力的考生的需求，彰顯了新課標(biāo)的理念。解法一學(xué)生可能要30秒，而解法二只需2秒，節(jié)約了時(shí)間，時(shí)間就是考試的生命，準(zhǔn)確提高質(zhì)量，就能贏得更高的分?jǐn)?shù)。

二、三角函數(shù)恒等變換

三角恒等變換的定位其中之一就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行恒等變形的訓(xùn)練，就是把復(fù)雜的關(guān)系用簡(jiǎn)單的形式表示出來(lái)。由于三角函數(shù)恒等變換公式較多，這一部分的試題常常新穎別致，解法靈活多樣，既考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，又能考查考生是否能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。

例2（2010年新課程全國(guó)卷第9題）若，cosα=-■，α是第三象限的角，則■=（ ）。

A.-■ B.■ C.2 D.-2

解法一：由cos2■=■，sin2■=■，得tan2■=■=9

因?yàn)棣潦堑谌笙薜慕?，則■是第二象限或第四象限的角，所以tan■=-3，原式=-■

解法二：tanα=■tanα=■，解得tan■=-3，tan■=■

因?yàn)棣潦堑谌笙薜慕牵瑒t■是第二象限或第四象限的角，所以tan■=-3，原式=-■

解法三：由tan■=■=■=■=-3則■=-■

解法四：■=■=■=■=-■

分析：解法一、二常規(guī)但很繁瑣，解法三較抓住了tan■與cosα，sinα之間的關(guān)系，簡(jiǎn)化了求半角的過(guò)程；解法四抓住了目標(biāo)式子的結(jié)構(gòu)特征得到了簡(jiǎn)化。學(xué)生必須探究并確定運(yùn)算的方向，恰當(dāng)選取運(yùn)算公式和知識(shí)點(diǎn)，最終確定自己的求解程序，不同的學(xué)生構(gòu)造了不同的解題流程，顯示出學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層把握。優(yōu)秀的學(xué)生能夠設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔流暢的思路，減少了運(yùn)算量，當(dāng)然也就減少了出錯(cuò)的可能性。

三、數(shù)列

數(shù)列在舊大綱中主要以壓軸試題出現(xiàn)，考察學(xué)生的邏輯推理能力，運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，新課標(biāo)背景下，數(shù)列的定位是作為一類特殊的函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用和提高學(xué)生的恒等變換的能力。

例3（2012年新課標(biāo)全國(guó)卷理16）數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan，=2n-1，則{an}的前60項(xiàng)和為 。

解法一：令a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a59+a58=115，a60-a59=117，n為奇數(shù)時(shí)的30個(gè)式子相加可得S偶-S奇=1770

又a4+a2=a4-a3+a3+a2=8，同理可推出a8+a6=24，…a60+a58=232

S偶=1800，S奇=30，前60項(xiàng)的和為1830。

解法二：a1=a1，a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1……由于，S4=10，S8-S4=26，S12-S8=42，…，所以S4k-S4（k-1）是以10為首項(xiàng)，16為公差的等差數(shù)列因?yàn)榍骃60，所以共有15項(xiàng)，S60=15×S4+■×15×14×16=1830

解法三：令a1=1，a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a10=10，a7=1，a8=14，…猜想每逢奇數(shù)項(xiàng)都1，偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，故結(jié)果為1830。

分析：通過(guò)賦值，把n=1到n=60都列了出來(lái)，再進(jìn)行歸納，是最容易想到的運(yùn)算思路，此為解法一；題目條件以遞推的形式給出但是缺少首項(xiàng)，根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)可以用首項(xiàng)去表示后面所有項(xiàng)，再發(fā)現(xiàn)規(guī)律，此為解法二；沒(méi)有給首項(xiàng)，即與首項(xiàng)值沒(méi)有關(guān)系，給a1賦特殊值即可，此為解法三。此題考查的知識(shí)點(diǎn)很少，把運(yùn)算技能和思維能力作為考查的重點(diǎn)。

四、解析幾何

解析幾何試題因其計(jì)算量大，綜合性強(qiáng)，成了歷年來(lái)學(xué)生感到困難的試題。新課標(biāo)的解析幾何試題正逐步淡化特殊技巧，注重通性通法，盡量控制試題的運(yùn)算量，而增加思維量，即“少考算，多考想”。2012年的高考試題很好體現(xiàn)了這一點(diǎn)。

例4（2012新課標(biāo)全國(guó)卷理20）設(shè)拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A∈C，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為4■；求P的值及圓F的方程；

（2）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值.

解：（1）由對(duì)稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2P，點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離，d=|FA|=|FB|=■P，S△ABD=4■？圳■×|BD|×d=4■？圳P=2

圓F的方程為x2+（y-1）2=8

（2）由對(duì)稱性設(shè)，則A（x0，■）（x0>0），則F（0，■）

點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱得：B（-x0，P-■）？圯P-■=-■？圳x02=3P2

得：A（■P，■），直線m：y=■x+■？圳x-■y+■=0

x2=2py？圳y=■？圯y′=■=■？圯x=■P？圯切點(diǎn)P（■，■）

直線n：y-■=■（x-■）？圳x-■y+■P=0

坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為■：■=3

分析：不難看出整個(gè)試題的運(yùn)算量不大，本題改變以往第一問(wèn)簡(jiǎn)答的模式，兩問(wèn)都需要分析條件，找到運(yùn)算的途徑。第一問(wèn)，是用S=■×底×高，或者是S=■absinc，根據(jù)題意應(yīng)選擇公式S=■×底×高，那個(gè)邊為底？就需要考生分析研究△BFD，結(jié)合圖象信息，不難得出△BFD是等腰直角三角形，面積自然表達(dá)出來(lái)了；第二問(wèn)求“坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值”需要確定直線的方程，運(yùn)算的路徑是從“三點(diǎn)在同一直線m上”這個(gè)信息得出A的坐標(biāo)，進(jìn)而求兩條直線的方程。

從上面的列舉的試題來(lái)看，運(yùn)算能力的考察不是單一進(jìn)行的，而是和思維能力和運(yùn)算技能相結(jié)合，選取合理簡(jiǎn)潔的路徑是運(yùn)算能力的考查的重點(diǎn)，集中體現(xiàn)在函數(shù)、方程、不等式的綜合，向量與解析幾何這兩類題中。這就需要我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)中，不但要正確解決問(wèn)題，而且要嘗試從不同的角度去解決問(wèn)題，優(yōu)化解題思路，挖掘解題的深層規(guī)律，掌握知識(shí)的核心，從而達(dá)到高考要求的合理、準(zhǔn)確、熟練、簡(jiǎn)潔四個(gè)維度。

【責(zé)編 張偉飛】