兩種矩形板考慮初始恒載效應(yīng)的位移伽遼金近似解

劉德貴　周世軍

摘要：基于板考慮初始恒載效應(yīng)的應(yīng)變能表達(dá)，運(yùn)用變分原理導(dǎo)出了靜力平衡控制微分方程。運(yùn)用伽遼金法求解得到了四邊固支、簡(jiǎn)支矩形板考慮初始恒載效應(yīng)的近似活載（或后期荷載）位移表達(dá)式，并運(yùn)用有限元法驗(yàn)證了公式的正確性。各近似位移表達(dá)式簡(jiǎn)單明了，清楚地反映了前期恒載和各因素對(duì)活載位移的影響，更為直觀地說明了板的恒載效應(yīng)這一概念。計(jì)算分析表明：初始恒載的存在增加了板的彎曲剛度，減小了活載位移；板的恒載效應(yīng)主要受恒載大小、跨厚比和邊界條件等因素的影響；對(duì)于較薄或彎曲剛度較小的板，在計(jì)算分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮這種恒載效應(yīng)對(duì)承受活載（或后期荷載）作用的受力行為影響。

關(guān)鍵詞：近似解；恒載效應(yīng)；位移；板

中圖分類號(hào)：TU313文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：16744764（2013）06005809

工程結(jié)構(gòu)中，由于初始恒載的存在，當(dāng)受到后續(xù)活載或荷載時(shí)，產(chǎn)生的位移和應(yīng)力將受初始彎曲的影響而變小的現(xiàn)象被稱為恒載效應(yīng)[14]。Takabatake[12]首次提出該概念，導(dǎo)出了梁考慮恒載效應(yīng)的靜、動(dòng)力控制微分方程，并對(duì)簡(jiǎn)支梁和兩端固定梁的恒載效應(yīng)進(jìn)行了研究，后來也分析了這一效應(yīng)對(duì)板動(dòng)力特性的影響[3]。Zhou等[4]和張家瑋等[57]進(jìn)一步分析了恒載效應(yīng)對(duì)梁受力性能的影響，提出了考慮恒載效應(yīng)的有限梁?jiǎn)卧恢苁儡奫89]提出了可供分析板恒載效應(yīng)的矩形板單元。后來，張家瑋等[1012]又提出了拱形梁考慮恒載效應(yīng)的非線性控制微分方程，討論恒載效應(yīng)對(duì)拱形梁的動(dòng)、靜受力特性的影響。劉德貴，等：兩種矩形板考慮初始恒載效應(yīng)的位移伽遼金近似解

目前為止，已有板的恒載效應(yīng)研究未提出考慮板恒載效應(yīng)的明確簡(jiǎn)單的活載（或后期荷載）位移解析解或近似解。本文基于板考慮恒載效應(yīng)的應(yīng)變能表達(dá)，運(yùn)用變分原理推導(dǎo)出了直角坐標(biāo)系下一般形式的靜力平衡控制微分方程，運(yùn)用伽遼金法解出了固支矩形板和簡(jiǎn)支矩形板考慮恒載效應(yīng)的活載位移近似解，并用有限元法驗(yàn)證了近似解公式的正確性。該公式可直接用于考慮了恒載效應(yīng)矩形板的受力分析。運(yùn)用活載位移近似解，進(jìn)行了不同長(zhǎng)寬比的2種矩形板的恒載大小和厚度對(duì)活載（或后期荷載）位移影響分析。分析結(jié)果表明：板實(shí)際存在這種恒載效應(yīng)，在較薄或彎曲剛度較小的板中表現(xiàn)明顯，初始恒載的存在提高了板承受活載的彎曲剛度，減小了板活載位移；這種恒載效應(yīng)主要受恒載大小、跨厚比和邊界條件等因素的影響；對(duì)于較薄或彎曲剛度較小的板，計(jì)算分析中應(yīng)考慮實(shí)際存在的這一恒載效應(yīng)對(duì)板的受力行為產(chǎn)生的影響，以做到精確分析和合理結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

從以上2種不同支撐條件的矩形板考慮恒載效應(yīng)的活載位移計(jì)算結(jié)果可以看出：考慮了初始恒載效應(yīng)的活載或后期荷載伽遼金近似解計(jì)算結(jié)果明顯小于彈性理論計(jì)算結(jié)果，這說明初始恒載提高了板在承受活載（或后期荷載）時(shí)的彎曲剛度。而且，恒載越大，板的厚度越小，這種初始恒載效應(yīng)越明顯；簡(jiǎn)支邊界條件板的恒載效應(yīng)明顯于固支邊界條件板；對(duì)上述2種矩形板來說，荷載和厚度、短邊尺寸一定，恒載效應(yīng)隨長(zhǎng)寬比的增加而增加。導(dǎo)致這種與彈性薄板理論計(jì)算結(jié)果差異的主要原因在于：已有彈性薄板理論忽略了初始荷載產(chǎn)生的初始彎曲應(yīng)力與后期荷載應(yīng)變耦合所產(chǎn)生的附加應(yīng)變能，以致最終形成了與已有彈性薄板理論不同的應(yīng)變能表達(dá)和靜力平衡控制微分方程及活載或后期荷載位移計(jì)算公式。另外，上述計(jì)算分析中，考慮恒載效應(yīng)的總位移均小于或略大于板的厚度，且板在最大的恒載（1.60）和活載的作用下，按彈性理論[16]計(jì)算獲得的最大應(yīng)力分別為：139.3、74.6 MPa。表明活載和恒載合理的取值范圍內(nèi)。這說明在合理的恒載和活載的取值范圍內(nèi)，2種不同支撐條件的矩形板恒載效應(yīng)明顯，因此在板的計(jì)算和分析中應(yīng)考慮這種恒載效應(yīng)。

6結(jié)論

基于考慮初始恒載效應(yīng)的應(yīng)變能公式，運(yùn)用變分原理導(dǎo)出考慮板恒載效應(yīng)一般形式的靜力平衡控制微分方程；運(yùn)用伽遼金法求解得到了固支和簡(jiǎn)支矩形板考慮恒載效應(yīng)的活載位移近似計(jì)算公式，提供了可供查詢的活載位移表達(dá)式中的常數(shù)表格。并運(yùn)用位移表達(dá)式進(jìn)行了計(jì)算分析，得到了有關(guān)板恒載效應(yīng)的結(jié)論。

1）2種矩形板考慮恒載效應(yīng)的伽遼金位移近似解的獲得，更為清楚地說明了恒載對(duì)板承受活載（或后期荷載）受力性能產(chǎn)生的影響，初始恒載增大了板活載的彎曲剛度，減小了活載位移；各位移表達(dá)式簡(jiǎn)圖2簡(jiǎn)支矩形板wmax/wmax-/0關(guān)系曲線

單明了，物理意義明確，可方便運(yùn)用于2種矩形板在均布荷載作用下考慮恒載效應(yīng)的受力分析。

2）矩形板的恒載效應(yīng)主要受恒載大小、板的尺寸、厚度和邊界條件的影響。初始恒載越大，跨厚比越大，邊界約束越弱，這種效應(yīng)越明顯。

3）恒載效應(yīng)對(duì)板的受力性能產(chǎn)生了不可忽略的影響，在厚度較薄或彎曲剛度較小的板中表現(xiàn)尤為明顯，在計(jì)算分析與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，應(yīng)充分細(xì)致考慮實(shí)際存在的這一恒載效應(yīng)，以做到精確分析與合理設(shè)計(jì)。

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（編輯薛婧媛）