偽蒙特卡羅法及其在邊坡可靠度分析中的應用

褚雪松　李亮

摘要：在確定具有最小可靠度指標的滑動面（即臨界可靠度滑動面）時，由于常規(guī)的蒙特卡羅法抽樣耗時巨大，臨界可靠度滑動面的獲得較為耗時。對于均質(zhì)邊坡，利用簡化Bishop法構(gòu)建了可靠度分析的功能函數(shù)，設計了6種隨機變量的標準差組合，假定了隨機變量的4種抽樣范圍，利用抽樣次數(shù)較小的蒙特卡羅法即偽蒙特卡羅法對隨機生成的132組可行滑動面進行了偽可靠度指標的計算并與蒙特卡羅法計算得到的可靠度指標進行了比較分析，研究發(fā)現(xiàn)：只有一個隨機變量的前提下，滑動面的偽可靠度指標與蒙特卡羅法計算的可靠度指標呈完全線性關(guān)系，在其它條件相同的情況下，偽蒙特卡羅法抽樣范圍越大，偽可靠度指標與蒙特卡羅法計算的可靠度指標之間的擬合直線斜率越小，反之亦然；偽蒙特卡羅法抽樣次數(shù)越大，偽可靠度指標與蒙特卡羅法計算的可靠度指標之間的擬合直線斜率越大，反之亦然。對均質(zhì)邊坡，可應用偽蒙特卡羅法快速計算其臨界可靠度指標。

關(guān)鍵詞：邊坡穩(wěn)定；可靠度分析；極限平衡法；蒙特卡羅法

中圖分類號：TU441文獻標志碼：A文章編號：16744764（2013）06003307

目前邊坡穩(wěn)定性分析中，雖然基于極限平衡方法（諸如簡化Bishop法[1]、SARMA法[2]、摩根斯坦普萊斯法[3]以及不平衡推力法[4]）的確定性分析仍然在工程中廣泛應用，但邊坡穩(wěn)定可靠度分析也越來越受到巖土工程界的關(guān)注。與確定性分析僅能得到關(guān)于滑動面的一個安全系數(shù)不同，可靠度分析能得到關(guān)于滑動面的安全系數(shù)均值及標準差，所以能更合理地評價邊坡的穩(wěn)定性。邊坡可靠度分析與傳統(tǒng)的極限平衡方法是密切相關(guān)的，當前可靠度分析中所需要的功能函數(shù)一般是基于極限平衡方法構(gòu)建的，對于給定的某個滑動面，可采用蒙特卡羅法[510]、一次二階矩法[1113]、響應面法[14]等來計算其可靠度指標（或者失效概率），幾種方法各有優(yōu)缺點，譬如蒙特卡羅法可避免求偏導數(shù)等復雜的數(shù)學運算，但是抽樣次數(shù)一般較大，與滑動面的失效概率有關(guān)，失效概率越小，抽樣次數(shù)越大[5]；一次二階矩法僅需要隨機變量的均值和方差即可進行可靠度指標的求取，然而卻需要多次與多層的迭代；響應面法是一種近似模擬功能函數(shù)的方法，或者說是一種便于功能函數(shù)求導運算的途徑。在邊坡可靠度分析中，最終需要確定具有最小可靠度指標的滑動面（稱之為臨界可靠度滑動面，下同），臨界可靠度滑動面的確定步驟與具有最小安全系數(shù)滑動面（稱之為臨界滑動面，下同）的確定類似，適用于臨界滑動面確定的許多搜索方法（譬如傳統(tǒng)的網(wǎng)格法、窮舉法以及近期發(fā)展的智能方法等）均可以用于臨界可靠度滑動面的搜索中[5]。兩者的區(qū)別在于，臨界滑動面的獲取僅需要幾分鐘甚至更小的時間，然而臨界可靠度滑動面的確定卻非常耗時，其原因是顯而易見的，譬如蒙特卡羅法的上千、萬次的抽樣（每一次抽樣意味著一次安全系數(shù)的計算），以及一次二階矩法的多層迭代等。為了快速地對邊坡進行可靠度分析，往往先得到臨界滑動面，然后再對臨界滑動面進行一次可靠度指標的計算作為評價之用，這就導致臨界可靠度滑動面與臨界滑動面是一致的，但顯然這是不符合工程實際的，本文針對均質(zhì)邊坡探索一種快速確定臨界可靠度滑動面的方法。褚雪松，等：偽蒙特卡羅法及其在邊坡可靠度分析中的應用1臨界可靠度滑動面的確定

臨界可靠度滑動面確定的第1步是如何從數(shù)學上描述潛在滑動面，作為一般情況，可假定潛在滑動面為任意形狀滑動面，筆者曾對數(shù)種可行的構(gòu)造方法進行了比較分析[15]。本文針對均質(zhì)邊坡進行，因此可假定滑動面為圓弧，需要3個變量確定一條滑動面；

第2步就是采用一種方法計算可行滑動面的可靠度指標，譬如蒙特卡羅法、一次二階矩法等。本文假定隨機變量符合正態(tài)分布，利用蒙特卡羅法計算其可靠度指標，功能函數(shù)為g=Fs-1，F(xiàn)s可以是任意一種極限平衡方法得到的安全系數(shù)，本文用簡化Bishop法[1]計算功能函數(shù)中的安全系數(shù)；

第3步就是變化潛在滑動面尋求臨界可靠度滑動面的策略，即搜索算法。關(guān)于搜索算法，目前算法種類繁多，本文選用簡單易行的和聲搜索算法[16]進行，關(guān)于和聲搜索算法在邊坡穩(wěn)定分析中的具體應用可參見文獻[17]。2偽蒙特卡羅法抽樣

2.1蒙特卡羅法抽樣

蒙特卡羅法適用于隨機變量的概率密度分布形式已知或符合假定的情況，它避免了功能函數(shù)對隨機變量的求導運算從而可方便地與任意一種極限平衡方法結(jié)合。實際上，蒙特卡羅法直接求解的是滑動面的失效概率，其主要思想為：首先對隨機變量進行大量的隨機抽樣，然后將這些抽樣值逐個代入功能函數(shù)并判斷功能函數(shù)是否小于零（即失效），最終將失效的抽樣次數(shù)與總的抽樣次數(shù)之比定義為失效概率，當然也可以根據(jù)功能函數(shù)的均值和標準差來計算與此失效概率相對應的可靠度指標。

4結(jié)論

鑒于蒙特卡羅法抽樣次數(shù)巨大導致的臨界可靠度滑動面搜索困難的問題，針對一均質(zhì)邊坡，在只有一個隨機變量的前提下，提出了一種偽蒙特卡羅抽樣方法，比較了偽蒙特卡羅法抽樣次數(shù)以及抽樣范圍對結(jié)果的影響，初步研究得到以下結(jié)論：

1）對均質(zhì)邊坡而言，滑動面的偽可靠度指標與蒙特卡羅法計算的可靠度指標呈完全線性關(guān)系，偽蒙特卡羅法抽樣范圍以及抽樣次數(shù)Q都沒有影響。

2）在其它條件相同的情況下，偽蒙特卡羅法抽樣范圍越大，偽可靠度指標與蒙特卡羅法計算的可靠度指標之間的擬合直線斜率越小，反之亦然。

3）在其它條件相同的情況下，偽蒙特卡羅法抽樣次數(shù)越大，偽可靠度指標與蒙特卡羅法計算的可靠度指標之間的擬合直線斜率越大，反之亦然。

4）對均質(zhì)邊坡，可應用Q=2的偽蒙特卡羅法進行臨界可靠度指標的搜索，然后換算為蒙特卡羅法的可靠度指標。

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（編輯胡玲）