巧用軸對(duì)稱性，提升解題能力

周昭映

“軸對(duì)稱性”在初中數(shù)學(xué)解題中比較常見。將圖形與數(shù)結(jié)合，聯(lián)系各知識(shí)點(diǎn)，從圖形中獲取信息，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力和想象力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。下面結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐，通過幾個(gè)具體的例子，談?wù)勢(shì)S對(duì)稱性在解題中應(yīng)用。

一、軸對(duì)稱性在軸對(duì)稱圖形中的應(yīng)用

軸對(duì)稱圖形有正方形、菱形、圓、線段、角等，這些圖形本身的性質(zhì)往往是計(jì)算線段的長度，例如：

例1：如圖1，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的

數(shù)分別為-1和 ，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)

稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（ ） 圖1

分析：如圖1，由絕對(duì)值的幾何意義得知，點(diǎn)C與點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離相等，即│AB│=│CA│= +1，利用對(duì)稱思想，結(jié)合點(diǎn)C在負(fù)半軸上，解得點(diǎn)C表示的數(shù)為―2― 。

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形

OACB的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），

點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是-1，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）。

分析：菱形的兩條對(duì)角線所在的直線都為它的對(duì)稱軸，由對(duì)角線OC所在的直線（X軸）為對(duì)稱軸，得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，以直線AB為對(duì)稱軸，由對(duì)稱思想， OC=2，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，即點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，1）。

例3：正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊

三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有

一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值是（ ）。

分析：此題解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)D或點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)。顯然，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，則線段BE的長度即為所求，因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，所以PD+PE=BE=AB=2 。

二、軸對(duì)稱性在“折疊”中應(yīng)用

“折疊”中包含了角平分線的概念、平行線性質(zhì)、軸對(duì)稱，直角三角形性質(zhì)，全等形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，函數(shù)方程等知識(shí)，敘述簡潔，學(xué)生從圖形中獲取有用的信息，從而解決問題。

例1：如圖1，將矩形ABCD沿BE折疊，

若∠CBA'=30°，則∠BEA'=（ ）。

分析：已知∠CBA'=30°，由矩形ABCD沿BE折疊，知∠A'BE=∠ABE=∠ABA'÷2=30°，再由直角三角形兩個(gè)銳角互余，∠BEA'=90°-∠A'BE=60°

例2：如圖2，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E

分別是AB，AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)

A落在點(diǎn)A'處，且點(diǎn)A'在△ABC外部，則陰

影部分圖形的周長為（ ）。

分析：從表面上看，此題是求圖形的周長。事實(shí)上，利用軸對(duì)稱性（直線DE是對(duì)稱軸），A'D=AD，A'E=AE，將陰影部分圖形的周長轉(zhuǎn)化為三角形△ABC的周長，即3cm。

例3：動(dòng)手操作；在矩形紙片ABCD中，

AB=3，AD=5，如圖3所示，折疊紙片，使點(diǎn)

A落在BC邊上的A'處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A'

在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移

動(dòng)，若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，

則點(diǎn)A'在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為（ ）。

分析：此題如果按照題目要求：動(dòng)手操作，問

題簡單化，在動(dòng)手操作過程中，易得到動(dòng)點(diǎn)A'有兩

種極端位置，如圖3-1，當(dāng)點(diǎn)Q，D重合時(shí)，

求得BA'=1如圖4-2，當(dāng)點(diǎn)P，B重合時(shí)，求得BA'=3，

所以，答案是2。

當(dāng)然，能用軸對(duì)稱性來解題目還有很多，限于篇幅，不可能一一舉例。

數(shù)學(xué)思想方法可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成，軸對(duì)稱的性質(zhì)使用，不僅提高學(xué)生運(yùn)用空間觀念、函數(shù)方程思想，領(lǐng)悟一些解題中的共性問題，而且對(duì)掌握必要的數(shù)學(xué)方法和策略也是大有裨益的。