對等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)

金瑜

等差數(shù)列是高中階段研究的兩種最常見的數(shù)列之一。講解時(shí)要在實(shí)例的基礎(chǔ)上，采用從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，對此，學(xué)生接受起來并不太困難。只有巧妙的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使其充分體驗(yàn)到成功的樂趣。

一、問題設(shè)計(jì)

在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會遇到下面的特殊數(shù)列：

我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5個(gè)數(shù)一次，可以得到數(shù)列：

0，5，_，_，_，_，。。。

水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚，如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：

18，_，_，_，_，5.5

我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息，按照單利計(jì)算本利和的公式是：

本利和=本金？1+利率狀嫫？

例如，按活期存入1000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和組成的數(shù)列是：

_，_，_，_，_。

問題：上面的數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？你能用數(shù)學(xué)語言（符號）描述這些特點(diǎn)嗎？

二、建立模型

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，即an+1-an=d

問題：

如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫a，b的等差中項(xiàng)，你能用a，b表示A嗎？

你能猜想出問題情境中的3個(gè)數(shù)列各自的通項(xiàng)公式嗎？

一般地，對于等差數(shù)列{an}，你能用基本量a1、d來表示其通項(xiàng)嗎？

解法：（1）：歸納：a1=a1，a2=a1+d，a3=a1+2d，…

an=a1+（n—1）d

解法（2）：累加：a2—a1=d，a3—a2=d，…，an+1-an=d，各式相加

得an—a1=（n—1）d

∴an=a1+（n—1）d

〔思考〕

（1）這個(gè)通項(xiàng)公式有何特點(diǎn)？是關(guān)于n的幾次式的形式？d可以等于0嗎？

（2）此公式中有幾個(gè)量？

〔結(jié)論〕

（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式的形式，n的系數(shù)為d。當(dāng)d=0時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列。

（2）此公式中有四個(gè)量，即 n，d，知道其中任何三個(gè)可求另外一個(gè)，所以，通項(xiàng)公式實(shí)質(zhì)上是四個(gè)量之間的關(guān)系。

三、解釋應(yīng)用

1、（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)。

（2）—401是不是等差數(shù)列—5，—9，—13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

2、某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/千米，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，須要支付多少車費(fèi)？

解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客須要支付1.2元，所以，可建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi)。

令a1=11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么，當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n=11，此時(shí)須要支付車費(fèi)a11=11.2+（11—1）？.2=23.2（元）。

答：須要支付車費(fèi)23.2元。

3、已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q，其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

分析：判定{an}是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看an-an-1（n>1）是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)。

解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an與an-1（n>1），求差，得

an-an-1=（pn+q）-〔p（n-1）+q〕=pn+q-（pn-p+q）=p

四、拓展延伸

在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為an=3n-5的數(shù)列的圖像，并說出這個(gè)數(shù)列的圖像有什么特點(diǎn)，該圖像與y=3x-5的圖像有什么關(guān)系？據(jù)此，你能得出一般性的結(jié)論嗎？

通項(xiàng)公式的四個(gè)量中知道其中三個(gè)量可求另一個(gè)量，你能據(jù)此編出一些不同的題目嗎？

對于兩個(gè)次數(shù)相同的等差數(shù)列{an}和{bn}，{an+bn}，{an·bn}·{}（bn=0）是否為等差數(shù)列？

總之，教師能否調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和能否真正培養(yǎng)學(xué)生能力，提高課堂效率，很大程度上取決于教師能否設(shè)計(jì)出既符合教材要求又符合學(xué)生的認(rèn)知水平的問題，通過設(shè)計(jì)一些列問題，層層遞進(jìn)，使問題得到了全面解決，這樣不僅鍛煉了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了能力，而且體現(xiàn)了新課程的理念。

（作者單位：河南省扶溝縣第二高級中學(xué)）