數(shù)形結(jié)合在提高高職學生數(shù)學素養(yǎng)方面的探究

楊 宏

摘 要：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學。“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅使解題簡捷高效，且開拓解題思路。運用數(shù)形結(jié)合思想，引導學生發(fā)散思維，提高他們的創(chuàng)新思維和能力，為以后進入社會靈活地處理問題打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)學素養(yǎng)；職業(yè)生涯

數(shù)學中“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展中的一條主線，使數(shù)學在實踐中應(yīng)用更加廣泛和深遠。一方面，借助于圖形的性質(zhì)將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直觀感；另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，可以獲得準確的結(jié)論。“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅使解題簡捷高效，還開拓了解題思路，為研究和探求數(shù)學問題開辟了一條重要途徑。數(shù)形結(jié)合是一種效率高的解題方法，更作為一種重要的數(shù)學思想，深刻影響學生職業(yè)生涯。

一、利用數(shù)形結(jié)合引導學生理解數(shù)學概念完整化、定理精確化

高職數(shù)學中的許多概念都是利用抽象的數(shù)學語言給予形式化的精確描述，由于這種描述高度抽象，初學者很難理解它的含意，特別是對高職學生來說，他們的數(shù)學基礎(chǔ)差，對數(shù)學有恐懼感，不喜歡數(shù)學，在這種情況下對數(shù)學概念不加理解地死記硬背，很難掌握應(yīng)用。在教學中可利用數(shù)形結(jié)合來引導學生，以加深對基本概念的理解。

函數(shù)有界性的定義是最難被學生理解的，如果淡化文字描述，而采用圖形展示更易理解。有界性的定義是：當X∈I，存在正常數(shù)M，使得≤M，那么則稱f（x）在區(qū)間I上有界；如果這樣的M不存在，則稱f（x）在區(qū)間I上無界。利用數(shù)形結(jié)合法來理解主要是借助它的幾何意義。有界性的幾何意義是：存在兩條水平的直線y=c，y=d使得f（x）在區(qū)間I上有界；反之，如果這樣的水平直線不存在則無界。如圖所示：

圖1.函數(shù)的有界性 圖2.極值的充分條件

高職數(shù)學中有些重要定理也比較抽象，例如，函數(shù)的極值及其求法是高職數(shù)學中的重要內(nèi)容，即極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，且在x0的某去心領(lǐng)域U（x0，δ）內(nèi)可導。

（1）若x∈（x0-δ，x0）時，f ′（x0）>0，而x∈（x0，x0+δ）時，f ′（x）>0，則f（x）在x0處取得極大值。

（2）若x∈（x0-δ，x0）時，f ′（x0）<0，而x∈（x0，x0+δ）時，f ′（x0）>0， f（x）在x0處取得極小值。

（3）若x∈U（x0，δ）時，f ′（x）的符號保持不變，則f（x）在x0處沒有極值。

只根據(jù)定理本身理解且掌握并不容易，這時數(shù)形結(jié)合的思想的重要性就體現(xiàn)出來了。我們可以根據(jù)定理將f（x）的圖象畫出，對極值的第一充分條件獲得準確而深入的理解，在（1）中，當x∈（x0-δ，x0）時，f ′（x0）>0，由函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可知f（x）在區(qū)間 （x0-δ，x0）上單調(diào)遞減，同理在（x0，x0+δ）上單調(diào)遞增，由此我們畫出 大致的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象，可以對這一定理有直觀的理解。在x0的領(lǐng)域U內(nèi)的任一x有f（x）

可見運用數(shù)形結(jié)合的思想，引導學生觀察、分析、抽象概括得出結(jié)論，不僅加深了學生對定理的理解，而且讓學生體驗到數(shù)學思想的奧妙無窮、探索的神奇和發(fā)現(xiàn)的喜悅，這極大地提高學生學習數(shù)學的興趣，同時也會潛移默化地提高學生的數(shù)學素質(zhì)和創(chuàng)造能力。

二、利用數(shù)形結(jié)合引導學生巧妙解題

在數(shù)學解題過程中，有些問題只考慮數(shù)或形，雖然能解決，但有時過于繁雜，甚至很困難。若根據(jù)問題的條件與結(jié)論，既分析其代數(shù)式的含義，又考慮其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙而和諧的結(jié)合起來，充分利用這種結(jié)合，尋求解題方法，便能使學生容易下手，提高解題效率。

例1：判斷函數(shù)y=1gx與函數(shù)y=sinx交點個數(shù)

分析：本題無法通過求解值得到答案。但如果利用數(shù)形結(jié)合，在同一個坐標系中作出函數(shù)y=1gx與y=sinx的圖象，從圖中很清楚地發(fā)現(xiàn)有3個交點。如圖所示：

圖3.圖形解題一 圖4.圖形結(jié)合解題二

例2：求函數(shù)f（x）=當x→0時，f（x）的極限？

分析：由題意得：f（x）的左極限為：==1

f（x）的右極限為：==1

≠，所以x→0時，f（x）的極限不存在。

若根據(jù)函數(shù)圖象，很容易發(fā)現(xiàn)f（x）沒有極限。

從以上例子可以發(fā)現(xiàn)在數(shù)學解題中，利用數(shù)形結(jié)合可以簡化解題步驟，降低解題難度。根據(jù)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，化為幾何問題，可以使那些抽象的概念、復雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，更便于學生探求解題思路或找到問題的結(jié)論。

三、利用數(shù)形結(jié)合引導學生職業(yè)生涯成長

從上面各種數(shù)形結(jié)合的舉例中我們可以看出，充分抓住數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系去探索問題，可以加深對問題內(nèi)涵的理解。使抽象、復雜的數(shù)學問題變得形象、直觀，能夠化繁為簡，降低解題難度，對提高學生分析問題和解決問題的能力很有幫助。數(shù)形結(jié)合的思想需要滲透在學習新知識和運用已學知識解決問題的過程之中。努力提高高職數(shù)學的教學質(zhì)量，為高職學生提供長遠發(fā)展所必需的、夠用的數(shù)學基礎(chǔ)知識，為他們學好專業(yè)知識鋪平道路、打下基礎(chǔ)。作為援藏舉措，我校開設(shè)了相關(guān)專業(yè)的西藏班級，這些學生的漢語基礎(chǔ)不太好，對數(shù)學概念的理解不徹底。針對這些學生的特點，借助數(shù)形結(jié)合的方法，引導他們接受數(shù)學，慢慢學習數(shù)學知識。根據(jù)教學內(nèi)容綜合運用多種教學手段，改革教學方式，來培養(yǎng)學生的思維能力、創(chuàng)新能力。引導學生立足職業(yè)生涯進行更深層次的思考，讓學生輕松有趣地學、目的明確地學，為以后的工作生活打下基礎(chǔ)。

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