在課堂上展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程

張耀滿

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理的證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象；義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生在獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到發(fā)展。本文就初中階段數(shù)學(xué)建模思想滲透及數(shù)學(xué)建模過(guò)程、類型進(jìn)行討論。

一

建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法的綜合體現(xiàn)，是將現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域中的實(shí)在問(wèn)題加以提煉，經(jīng)過(guò)抽象簡(jiǎn)化，明確變量和參數(shù)，并據(jù)探求變量各參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，再求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該模型所提供的解答思路解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。初中階段數(shù)學(xué)建模類型主要有方程模型、不等式模型、幾何模型、三角模型、直角坐標(biāo)系模型、建立目標(biāo)函數(shù)模型等。

數(shù)學(xué)模型的建立可從以下幾個(gè)方面著手：①建模準(zhǔn)備工作：充分了解所要建模的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的實(shí)際意義和目的，深入細(xì)致調(diào)查，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這一現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。②對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化推理設(shè)想：根據(jù)所研究現(xiàn)實(shí)對(duì)象的本質(zhì)特征和建模的目的性，對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并做出大膽推理假設(shè)，注意假設(shè)應(yīng)該符合本現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的實(shí)際背景。③對(duì)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象進(jìn)行模型的建立：在推理假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)工具刻畫各現(xiàn)實(shí)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。④對(duì)所建立的模型求解：根據(jù)調(diào)查掌握的數(shù)據(jù)資料，利用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)求解，也可以利用計(jì)算機(jī)對(duì)所給參數(shù)做出估算，求解有時(shí)還包括畫圖、列表。⑤對(duì)所建立的模型進(jìn)行分析：對(duì)所得的解進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析比較、討論，如算法的科學(xué)性，精度影響等。根據(jù)計(jì)算結(jié)果對(duì)問(wèn)題作出全方位解答。以此驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適應(yīng)性，若模型與實(shí)際相差太遠(yuǎn)，則應(yīng)修改假設(shè)，再次建模。⑥對(duì)所建立的模型進(jìn)行應(yīng)用：把所得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而不同。

二

初中階段對(duì)數(shù)學(xué)模型的建立有多種不同的類型，依照不同的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題可分為以下幾種。

1.建立方程模型：對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的等量關(guān)系，如增長(zhǎng)率、儲(chǔ)蓄利息、濃度配比、工程施工、人員調(diào)配、行程等問(wèn)題，可列方程轉(zhuǎn)化為方程求解問(wèn)題。

例1：個(gè)人出版圖書(shū)獲得稿費(fèi)的納稅計(jì)算辦法是：稿費(fèi)不高于800元的不納稅，高于800元但不高于4000元的應(yīng)繳納超過(guò)800元的那一部分稿費(fèi)的14%的稅；高于4000元的應(yīng)繳納全部稿費(fèi)的11%的稅。

①若某人獲得一筆稿費(fèi)后，繳納462元的稅，則這筆稿費(fèi)是多少？

②若繳稅為280元，這筆稿費(fèi)是多少？

簡(jiǎn)析：本題可就稿費(fèi)的數(shù)額與對(duì)應(yīng)的稅率建立表格體現(xiàn)它們的關(guān)系，再?gòu)闹姓页鱿嗟汝P(guān)系，建立方程求解。

2.建立不等式模型：在市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)、生產(chǎn)決策和社會(huì)生活中，如估計(jì)生產(chǎn)數(shù)量，核定價(jià)格范圍，盈虧平衡分析，投資決策等，可挖掘?qū)嶋H問(wèn)題中隱含的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式（組）的求解或目標(biāo)函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題。

6.建立目標(biāo)函數(shù)模型：對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的最優(yōu)化問(wèn)題，如造價(jià)用料最少、利潤(rùn)產(chǎn)出最大等，可通過(guò)實(shí)際背景，建立變量之間的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問(wèn)題。

另外，數(shù)學(xué)建模的類型應(yīng)以創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、合理性、有效性等幾個(gè)方面作為標(biāo)準(zhǔn)，使學(xué)生在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的全過(guò)程中得到學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實(shí)際體驗(yàn)，親身體會(huì)到數(shù)學(xué)探索的愉悅。