淺議高中數(shù)學(xué)問題中的“潛臺(tái)詞”

翟榮俊

“潛臺(tái)詞”是指在某一話語的背后，所隱藏著的那些沒有直接、明白表達(dá)出來的意思。數(shù)學(xué)中的很多定義、公式、法則、概念等都有其成立的前提條件。但綜合到數(shù)學(xué)題目中，這些條件有的已給出但不明顯，有的沒有給出卻滲透在題意中，我們可以稱之為數(shù)學(xué)問題中的“潛臺(tái)詞”，也就是我們常說的隱含條件。隱含條件具有隱蔽性，解題過程中學(xué)生比較容易忽略，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.要正確解答此類問題，除要掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)外，還需要不斷歸納總結(jié)其運(yùn)用的一些規(guī)律，做到防而有備，提高解題能力.

一、注意題目中蘊(yùn)含的潛臺(tái)詞，提高解題的準(zhǔn)確性

有些學(xué)生在獲取知識(shí)的過程中，對(duì)隱含條件重視不夠，得出的解題過程或結(jié)論往往是有缺陷的，這就需要我們教師利用一切的機(jī)會(huì)來加強(qiáng)引導(dǎo)工作.

例1 設(shè)平面上點(diǎn)P、A、B滿足│AB│=4，│PA│+│PB│=4，判斷點(diǎn)P的軌跡.

學(xué)生錯(cuò)解：點(diǎn)P的軌跡是以A、B為兩個(gè)焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.

錯(cuò)誤原因：沒有注意到│AB│=4=│PA│+│PB│，“潛臺(tái)詞”是它不滿足橢圓的定義，所以點(diǎn)P的軌跡應(yīng)是以A、B為端點(diǎn)的線段.

問題反思：涉及到概念、定義，一定要考慮有沒有特殊規(guī)定，如此處由橢圓的定義應(yīng)該有2a>2c的規(guī)定.

例2 不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4<0對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

學(xué)生錯(cuò)解：

錯(cuò)誤原因：在解決問題時(shí)，沒有注意到本題沒有說不等式是一元二次不等式，“潛臺(tái)詞”是二次項(xiàng)系數(shù)可以為0，少考慮了a-2=0的情況，正確結(jié)果應(yīng)該是-2

例3 已知 ，求siny-cos2x的最大值。

學(xué)生錯(cuò)解：由已知條件有

∴

∴sinx=-1時(shí)取得最大值為

錯(cuò)誤原因：本題學(xué)生都能通過條件 將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)。而本題的“潛臺(tái)詞”在于siny= -sinx

轉(zhuǎn)換時(shí)，要注意 結(jié)合sinx∈[-1，1]，

可得 .

∴最終應(yīng)該是 時(shí)，原式取得最大值為 .

小結(jié)：在數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生應(yīng)不斷提高自己的審題能力，發(fā)現(xiàn)問題中蘊(yùn)含的“潛臺(tái)詞”，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)定義、基本方法的理解，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，這樣才可以不斷提高自己數(shù)學(xué)解題的正確性.

二、主動(dòng)挖掘問題中的“潛臺(tái)詞”，拓展數(shù)學(xué)解題思路

有些學(xué)生在解題時(shí)常常不知如何下手，有時(shí)甚至覺得題目條件不夠，這就需要我們善于引導(dǎo)學(xué)生從題目涉及的已知條件、基本概念、公式、定理、性質(zhì)或圖形中挖掘問題的“潛臺(tái)詞”，進(jìn)而找到解題的思路.

例4 函數(shù)f（x）=x2+ax+1，已知f（x2），求f（x1+x2）的值.

學(xué)生疑問：本題中出現(xiàn)了一個(gè)干擾字母a，導(dǎo)致很多學(xué)生感覺題目缺少條件，對(duì)于條件f（x1）=f（x2）又不明白其給出的作業(yè)，不知如何下手解決.

問題引導(dǎo)：對(duì)于二次函數(shù)，學(xué)生應(yīng)該熟悉其具有的對(duì)稱性，根據(jù)f（x1）=f（x2）其實(shí)可以得出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸是直線。

本題的一個(gè)“潛臺(tái)詞”是f（0）=1，而根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知f（x1+x2）=f（0）=1.

例5 已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇a-1，2a]，求a+b的值.

學(xué)生疑問：感覺求出字母b的值為0比較容易得到，但是對(duì)于字母a感覺缺少條件.

問題引導(dǎo)：僅僅由，顯然不足以確定和的值，還需要挖掘出偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一“潛臺(tái)詞”，即有

.

例6 如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的值.

學(xué)生疑問：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對(duì)稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，但是將 代入函數(shù)時(shí)，不能判斷是經(jīng)過最大值點(diǎn)還是最小值點(diǎn)，導(dǎo)致解題出現(xiàn)困惑.

問題引導(dǎo)：本題的關(guān)鍵是函數(shù)圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，可以考慮特殊情況，“潛臺(tái)詞”是可以利用函數(shù)對(duì)稱，考慮

，代入即得a=-1.

三、主動(dòng)探究數(shù)學(xué)問題中的“潛臺(tái)詞”，提升數(shù)學(xué)解題的嚴(yán)密性

例7 已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2-x+1在x∈R上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

學(xué)生疑問：課本中有f'（x）<0（x∈（a，b）），則f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減.

如果利用此結(jié)論，考慮到本題f'（x）=3ax2+6x-1<0在x∈R恒成立，故 解得a<-3，但是結(jié)果卻是a≤-3，為什么？

問題引導(dǎo)：本題在解題過程中，要抓住的“潛臺(tái)詞”是f'（x）<0（x∈（a，b））是f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，而不是充要條件。如果函數(shù)f（x）可導(dǎo)且不是常函數(shù)，則f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的充要條件是f'（x）≤0（x∈（a，b））.

對(duì)于本題，函數(shù)f（x）可導(dǎo)且不是常函數(shù)，應(yīng)該f'（x）=3ax2+6x-1≤0是在x∈R恒成立，所以有 ，結(jié)果是a≤-3.

總之，如果在教學(xué)過程中，我們?nèi)绻芙?jīng)常對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)、挖掘和探求數(shù)學(xué)問題中的“潛臺(tái)詞”的訓(xùn)練，就能更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、發(fā)散性和完整性，從而達(dá)到提高解題能力的最終目的。

（作者單位：江蘇省無錫市洛社高級(jí)中學(xué)）