利用數(shù)學(xué)思想巧妙解題

戚汝玉

解數(shù)學(xué)題，從透視條件的審題到利用思想的解題，應(yīng)該是一個有序、得法、嚴(yán)密的展開過程。

一、分析顯隱條件審題

事物的本質(zhì)總是寓于事物的表象中，所以解題時就要有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過分析題目的顯性條件與隱含條件，分析題目的結(jié)論與結(jié)論成立的條件，從而找出具有規(guī)律性的東西，即抓住問題的實(shí)質(zhì)。這樣不僅問題可以迎刃而解，同時也可以提高學(xué)生的思維深度。

例如：在同一平面內(nèi)，已知O到直線l的距離為5，以0為圓心，r為半徑畫圓，探索歸納：（1）當(dāng)r為何值時圓O上有且只有一個點(diǎn)到直線l的距離等于3？（2）當(dāng)r為何值時圓O上有且只有三個點(diǎn)到直線l的距離等于3？（3）隨著r值的變化圓O上到直線l的距離等于3的點(diǎn)的個數(shù)有哪些變化？許多同學(xué)看不懂題目，不知如何下手解決問題，此時可以借助媒體畫出圖形，通過媒體的演示，很容易看出實(shí)際上題目中考察了直線與圓的三種位置關(guān)系下直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)和圓心d與r大小關(guān)系，從而得出結(jié)論。

再如：在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，AE=3，BE=4，點(diǎn)P為對角線AC上任意一點(diǎn)，連接PB﹑PE，當(dāng)P在AC上何處時，PB+PE最??？并求出最小值？此題中P點(diǎn)的位置是難點(diǎn)，只有確定P點(diǎn)的位置，最小值才能求。此時可以引導(dǎo)學(xué)生思

思考直線AC以及AC同側(cè)兩點(diǎn)B﹑E，在直線AC上找一點(diǎn)P，使得PB=PE最小，學(xué)生一定會想到運(yùn)用軸對稱性中線段最短來解決問題，那么問題就也迎刃而解了。

由于正方形質(zhì)的得出B、D關(guān)于AC對稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可。

二、攜同數(shù)學(xué)思想解題

（一）活化思維——要因轉(zhuǎn)化策略

數(shù)學(xué)問題中的諸多因素是相互關(guān)聯(lián)，相互制約的。對于已知條件，求解的對象以及求證的結(jié)論在觀察的基礎(chǔ)上，尋找該問題同已有的知識間的練習(xí)，通過變換把問題轉(zhuǎn)化成一個或幾個易于解決的問題。其思維特點(diǎn)就像匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得所指出那樣：“往往不對問題進(jìn)行正面的攻擊。而是不斷地將其變形，直至將它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題”。從某種意義上說轉(zhuǎn)化是解題與證題的精髓。因此在指導(dǎo)學(xué)生解題時要特別注意加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，它對提高學(xué)生的應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性與敏捷性是十分有效的。

例如證明直角三角形的兩直角邊之和小于寫便于斜邊上的高之和。在這個問題中實(shí)際上是證明如圖中的a+b

由ab=ch可得h=ab/c，于是結(jié)論可以變?yōu)閍+b

（二）拓展思維——雙向類比策略

唯物辯證法告訴我們：萬物之間都有聯(lián)系，即事物之間具有相同的或相似的屬性。數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的知識結(jié)構(gòu)更是如此，我們在尋求解決問題的方法時，就可以由其中的一個或一類問題推動另一個或另一類問題所具有的相似的屬性，這就是解題時的類比思維。教學(xué)時有計劃地把規(guī)律相同或類似的知識，運(yùn)用類比的方法講解，有助于訓(xùn)練學(xué)生解題時的思維拓展，從而快速解決問題。

1、運(yùn)用縱向類比，培養(yǎng)思維的變通性。

根據(jù)數(shù)學(xué)教材的編排意向，數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)分析，新授知識一般是舊知識的縱向延伸，所以幫組學(xué)生解決問題時也可以有意識的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行縱向類比。這樣不僅可以強(qiáng)化知識，而且可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，變通性。

例如：在初一的有理數(shù)計算教學(xué)中經(jīng)常會計算到“1+2+3+4+5…+n的值”，很多學(xué)生會歸納出1+2+3+4+5…+n= n（n+1），由此教師可以有目的地啟發(fā)學(xué)生計算1×2+2×3+3×4+…9×10的值，并引導(dǎo)學(xué)生將其結(jié)果化為 ×9×10×11，后讓學(xué)生計算1×2+2×3+3×4+…n×（n+1）的值，通過類比猜想而得出結(jié)果為 ×n×（n+1）（n+2）。

2、運(yùn)用橫向類比，培養(yǎng)思維的跳躍性

同樣數(shù)學(xué)教材中知識的結(jié)構(gòu)以結(jié)網(wǎng)連篇形式橫向聯(lián)通，知識以列聯(lián)，邏輯次序出現(xiàn)，所以在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中，可以借助相似原理，展開聯(lián)想的翅膀，進(jìn)行橫向比較，從而解決問題。

例如：（06宿遷中考題第一題） 設(shè)邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運(yùn)動，點(diǎn)A、O間距離為d。（1）如圖①當(dāng)r

所以，當(dāng)r

在解決本題時如果引導(dǎo)學(xué)生類比聯(lián)想學(xué)過的圓與圓的位置關(guān)系的分類方法，通過正方形向圓運(yùn)動的不同圖形結(jié)論不難得出。

因此從本質(zhì)上說類比是一種發(fā)現(xiàn)的方法而不是一種論證的方法。 在解題中， 類比的重要作用在于啟迪思維， 幫助我們尋找解題思路，在此基礎(chǔ)上， 再用其他方法解決問題。

（三）互生思維——數(shù)形結(jié)合策略

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過“ 數(shù)與形是共存于同一體中的事物的兩個側(cè)面，數(shù)缺形少直觀，形離數(shù)難入微?！彼栽诮鉀Q數(shù)學(xué)問題是要注意引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩個側(cè)面對問題進(jìn)行分析，充分利用形的直觀來揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，由形想數(shù)，利用數(shù)來研究形的各種性質(zhì)，尋求運(yùn)動規(guī)律，即幫助學(xué)生學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)形結(jié)合中的形可以是數(shù)軸，函數(shù)的圖像和幾何圖形等等，一般數(shù)形結(jié)合可以從兩方面入手。

1、以形助數(shù) ：

把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形狀的性質(zhì)去解決，它往往具有直觀性，易于理解與接受，如相反數(shù)，絕對值，不等式及有關(guān)的習(xí)題可以運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系來解決，函數(shù)問題以及一元二次方程等問題可以通過函數(shù)圖像來解決。

例如如果關(guān)于x的不等式組 的整數(shù)解僅有1，2，那么適合這個不等式組的整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對（a，b）共有 個.習(xí)題是一個有關(guān)不等式的問題，可以結(jié)合數(shù)軸講解，直觀并易于學(xué)生理解。首先解不等式組 ，由①得：x≥ ，由②得：x≤ ，不等式組的解集即為： ≤x≤ ，根據(jù)不等式組的整數(shù)解僅為1，2，此時是個難點(diǎn)，利用數(shù)軸易于確定a，b的范圍，才可確定a，b的整數(shù)解，即可求解.由于不等式組的整數(shù)解僅有1，2，可畫如下數(shù)軸：

由數(shù)軸觀察可得 0< ≤1，2≤ <3，從而解得：0

2、以數(shù)輔形：

用數(shù)式的推理來揭示圖形的性質(zhì)，幫助學(xué)生簡化解題的方法。如用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，用代數(shù)法判斷直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，用勾股定理解決圖形問題等等。

例如如圖正方形ABCD，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AB上，且BF= ，猜想EF與DE的位置關(guān)系，并說明理由。習(xí)題看起來是個幾何問題，用正方形的性質(zhì)以及三角形相似等幾何方法可以解決問題，但是如果用勾股定理說明思路清晰易懂。

由條件設(shè)AB=AC=BC=CD=4a，那么BE=EC=2a，BF=a，由勾股定理可得DF2=25a2，=5a2，DE2=20a2，所以DF2+EF2=DE2，即可得直角三角形，EF⊥DE

總體來說，數(shù)形結(jié)合方法在解題中應(yīng)用十分廣泛，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題可以起到事半功倍的效果。

在解數(shù)學(xué)題中，用到的思維方法還有很多，不再一一闡述?？傊瑢W(xué)生的思維能力決定著解題能力.因此在平時的教學(xué)過程中，教師應(yīng)有意點(diǎn)撥和訓(xùn)練學(xué)生的思維，提高學(xué)生的思維能力以促其解題能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇常州武進(jìn)遙觀初中）