淺談利用幾何圖形構(gòu)造不等式

杜穎

【摘 要】形象思維是最早出現(xiàn)的，在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！辈浑y想象，一個(gè)沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會(huì)有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個(gè)學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。

【關(guān)鍵詞】不等式；離心率；三角函數(shù)；判別式

一、利用離心率構(gòu)造不等式

我們知道，橢圓離心率e∈（0，1），拋物線離心率e = 1，雙曲線離心率e>1，因而可利用這些特點(diǎn)來構(gòu)造相關(guān)不等式求解.

例1已知梯形ABCD中，│AB│=2│CD│。點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率e取值范圍。

所以雙曲線離心率。

二、利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式

曲線的參數(shù)方程與三角函數(shù)有關(guān)，因而可利用把曲線方程轉(zhuǎn)化為含有三角函數(shù)的方程，后利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式求解。

例2 若橢圓x2+4（y-a）2 = 4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析： 利用橢圓的參數(shù)方程及拋物線方程，得到實(shí)數(shù)a與參數(shù)θ的關(guān)系，再利用三角函數(shù)的有界性確定a的取值情況.

解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2（a+sinθ）

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2（sinθ+ 14 ）2+ 178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

三、利用點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)造不等式

曲線把坐標(biāo)平面分成三個(gè)區(qū)域，若點(diǎn)P（x0，y0）與曲線方程f（x，y）=0關(guān)系：若P在曲線上，則f（x0，y0）=0；若P在曲線內(nèi)，則f（x0，y0）<0；若P在曲線外，則f（x0，y0）>0；可見，平面內(nèi)曲線與點(diǎn)均滿足一定的關(guān)系。故可用這些關(guān)系來構(gòu)造不等式解題.

例3 已知橢圓。A、B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P（x0，0），證明：。

分析：注意到P（x0，0）為AB的垂直平分線上的點(diǎn)，所以│PA│=│PB│，利用平面幾何性質(zhì)，A、B在以P點(diǎn)為圓心，│PA│為半徑的圓上，從而把問題轉(zhuǎn)化為二次曲線的交點(diǎn)關(guān)系。

解：由線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，于是有│PA│=│PB│。

所以A、B在以P（x0，0）為圓心，r=│PA│為半徑的圓上，圓方程為（x-x0）2+y2=r2

又A、B在橢圓上，所以由得：

設(shè)A（x1，y0），B（x2，y2），則x1，x2是方程<1>的兩根

四、利用判別式構(gòu)造不等式

在解析幾何中，直線與曲線之間的位置關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的問題，因此可利用判別式來構(gòu)造不等式求解.

例4 已知L1與L2是過的兩條互相垂直的直線，且l1、l2與雙曲線y2-x2=1各有兩個(gè)交點(diǎn)，求l1的斜率k1的取值范圍。

解：設(shè)l1的方程為

代入雙曲線方程并整理得：

由于l1與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以

Δ=8k12-4（k12-1）·（2k12-1）>0，即

又由l2與雙曲線也有兩個(gè)交點(diǎn)且l1⊥l2，同理可得

五、利用曲線方程中變量的范圍構(gòu)造不等式

利用曲線方程中變量的范圍構(gòu)造不等式例如曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)往往有一定的變化范圍，如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點(diǎn)P（x，y）滿足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用這些范圍來構(gòu)造不等式求解，另外，也常出現(xiàn)題中有多個(gè)變量，變量之間有一定的關(guān)系，往往需要將要求的參數(shù)去表示已知的變量或建立起適當(dāng)?shù)牟坏仁?，再來求?

例5 設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍。

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題設(shè)得

即y=±2x（y≠0）<1>

因此點(diǎn)P（x，y），M（-1，0），N（-1，0）三點(diǎn)不共線

所以││PM│-│PN││<│MN│=2

因?yàn)椹ΙM│-│PN││=2│m│>0，

所以0<│m│<1，因此點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2│m│的雙曲線上，故

將<1>代入<2>得：

因?yàn)?-m2>0，所以1-5m2>0

所以

即m的取值范圍為

上面是處理解析幾何中求參數(shù)取值范圍問題的幾種思路和求法，希望通過以上的介紹，能讓同學(xué)們了解這類問題的常用求法，并能認(rèn)真體會(huì)、理解掌握，在以后的學(xué)習(xí)過程中能夠靈活運(yùn)用。