考慮安裝錯(cuò)位的弧齒錐齒輪小輪齒面再設(shè)計(jì)

蔡香偉，方宗德，候祥穎

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，710072西安)

弧齒錐齒輪因具有傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空、車輛及機(jī)床的動(dòng)力系統(tǒng)中.傳動(dòng)過程中兩相互嚙合的輪齒形成的齒面印痕與齒輪的強(qiáng)度和振動(dòng)特性密切相關(guān)，是傳動(dòng)性能的重要指標(biāo).實(shí)際工況下，減速器中的箱體、軸承、軸系和齒輪的變形，安裝誤差、制造誤差和隨機(jī)誤差的存在，以及溫度、振動(dòng)等因素的影響，齒面印痕將偏離理想位置(反映為齒輪副的當(dāng)量安裝錯(cuò)位［1］)，這一直是齒輪設(shè)計(jì)和使用中的重要問題.由于弧齒錐齒輪齒面幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜，支撐變形也非常復(fù)雜，精確地計(jì)算和測(cè)量十分困難.工程中歷來采用經(jīng)驗(yàn)的方法或多次試加工和調(diào)整的方法，所需周期長，效果并不理想［2］.因此，根據(jù)齒面印痕的偏移，識(shí)別相應(yīng)的當(dāng)量安裝錯(cuò)位(以下簡(jiǎn)稱安裝錯(cuò)位)，將其反饋到齒面再設(shè)計(jì)中，對(duì)于提高齒輪副實(shí)際工況下的嚙合質(zhì)量具有重要的工程意義.

國內(nèi)外學(xué)者就安裝錯(cuò)位與齒輪副嚙合特性(接觸印痕和傳動(dòng)誤差)的相互關(guān)系進(jìn)行了大量研究.Litvin 等［3］、Simon［4-5］、汪中厚等［6］分析了安裝錯(cuò)位作用下齒面印痕的變化;唐進(jìn)元等［7］綜合分析了機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差和安裝錯(cuò)位對(duì)齒面接觸質(zhì)量的影響;吳訓(xùn)成等［8］用完全解析的方法分析了點(diǎn)接觸齒面的接觸點(diǎn)位置對(duì)安裝錯(cuò)位的敏感性問題;蘇進(jìn)展等［9-11］通過齒面修形、差曲面的全曲率優(yōu)化、印痕敏感性系數(shù)的優(yōu)化等方法改善了弧齒錐齒輪的安裝錯(cuò)位敏感性;唐進(jìn)元等［12-13］考慮初始計(jì)算點(diǎn)位置對(duì)安裝錯(cuò)位敏感性的影響，對(duì)預(yù)定傳動(dòng)誤差曲線的弧齒錐齒輪齒面設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了改進(jìn)，降低了安裝錯(cuò)位的敏感性;而對(duì)于安裝錯(cuò)位的識(shí)別及錯(cuò)位下的齒面再設(shè)計(jì)問題，相關(guān)研究較少，僅見文獻(xiàn)［14］通過載荷變化與印痕移動(dòng)的近似線性關(guān)系計(jì)算錯(cuò)位值，并采用基于齒面印痕和傳動(dòng)誤差的齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)方法重新設(shè)計(jì)齒面幾何.由于多種安裝錯(cuò)位的組合可能引起相同的印痕偏移，即這一問題存在多解性，但該文獻(xiàn)中并未對(duì)其進(jìn)行有效說明.

本文主要研究基于齒面印痕偏移的安裝錯(cuò)位識(shí)別及錯(cuò)位下的齒面再設(shè)計(jì)問題.建立了考慮安裝錯(cuò)位的弧齒錐齒輪幾何接觸分析模型，分析了不同錯(cuò)位組合之間的內(nèi)部聯(lián)系，說明多解性的產(chǎn)生機(jī)理;提取齒面印痕的數(shù)值特征，以逼近接觸軌跡曲線為優(yōu)化目標(biāo)，識(shí)別與齒面印痕相匹配的當(dāng)量安裝錯(cuò)位;在局部綜合法的基礎(chǔ)上，根據(jù)當(dāng)量安裝錯(cuò)位重新設(shè)計(jì)小輪的齒面幾何，使齒輪副在實(shí)際的安裝錯(cuò)位條件下仍具有較好的嚙合性能.

1 安裝錯(cuò)位與齒面印痕

根據(jù)GB11365—1989的規(guī)定，弧齒錐齒輪副在實(shí)際的安裝中，需要考慮的錯(cuò)位因素主要有小輪齒圈軸向位移P、大輪齒圈軸向位移G、齒輪副的軸間距E與軸夾角Σ，如圖1所示.

圖1 弧齒錐齒輪副的安裝錯(cuò)位

1.1 嚙合坐標(biāo)變換與幾何接觸分析

由圖1建立弧齒錐齒輪副的嚙合坐標(biāo)系如圖2所示.坐標(biāo)系S1和S2分別剛性連接在小輪與大輪上，Sh為固定參考坐標(biāo)系，添加輔助坐標(biāo)系Sc1以描述安裝中的錯(cuò)位，φ1與φ2是小輪與大輪的嚙合轉(zhuǎn)角.圖中各錯(cuò)位正方向規(guī)定如下:小輪軸向錯(cuò)位ΔP為‘+’時(shí)移向小輪大端;大輪軸向錯(cuò)位ΔG為‘+’時(shí)移向大輪大端;軸間距錯(cuò)位ΔE為‘+’時(shí)小輪軸線在大輪軸線下方;軸交角錯(cuò)位ΔΣ為‘+’時(shí)軸交角增大.

圖2 齒輪嚙合數(shù)學(xué)模型

將小輪與大輪的齒面位矢及法矢分別表示在坐標(biāo)系Sh中:

式中:ξi=［θi，φi］(i=p，g)是齒面參數(shù)，小輪與大輪的位矢及法矢具體表達(dá)式可參考文獻(xiàn)［15］;φ1、φ2為小輪與大輪的嚙合轉(zhuǎn)角;Mh1、Mc2、Mhc分別是坐標(biāo)系S1到Sh、S2到Sc、Sc到Sh的齊次變換矩陣，如下所示:

小輪與大輪齒面在固定坐標(biāo)系Sh中連續(xù)相切接觸，得到輪齒接觸分析(TCA)基本方程為

錯(cuò)位向量D= [ΔP，ΔG，ΔE，ΔΣ]已知，由于，式(5)只有5個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程，未知量有6個(gè)，取小輪嚙合轉(zhuǎn)角φ1為輸入量，可得齒面上的一個(gè)接觸點(diǎn)，然后以一定步長改變?chǔ)?，繼續(xù)求解，直至求出的接觸點(diǎn)超出齒面的有效邊界，即可得到齒面的接觸軌跡.在嚙合點(diǎn)處，由齒面參數(shù)確定兩齒面的相對(duì)曲率，結(jié)合齒面的彈性變形量不大于0.006 35 mm，計(jì)算該點(diǎn)處的接觸橢圓，而齒面印痕就是由一系列的接觸橢圓組成的.

1.2 錯(cuò)位多解性分析

由式(1)、(2)可知，小輪、大輪齒面上的點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的位置是由齒面參數(shù)ξi、安裝錯(cuò)位D及各自的嚙合轉(zhuǎn)角φ1、φ2確定的，齒面上任意兩點(diǎn)的相對(duì)位矢

不同的錯(cuò)位組合作用下，嚙合的每一瞬時(shí)兩齒輪在固定坐標(biāo)系Sh中的絕對(duì)坐標(biāo)是不同的，但相對(duì)坐標(biāo)如果相同，即小輪與大輪齒面上任意兩點(diǎn)的相對(duì)位矢Δr一致，存在唯一的“空間等效向量”，則齒輪副的嚙合狀態(tài)是等價(jià)的，這將產(chǎn)生相同的齒面印痕.

由于“空間等效向量”的唯一性，在進(jìn)行錯(cuò)位識(shí)別時(shí)，只需根據(jù)實(shí)際齒面印痕的偏移確定一組滿足“空間等效向量”的當(dāng)量錯(cuò)位即可，無需精確計(jì)算出真實(shí)的錯(cuò)位，錯(cuò)位的識(shí)別由尋找“真解”轉(zhuǎn)換為尋找“等效解”，避免了從結(jié)構(gòu)、受力等方面分析產(chǎn)生印痕偏移的原因，大大降低了問題的研究難度.

2 安裝錯(cuò)位識(shí)別

2.1 齒面印痕的數(shù)值描述

實(shí)際齒面印痕的物理資源為印痕拓片或照片，必須提取其數(shù)值特征，才能進(jìn)行后續(xù)處理.圖3為齒面印痕參數(shù)化示意圖，數(shù)值特征包括印痕中心坐標(biāo)、印痕面積、印痕方向角.其中印痕方向角為接觸軌跡曲線上進(jìn)入嚙合點(diǎn)與退出嚙合點(diǎn)連線與節(jié)錐的夾角.從圖中可以看出，中心點(diǎn)坐標(biāo)代表齒面印痕的整體位置，印痕面積反映了輪齒的承載情況，印痕方向角表示嚙合點(diǎn)在齒面的運(yùn)動(dòng)方向.

圖3 齒面印痕參數(shù)化表示

2.2 優(yōu)化模型

有效的算法是保證錯(cuò)位識(shí)別精度的關(guān)鍵因素.由于齒面接觸軌跡代表了輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合的完整過程，這里通過對(duì)接觸軌跡曲線的控制，可以實(shí)現(xiàn)高精度的錯(cuò)位識(shí)別.

給定一組安裝錯(cuò)位D，由幾何嚙合仿真得到齒面上的接觸點(diǎn)擬合的接觸軌跡曲線記為ld，ld上離散點(diǎn)的位置矢量與法線矢量分別表示為

其中m為離散點(diǎn)的數(shù)目.

由實(shí)際齒面印痕擬合的接觸軌跡曲線記為lt，lt與ld的偏差如圖4所示，優(yōu)化的目標(biāo)是尋求一組安裝錯(cuò)位，使得ld逼近于lt.

圖4 接觸軌跡偏差示意圖

則lt上的離散點(diǎn)可表示如下:

將式(6)代入lt的曲線方程中，求解非線性方程即可計(jì)算當(dāng)前離散點(diǎn)的偏差hi.

以兩曲線偏差的平方和最小為目標(biāo)，建立最小二乘法目標(biāo)函數(shù)模型:

3 安裝錯(cuò)位下的齒面再設(shè)計(jì)

對(duì)于識(shí)別的安裝錯(cuò)位D= ［ΔP，ΔG，ΔE，ΔΣ］，主要應(yīng)用是將其引入到弧齒錐齒輪小輪齒面的再設(shè)計(jì)中，通過調(diào)整機(jī)床參數(shù)改變齒面的微觀幾何，使齒輪副在錯(cuò)位條件下的嚙合印痕仍能處于理想的位置.本文在局部綜合法［15］的基礎(chǔ)上，考慮安裝錯(cuò)位的影響，重新設(shè)計(jì)小輪機(jī)床參數(shù).在進(jìn)行局部綜合時(shí)，大輪參考點(diǎn)的位矢、法矢及主方向由動(dòng)坐標(biāo)系S2到固定坐標(biāo)系Sh的坐標(biāo)變換矩陣如式(3)、(4)所示，由固定坐標(biāo)系Sh到動(dòng)坐標(biāo)系S1的坐標(biāo)變換矩陣為

經(jīng)過以上變換，預(yù)置參考點(diǎn)的二階接觸參數(shù):傳動(dòng)比函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)m'21、接觸軌跡曲線的切線方向η2、接觸橢圓長半軸長度a等，根據(jù)局部綜合法相關(guān)公式，即可計(jì)算小輪的加工參數(shù).

4 算例

以一對(duì)弧齒錐齒輪(大輪展成法加工，小輪變性法加工)為例，驗(yàn)證本文方法.輪坯設(shè)計(jì)參數(shù)見表1，假定大輪凸面與小輪凹面嚙合，表2為大輪的機(jī)床參數(shù)，表3為原始設(shè)計(jì)的小輪機(jī)床參數(shù).

表1 輪坯設(shè)計(jì)參數(shù)

表2 大輪機(jī)床參數(shù)

表3 小輪原始設(shè)計(jì)機(jī)床參數(shù)

齒輪副的標(biāo)準(zhǔn)安裝位置為D0，在本文的仿真中作為方法驗(yàn)證，人為擬定錯(cuò)位量Dt作為實(shí)際錯(cuò)位(安裝錯(cuò)位的真值)，以大輪的軸向位移分量ΔG作為不變量，給定初值為-0.05 mm，優(yōu)化得到一組當(dāng)量安裝錯(cuò)位De.三組錯(cuò)位的分量見表4.

表4 安裝錯(cuò)位數(shù)值

繪制齒輪副在三組錯(cuò)位下的接觸印痕及傳動(dòng)誤差如圖5、6所示.

通過以上計(jì)算可知，對(duì)于原始設(shè)計(jì)的齒輪副，標(biāo)準(zhǔn)安裝位置的齒面印痕位于齒寬中部，接觸軌跡曲線呈一定角度的傾斜，設(shè)計(jì)重合度為2.5，傳動(dòng)誤差曲線嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)幅值為8″;在實(shí)際錯(cuò)位下，齒面印痕的形狀改變不大，但印痕中心位置移動(dòng)明顯，齒面印痕向小端偏移，印痕的面積也有一定程度的減小;當(dāng)量錯(cuò)位下的齒面印痕，其大小、方向、位置均與實(shí)際錯(cuò)位下的齒面印痕非常接近，說明錯(cuò)位的識(shí)別取得了較高的求解精度.

圖5 標(biāo)準(zhǔn)安裝位置D0的TCA結(jié)果

圖6 實(shí)際錯(cuò)位Dt與當(dāng)量錯(cuò)位De的TCA結(jié)果

表5中序列1～3分別是D0、Dt、De作用下齒面印痕的數(shù)值特征.分別基于實(shí)際錯(cuò)位Dt與當(dāng)量錯(cuò)位De進(jìn)行小輪齒面的重新設(shè)計(jì)(預(yù)置參數(shù)m'21、a保持不變，微調(diào)η2保證齒輪副的設(shè)計(jì)重合度，微調(diào)大輪參考點(diǎn)在齒高方向的位置保證傳動(dòng)誤差曲線的對(duì)稱性)，得到小輪機(jī)床參數(shù)記為Mp-Dt、Mp-De，相關(guān)數(shù)值見表 6，兩再設(shè)計(jì)齒面的偏差如圖7所示.

局部綜合法通過模擬大輪與小輪在參考點(diǎn)處的嚙合確定小輪機(jī)床參數(shù)，兩組安裝錯(cuò)位下齒輪副在嚙合固定坐標(biāo)系中的絕對(duì)位置不同，這導(dǎo)致了再設(shè)計(jì)的小輪齒面具有不同的機(jī)床參數(shù)，如表6;但齒輪副的相對(duì)位置基本相同，決定了在大輪齒面點(diǎn)全相同的前提下小輪齒面的微觀幾何也基本一致，如圖7所示，齒面偏差的最大值為1μm.理論上，對(duì)于完全等效的不同安裝錯(cuò)位組合，采用同種方法再設(shè)計(jì)小輪機(jī)床參數(shù)后將得到相同的齒面幾何結(jié)構(gòu)，因此，對(duì)于工況下的齒面再設(shè)計(jì)問題，無需精確計(jì)算出真實(shí)的安裝錯(cuò)位.實(shí)際應(yīng)用中，再設(shè)計(jì)齒面的偏差大小取決于錯(cuò)位識(shí)別的精度，而文中所述錯(cuò)位識(shí)別算法可以滿足工程應(yīng)用的需要.

表5 印痕的數(shù)值特征

圖7 機(jī)床參數(shù)Mp－De與Mp－Dt的齒面偏差

將Mp-Dt與Mp-De分別在實(shí)際安裝錯(cuò)位Dt下與大輪嚙合，設(shè)計(jì)重合度為 2.500、2.506，齒面印痕與傳動(dòng)誤差如圖8所示，印痕的數(shù)值特征見表5中序列4～5，與標(biāo)準(zhǔn)安裝的原始設(shè)計(jì)相比，齒輪副的嚙合狀態(tài)基本相同，基于當(dāng)量安裝錯(cuò)位的齒面再設(shè)計(jì)取得了良好的效果.

圖8 再設(shè)計(jì)齒面在實(shí)際錯(cuò)位Dt下的TCA結(jié)果

5 結(jié)論

1)不同的安裝錯(cuò)位可以導(dǎo)致相同的齒面印痕，但這些錯(cuò)位組合之間存在等價(jià)關(guān)系，安裝錯(cuò)位的識(shí)別問題由確定真解轉(zhuǎn)換為計(jì)算一組等效解.

2)對(duì)于完全等效的兩組安裝錯(cuò)位，在同樣的方法下進(jìn)行小輪齒面的再設(shè)計(jì)，將得到不同的機(jī)床參數(shù)，但這些機(jī)床參數(shù)加工的小輪齒面具有相同的幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

3)提取齒面印痕的數(shù)字化特征，以逼近齒面接觸跡線為目標(biāo)，通過優(yōu)化方法可以高精度地識(shí)別與齒面印痕匹配的當(dāng)量安裝錯(cuò)位.

4)以一對(duì)弧齒錐齒輪副為例，基于局部綜合法，分別在實(shí)際安裝錯(cuò)位與當(dāng)量安裝錯(cuò)位下重新設(shè)計(jì)小輪齒面，通過比較小輪再設(shè)計(jì)齒面的差曲面，結(jié)合在實(shí)際安裝錯(cuò)位下的幾何接觸分析，驗(yàn)證了文中所述方法的正確性.

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