例談數(shù)學建模在解決實際問題中的應用

許文松

【摘 要】數(shù)學建模就是設法將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后解決數(shù)學問題，從而達到解決實際問題的方法，本文介紹了數(shù)學建模在解決實際問題的應用，以及通過建模培養(yǎng)學生應用數(shù)學的能力。

【關健詞】數(shù)學建模；實際問題；數(shù)學能力；應用意識。

一、問題的提出

普通高中新的數(shù)學教學大綱中明確提出要“切實培養(yǎng)學生解決實際問題的能力”，要求“增強用數(shù)學的意識，能初步運用數(shù)學模型解決實際問題”，逐步讓學生把實際問題歸結為數(shù)學模型，然后運用數(shù)學方法進行探索、猜測、判斷、證明、運算、檢驗等使問題得到解決?；谶@個理念，在教學中通過“建?！?，培養(yǎng)學會應用數(shù)學解決實際問題，提高學生解題能力是當務之急。下面結合具體實例，對建模在實際問題中的應用作一些探討。

二、數(shù)學建模的步驟和意義

在實際應用中，數(shù)學建模是很復雜的。要求學生能夠進行數(shù)學建模，其目的并不是單純地為了讓學生解決一些具體的實際問題，而是著眼于培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，提高數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)。因此，在數(shù)學的教學過程中應當注重過程性和學生的參與性，避免走以前傳統(tǒng)教學中只注重講授知識的路子。在實際創(chuàng)設模型的過程中，教師所起到的作用只是給學生提出問題，讓學生在解決這些問題的過程中能夠培養(yǎng)數(shù)學學習的能力，從而提高搜集、分析數(shù)據(jù)以及將這些問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。

三、具體實例分析

數(shù)學建模的素材多種多樣，可以從書本上、實際生活、社會熱點問題以及其它相關學科中選材。建立模型的最終目的是要使模型能夠應用于實際。下面通過對兩個問題的分析，進一步剖析數(shù)學建摸的方法。

[案例1]：實際生活問題：購物中的討價還價問題

在當前市場經(jīng)濟條件下，在商店尤其是私人商店里，標價a與其進價b之間都存在著相當大的差距。對購物的消費者來說，總希望這個差距越小越好，即希望比值=R→1，而商家則希望R>1。這樣就存在兩個問題：第一，商家應如何根據(jù)商品的進價來確定其標價才較為合理？第二，購物者根據(jù)商品標價，如何與商家“討價還價”？

1.問題假設

對于第一個問題，國家關于零售商品的定價有相關的規(guī)定，但是在個體商家的實際定價中，可采用“黃金分割”方法，即按進價b定出標價a，使其滿足0.618。

對于第二個問題，一種常見的方法是“對半討價還價法”；消費者第一次還價為標價的一半，商家第一次還價則加上兩者差價的一半；消費者第二次還價再減去兩者差價的一半，商家則又加上兩者差價的一半；如此下去，直到達到雙方都能接受的價格為止。這樣討價還價的結果，其理想的最終價格是否為標價的黃金分割點呢？現(xiàn)在通過建立數(shù)學模型來分析“討價還價”的過程，并求出其極限，即最終結果。

2.模型建立

設標價為a，易知前n次討價還價的結果為

3.模型求解

由此可見，bn和cn的擺動數(shù)列{an}：an=的交錯項，而

就是{bn}和{cn}共同的極限值，也就是說“對半討價還價法”的最終結果是原價的。 應該說，這一個結果與0.618是比較接近的。

4.應用

進而易知，即使商家按“黃金分割法”定價，即a，經(jīng)過對半討價還價之后，若最終成交，商家出售一件商品的實際價格c=≈ × ≈1.078b ，還有接近8%的贏利，這對買賣雙方來說，都是可以接受的。

本案例讓學生從日常生活中常見的購買物品的討價還價事件入手學習數(shù)學知識，使學生獲得積極的情感體驗，激發(fā)他們的學習興趣。在課堂上，每個學生都想知道討價還價是否有理論可依。教師引導學生依據(jù)：問題……假設……建?！瓚眠@一基本過程進行數(shù)學學習。

[案例2] 社會熱點問題：客房定價問題

1.問題提出

一個星級旅館有150間客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營，旅館經(jīng)理得到了一些數(shù)據(jù)：

欲使每天的收入最高，問每間客房的定價應該是多少？

2.假設

假設1：在無其它信息時，不妨設每間客房的最高定價為160元；

假設2：根據(jù)經(jīng)理提供的數(shù)據(jù)，設隨房價的下降，住房率呈線性增長；

假設3：設每間客房的定價相等。

3.建立模型

分析：根據(jù)題意，設y表示旅館一天的總收入，x為與160元相比降低的房價。

由假設2可知，每降低1元房價，住房率增加為=0.005。

因此，y=150（160-x）（0.55+0.005x）……①，由0.55+0.005 x1， 可知0x90。

我們的問題是：當0x90時，求y=150（160-x）（0.55+0.005x）的最大值點。

4.解模型

把①式左邊同除以（150×0.005）得：y1=-x2+50x+17600。因此，配方可得，y1=-（x-25）2+18225，顯然，當x=25時，y1最大。所以，最大收入對應的房價為160元-25元=135元，住房率為0.55+0.005×25=67.5%，最大收入為150×135×67.5%=13668.75（元）

5.檢驗

（1） 容易驗證此收入在己知各種定價對應的收入中是最大的。事實上，如果便于管理，那么定價140元/（天·間）也是可以的。

（2）如果定價180元/（天·間），住房率應為45%，其相應收入只有12150元，由此可假設1是合理的。而二次函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極點值25。

數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為“學一個活動的最好的方法是實踐”。本教學設計的一個很大的優(yōu)點就是很貼近學生的生活實際，一方面，讓學生從生活實際出發(fā)，來解決實際中存在的問題，從而指導實踐；另一方面，讓學生學會從實際中找到數(shù)學問題，并加以解決，鍛煉學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)和思維能力。

四、體會與認識

數(shù)學建模不僅能夠促使理論和實踐相結合，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，還增強了學生的參與意識，體現(xiàn)了學生的主體地位。在問題解決的全過程中學生得到學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學的實際體驗，親身體會到數(shù)學探索的愉悅，學生 “領略到了數(shù)學的魅力”，對數(shù)學的學習產(chǎn)生更濃厚興趣，數(shù)學建模把數(shù)學知識延伸到了實際生活中，呈現(xiàn)給學生一個五彩繽紛的數(shù)學世界，數(shù)學建模問題如投資買賣、手機付費等方面的問題都貼近實際生活，有較強的趣味性，學生容易產(chǎn)生興趣，這種興趣又能激發(fā)學生更努力地學習數(shù)學。

數(shù)學建模是對數(shù)學教師的新的要求和挑戰(zhàn)，教師不僅要有扎實的專業(yè)功底，還要有豐富的生產(chǎn)、生活經(jīng)驗、努力保持自己的“好奇心”，留心向各行業(yè)的能手學習，開通自己的“問題源”儲備庫和咨詢網(wǎng)，在自己的視野范圍內(nèi)因地制宜地收集、編制、改造適合學生使用、貼近學生生活實際的數(shù)學建模問題，同時注意問題的開放性與可擴展性。盡可能地創(chuàng)設一些合理、新穎有趣的問題情境來激發(fā)學生的好奇心和求知欲，使學生積極投入數(shù)學建模的實踐活動中。通過實踐活動，從中培養(yǎng)學生的應用意識和數(shù)學建模能力。