2013年高考數(shù)學(xué)必做解答題——平面向量，解三角形

向量工具在平面幾何中的應(yīng)用

（★★★★）必做1 如圖1，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點(diǎn)， =x·+y·.

（1）若=，求x，y的值；

（2）若=3，

=4，

=2，且與的夾角為60°時(shí)，求·的值.

[O][A][P][B][圖1]

[牛刀小試]

破解思路 考查向量的加減運(yùn)算及向量的幾何特征，借助向量的數(shù)量積代入運(yùn)算即可.

精妙解法 （1）因?yàn)?，所以+=+，即2=+.

所以=+，即x=，y=.

（2）因?yàn)?3，所以+=3+3，即4=+3.

所以=+.

所以x=，y=.

·=

+

·（-）=·-·+· =×22-×42+×4×2×=-9.

極速突擊 平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，近幾年對(duì)向量的命題主要體現(xiàn)在垂直、共線、模長(zhǎng)、夾角等問(wèn)題中，靈活處理向量的數(shù)量積以及向量的模也是處理綜合問(wèn)題的關(guān)鍵.

（★★★★）必做2 在平行四邊形OABC中，已知過(guò)點(diǎn)C的直線與線段OA，OB分別相交于點(diǎn)M，N，若=sinθ·，=cosθ·，其中θ∈0，

.

（1）求sin2θ的值；

（2）記△OMN的面積為S，平行四邊形OABC的面積為S，試求的值.

[牛刀小試]

破解思路 此題既涉及向量的加減運(yùn)算，又綜合了三角公式化簡(jiǎn)，是向量與三角、解三角形的交匯題，彰顯向量在解平面幾何問(wèn)題時(shí)的工具價(jià)值.

精妙解法 （1）由題意可得==-，

所以=-=-（1+sinθ）·.

又=-=cosθ·-sinθ·，M，N，C三點(diǎn)共線，

所以=，則sinθ-cosθ=sinθ·cosθ ①.

①式兩邊平方，得1-2sinθ·cosθ=sin2θ·cos2θ，即sin22θ+4sin2θ-4=0.

解得sin2θ=2-2或-2-2（舍去）.

（2）由題意得S=

·

·sin∠AOB=sin2θ·S=S，即=.

極速突擊 重視平面向量體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合的思想方法，體驗(yàn)向量在解題過(guò)程中的工具性特點(diǎn).

向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀與形象，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問(wèn)題時(shí)要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合. 注意變換思維方式，能從不同角度看問(wèn)題，要善于應(yīng)用向量可轉(zhuǎn)換性解決問(wèn)題.

向量工具在三角函數(shù)中的應(yīng)用

（★★★★）必做3 已知向量m=（sinx，-1），n=

cosx，

-，函數(shù)f（x）=m2+m·n-2.

（1）求f（x）的最大值，并求取最大值時(shí)x的取值集合；

（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a，b，c成等比數(shù)列，角B為銳角，且f（B）=1，求+的值.

[牛刀小試]

破解思路 運(yùn)用平面向量建立三角函數(shù)式，進(jìn)而考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值以及三角函數(shù)的性質(zhì).

精妙解法 （1）f（x）=（m+n）·m-2=sin2x+1+sinxcosx+-2

=+sin2x-=sin2x-cos2x=sin

2x-.

故f（x）=1，此時(shí)2x-=2kπ+，k∈Z，得x=kπ+，k∈Z.

所以f（x）取最大值時(shí)x的取值集合為x

x=kπ

+，k∈Z.

（2）f（B）=sin

2B-=1，因?yàn)?

由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，于是

+=+=

===.

極速突擊 向量有深刻的幾何背景，是解決幾何問(wèn)題的有力工具.三角函數(shù)也是解決幾何問(wèn)題的有力工具，但較向量而言，具有公式多、變形復(fù)雜、技巧性強(qiáng)等弊病，因此，可以在與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題中適當(dāng)引進(jìn)平面向量的方法，讓思路更直觀、解答更簡(jiǎn)潔.

（★★★★）必做4 已知△ABC的面積為S，且·=S.

（1）求tan2A的值；

（2）若已知B=，

-=3，求△ABC的面積S.

[牛刀小試]

破解思路 運(yùn)用平面向量求三角形中角的三角函數(shù)值，為后繼使用正、余弦定理奠定基礎(chǔ).三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時(shí)要時(shí)刻注意.

精妙解法 （1）設(shè)△ABC的角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.

因?yàn)椤?S，所以bccosA=·bcsinA，

所以cosA=sinA， 所以tanA=2.

所以tan2A==-.

（2）

-=3，即

=c=3，因?yàn)閠anA=2，0

所以sinA=，cosA=.

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=·+·=.

由正弦定理知：=?b=·sinB=，

所以S=bcsinA=××3×=3.

極速突擊 本題主要考查和差三角函數(shù)，倍角公式，正弦定理的應(yīng)用，平面向量的運(yùn)算；考查運(yùn)算變形和求解能力.

三角函數(shù)問(wèn)題主要集中在：一是化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，要熟練應(yīng)用公式，緊扣角的范圍，才可避免出錯(cuò)；二是三角函數(shù)的性質(zhì)，要先將函數(shù)式化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+φ）（A>0，w>0）的形式，再研究其性質(zhì).向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律與數(shù)量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律形成鮮明對(duì)比，要理解它們的聯(lián)系與區(qū)別.要用向量的思想和方法去分析、解決問(wèn)題，一定要突出向量的工具性作用.

向量工具在解析幾何中的應(yīng)用

（★★★★）必做5 如圖2，已知橢圓C：+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，直線l為橢圓的右準(zhǔn)線，N為l上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點(diǎn)M，若AM=MN，求∠AMB的余弦值.

[圖2][A][O][F][B][M][y][N][l][x]

[牛刀小試]

破解思路 先由解析幾何的知識(shí)得到向量的坐標(biāo)，進(jìn)而借助向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算完成解答.

精妙解法 由已知可得A（-4，0），B（4，0），F(xiàn)（2，0），直線l的方程為x=8.

設(shè)N（8，t）（t>0），因?yàn)锳M=MN，所以M2

，.

由M在橢圓上，得t=6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2，3）.

所以=（-6，-3），=（2，-3），·=-12+9=-3，

所以cos∠AMB===-，

即∠AMB的余弦值為-（用余弦定理也可求得）.

極速突擊 用向量法解決解析幾何問(wèn)題思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)潔，有意想不到的神奇效果，值得同學(xué)們重視.

（★★★★）必做6 已知定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P是圓（x-3）2+（y-4）2=4上的一動(dòng)點(diǎn)，求PA2+PB2的最大值和最小值.

[牛刀小試]

破解思路 因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，所以+=2，故可利用向量的知識(shí)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量

的最值.

精妙解法 設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得：=（-1，0），=（1，0），所以+=0，·=-1.

又由中點(diǎn)公式得+=2，

所以PA2+PB2=（+）2-2·

=（2）2-2（-）·（-）

=4

2-2·-2

2+2·（+）

=2

2+2.

又因?yàn)?（3，4），且點(diǎn)P在圓（x-3）2+（y-4）2=4上，

所以3≤

≤7，故20≤PA2+PB2=2

2+2≤100.

所以PA2+PB2的最大值為100，最小值為20.

極速突擊 有些解析幾何問(wèn)題雖然沒(méi)有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運(yùn)用向量知識(shí)來(lái)解決，也會(huì)顯得自然、簡(jiǎn)便，而且易入手.

由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考也突出了對(duì)向量與解析幾何的交匯考查，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的解析幾何復(fù)習(xí)中，應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，有效地滲透向量的有關(guān)知識(shí)，樹立應(yīng)用向量的意識(shí).

解三角形

（★★★★）必做7 在△ACD中，A，B，C分別為邊a，b，c所對(duì)的角，且cosA=.

（1）求sin2+cos2A的值；

（2）若a=2，求△ABC的面積S的最大值.

[牛刀小試]

破解思路 考查三角公式化簡(jiǎn)、余弦定理、三角形面積公式.

精妙解法 （1）sin2+cos2A=+cos2A=+2cos2A-1=.

（2）因?yàn)閏osA=，所以sinA=，

因?yàn)閍=2，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=4，

所以bc+4=b2+c2≥2bc，所以bc≤10.

所以△ABC的面積S=×bcsinA=bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，S取得最大值.

所以當(dāng)b=c時(shí)，△ABC的面積S的最大值為3.

極速突擊 三角形是最簡(jiǎn)單的平面圖形，也是中學(xué)數(shù)學(xué)涉及知識(shí)最多的圖形，在高考中是重點(diǎn).常常考查邊角關(guān)系和正、余弦定理，且結(jié)合不等式和方程的知識(shí)，尤其是與基本不等式交匯.

（★★★★）必做8 如圖3，在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使△DEF為正三角形，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值.

[A][F][C][E][B][D][圖3]

[牛刀小試]

破解思路 此題設(shè)參數(shù)是關(guān)鍵，通過(guò)正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角，進(jìn)而由三角函數(shù)求最值.

精妙解法 因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，AB=2，BC=1，所以∠A=30° .

設(shè)∠FEC=α，則得α∈0，

，∠EFC=90° -α，∠AFD=180° -60° -（90°-α）=30° +α，

所以∠ADF=180° -30° -（30°+α）=120° -α.

設(shè)CF=x，則AF=-x，在△ADF中，有=，

由于x=EF·sinα=DF·sinα，

所以=，

化簡(jiǎn)得DF=≥=.

所以△DEF邊長(zhǎng)的最小值為.

極速突擊 要善于通過(guò)挖掘隱含條件，選準(zhǔn)問(wèn)題的切入點(diǎn)，恰當(dāng)設(shè)參、用參，正確界定參數(shù)范圍，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化.

（★★★★）必做9 如圖4，在路邊安裝路燈，燈柱AB與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直，且∠ABC=120°，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示. 已知∠ACD=60°，路寬AD=24 m，設(shè)燈柱高AB=h m，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）.

（1）求燈柱的高h(yuǎn)（用θ表示）；

（2）若燈桿BC與燈柱AB所用材料相同，記所用材料長(zhǎng)度和為S，求S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值.

[B][C][A][D][θ][圖4]

[牛刀小試]

精妙解法 （1）因?yàn)椤螦BC=120°，∠ACB=θ，

所以∠BAC=60°-θ，因?yàn)椤螧AD=90°，所以∠CAD=30°+θ.

因?yàn)椤螦CD=60°，所以∠ADC=90°-θ.

在△ACD中，因?yàn)?，

所以AC==16cosθ.

在△ABC中，=，

所以AB==16sin2θ，即h=16sin2θ.

（2）在△ABC中，因?yàn)?，

所以可得BC==32cosθsin（60°-θ）=8+8·cos2θ-8sin2θ，

則S=AB+BC=8+8·cos2θ+8sin2θ=8+16sin（2θ+60°）.

因?yàn)?0°≤θ≤45°，所以120°≤2θ+60°≤150°.

所以當(dāng)θ=45°時(shí)，S取得最小值為（8+8）m.

極速突擊 應(yīng)用題是高考的必考題型，解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)審題，根據(jù)條件選擇合適的變量，建立數(shù)學(xué)模型，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}，結(jié)論要符合題意.

解三角形主要與三角變換相結(jié)合，直接在三角形中以處理邊角關(guān)系的形式呈現(xiàn).以實(shí)際問(wèn)題為背景，結(jié)合向量或幾何知識(shí)構(gòu)建綜合性題是可能的發(fā)展方向. 如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型及與函數(shù)、不等式、幾何等知識(shí)的轉(zhuǎn)換是難點(diǎn).