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    2013年高考數(shù)學(xué)必做客觀題——三角函數(shù)與三角恒等變換

    2013-04-29 00:44:03車樹勤
    關(guān)鍵詞:誤點(diǎn)突擊象限

    車樹勤

    三角函數(shù)的定義

    (★★)必做1 若角θ的終邊過點(diǎn)P(-4t,3t)(t∈R且t≠0),則2sinθ+cosθ=_______.

    [牛刀小試]

    精妙解法 因?yàn)閤=-4t,y=3t,所以r=5t.

    所以當(dāng)t>0時(shí),sinθ===,cosθ===-,此時(shí)2sinθ+cosθ=2×-=.

    當(dāng)t<0時(shí),sinθ=-,cosθ=,此時(shí)2sinθ+cosθ=2×

    -+=-.

    極速突擊 直接利用三角函數(shù)的定義即可解題.

    誤點(diǎn)警示 由于t可正可負(fù),所以不能錯(cuò)誤地認(rèn)為r=5t,而忽略r=5t,也別忘了對參數(shù)t進(jìn)行分類討論.

    (★★★)必做2 已知tanα>0,且sinα+cosα>0,那么角α的終邊在( )

    A. 第一象限 B. 第二象限

    C. 第三象限 D. 第四象限

    [牛刀小試]

    精妙解法 設(shè)P(m,n)是角α終邊上任一點(diǎn),

    OP

    =r>0,則tanα=>0,且sinα+cosα=>0,所以m>0,n>0,即點(diǎn)P在第一象限,所以角α的終邊在第一象限,故選A.

    極速突擊 設(shè)點(diǎn)在角的終邊上,運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題.

    同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式

    (★★)必做3 若sin

    -α=,則cos

    +2α=________.

    [牛刀小試]

    精妙解法 cos

    +2α=cosπ-2

    -α=-cos2

    -α= -1-2sin2

    -α=-1+2sin2

    -α= -.

    極速突擊 條件角-α與結(jié)論角+2α之間存在這樣的關(guān)系:2

    -α+

    +2α=π,因此可通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,求條件角的三角函數(shù)值.尋找條件角與結(jié)論角之間的關(guān)系是三角化簡求值中的常見題型,需要仔細(xì)分析,看它們之間是否存在互余、互補(bǔ)等關(guān)系,通過配湊,轉(zhuǎn)化為可用三角公式求解的形式.

    (★★★)必做4 已知sin(3π-α)=cos

    +β和cos(-α)= -cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,則α+β的值為( )

    A. π B. π

    C. π或π D. π或π

    [牛刀小試]

    精妙解法 已知條件可化為sinα

    =sinβ,①

    cosα

    =cosβ,②兩式平方相加可得sin2α+3cos2α=2,即sin2α=,sinα=±. 因?yàn)?<α<π,所以sinα=. 所以α=或. 將α的值分別代入②可求得cosβ=或cosβ=-,又0<β<π,所以β=或. 因此α=,β=或α=,β=. 所以α+β=π或π. 故選C.

    極速突擊 求角α和β就是要求角α和β的某一個(gè)三角函數(shù)值. 解決問題的關(guān)鍵是在求出三角函數(shù)值后不要漏掉角的限制范圍0<α<π,0<β<π.

    誤點(diǎn)警示 已知三角函數(shù)值求角時(shí),一定要考慮角的范圍,忽略這一點(diǎn)常常是導(dǎo)致三角函數(shù)求值出錯(cuò)的一個(gè)原因. 有時(shí)限制角的條件是隱含的,如:已知α,β為銳角,且sin(α+β)=,則數(shù)值中就隱含了一個(gè)縮小α+β范圍的條件,因?yàn)閟in(α+β)=<,且0<α+β<π,所以0<α+β<或<α+β<π.

    三角函數(shù)的圖象

    對函數(shù)圖象平移問題要分三個(gè)過程完成:①左右平移;②針對x的伸縮變換;③上下平移. 解答中注意變換的倍數(shù)與平移的單位與函數(shù)解析式的對應(yīng)關(guān)系. 對于根據(jù)平移后的解析式求平移前的解析式,實(shí)際上是逆向思維問題,解答時(shí)只需將問題“倒過來”求解即可,但要注意題中的關(guān)鍵詞“向左(右)、向上(下)、伸長(縮短)”就分別變成了“向右(左)、向下(上)、縮短(伸長)”. 由圖象求解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+k或由代數(shù)條件確定解析式時(shí),應(yīng)注意:①振幅A=(ymax-ymin);②相鄰兩個(gè)最值對應(yīng)的橫坐標(biāo)之差,或一個(gè)單調(diào)區(qū)間的長度為T,由此推出ω的值;③確定φ值,一般將給定的特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式來確定.

    (★★★)必做5 已知函數(shù)y=f(x),先將其圖象向右平移個(gè)單位,再把圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的兩倍,所得圖象恰好與函數(shù)y=3sin

    x+的圖象相同,則y=f(x)的解析式為_________.

    [牛刀小試]

    精妙解法 將y=3sin

    x+的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的一半(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=3sin2x+

    的圖象;將所得到的圖象向左平移個(gè)單位,即y=3sin2x+

    +

    ,所以f(x)=3sin2x+

    .

    極速突擊 對函數(shù)y=3sin

    x+的圖象作相反的變換,尋求應(yīng)有的結(jié)論即可. 此題為逆向求解,對圖象作變換時(shí)要注意,橫坐標(biāo)的擴(kuò)大與縮小只與ω有關(guān),與其他參量無關(guān). 圖象的左、右平移應(yīng)先把ω提到括號外,然后根據(jù)加減號向相應(yīng)方向移動(dòng). 本題也可以設(shè)所求函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),通過“正向變換”得到f(x)=Asin

    x-+φ,與y=3sin

    x+是同一函數(shù),進(jìn)行相應(yīng)系數(shù)的比較后也可以得出結(jié)論.

    誤點(diǎn)警示 變換的先后順序是易錯(cuò)點(diǎn).如果由y=3sin

    x+先向左平移個(gè)單位,再把圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的一半,則將得錯(cuò)誤結(jié)果y=3sin

    2x+.

    (★★★)必做6 圖1為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的一段,其解析式為_________.

    [y][x][O][-][][][M][][-][N]

    圖1

    [牛刀小試]

    精妙解法 法1:由圖可知A=,T=--

    =π,即=π,所以ω=2. 此時(shí)解析式為y=sin(2x+φ). 因?yàn)閳D象過點(diǎn)

    ,0,所以0=sin

    +φ. 所以+φ=0,解得φ=-. 所以解析式為y=·sin2x-

    .

    法2:由法1可得解析式y(tǒng)=·sin(2x+φ),因?yàn)閳D象過點(diǎn)-

    ,0,所以0=sin-

    +φ. 所以-+φ=π,得φ=π+. 所以y=·sin2x+π+

    . 所以所求解析式為y=-sin2x+

    .

    極速突擊 由圖象求函數(shù)解析式,一是根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)得A;二是從圖象求函數(shù)周期,利用周期公式得ω;三是把特殊點(diǎn)帶入函數(shù)解析式得φ. 在確定A,ω值時(shí)沒有疑義,但在求φ值時(shí),往往尋找“五點(diǎn)法”中的第一零點(diǎn)

    -,0作為突破口,要注意從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置. “第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx+φ=0;“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為ωx+φ=;“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx+φ=π;“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為ωx+φ=;“第五點(diǎn)”為ωx+φ=2π.

    誤點(diǎn)警示 在解法2中,“-+φ=π”是個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),如果寫成-+φ=0,得φ=,則會得到錯(cuò)誤的解析式y(tǒng)=sin2x+

    . 如果圖象中指明了最值的坐標(biāo),就最好選用最值的坐標(biāo)代入式子求解,因?yàn)樽钪挡淮嬖趫D象的走勢問題.

    三角函數(shù)的性質(zhì)

    (★★★)必做7 函數(shù)y=3· sin

    -

    的單調(diào)遞增區(qū)間為_______.

    [牛刀小試]

    精妙解法 設(shè)μ=-,則y=3sinμ. 當(dāng)2kπ+≤μ≤2kπ+時(shí),y=3sinμ隨μ的增大而減小. 又知μ=-隨x的增大而減小,所以當(dāng)2kπ+≤-≤2kπ+,即-4kπ-≤x≤-4kπ-時(shí),y隨x的增大而增大. 所以y=3sin

    -

    的單調(diào)遞增區(qū)間為-4kπ

    -,-4kπ

    -(k∈Z).

    極速突擊 將-看做一個(gè)變量μ,求出μ的范圍,結(jié)合μ=-是x的單調(diào)減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 也可以提出負(fù)號變成y=-3sin

    -

    ,y=3sin

    -

    的單調(diào)遞減區(qū)間即為y=3sin

    -

    的單調(diào)遞增區(qū)間.

    誤點(diǎn)警示 本題一定要注意變量x的系數(shù)是負(fù)數(shù),所以要把-放在μ的單調(diào)遞減區(qū)間里求解. 但有時(shí)容易誤以為求遞增區(qū)間,即把μ=-放在y=3sinμ的遞增區(qū)間2kπ-

    ,2kπ

    +(k∈Z)里求解x的取值范圍,而得到錯(cuò)誤的結(jié)果.

    (★★★)必做8 函數(shù)y=-2cos2x+2sinx+3的值域?yàn)開______.

    [牛刀小試]

    精妙解法 原式可化為y=-2(1-sin2x)+2sinx+3=2sin2x+2sinx+1=2sinx

    ++. 令t=sinx,則y=2t

    ++,t∈[-1,1]. 由二次函數(shù)的圖象可知,當(dāng)t=-時(shí),y=;當(dāng)t=1時(shí),y=5. 所以所求值域?yàn)?/p>

    ,5.

    極速突擊 形如y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù),其實(shí)質(zhì)同上面情況一樣,特點(diǎn)是含有sinx,cosx,并且其中一個(gè)是二次,另一個(gè)是一次. 處理方式是應(yīng)用sin2x+cos2x=1進(jìn)行化簡,使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù);再應(yīng)用換元法,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解.

    誤點(diǎn)警示 要注意換元后t的取值范圍,若忽視了sinx∈[-1,1],則結(jié)果就會出錯(cuò);若題中x的取值范圍不是R,而是給定的一個(gè)取值范圍,則sinx換元后的t的取值范圍就要相應(yīng)發(fā)生變化.

    三角函數(shù)的性質(zhì)的難點(diǎn)是與三角函數(shù)圖象相關(guān)的性質(zhì).要突破這一難點(diǎn),就要牢固把握三角函數(shù)的圖象:三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象在其對稱軸處取到最大值或最小值,且相鄰的最大值與最小值之間的距離為其函數(shù)的半個(gè)周期;函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對稱中心,相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離也是函數(shù)的半個(gè)周期;函數(shù)取最值的點(diǎn)和相鄰的與x軸的交點(diǎn)之間的距離為函數(shù)的個(gè)周期.

    和差角公式運(yùn)算

    當(dāng)已知條件中的角與所求角不同時(shí),需要通過“拆”“配”等方法實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化,一般是尋求它們的和、差、倍、半關(guān)系,再通過三角變換得出所要求的結(jié)果.要善于逆用公式,即從右往左用公式,將單角往復(fù)角轉(zhuǎn)化.掌握常數(shù)三角化的運(yùn)用,如1=tan45°等,這對解決形如“”型的問題特別重要.若題目中出現(xiàn)tanα±tanβ和tanαtanβ的結(jié)構(gòu),通常利用兩角和與差的正切公式的變形式解決問題:tanα±tanβ=tan(α±β)·(1?tanα·tanβ).

    (★★★)必做9 已知函數(shù)f(x)=asinx-bcosx(a,b為常數(shù),a≠0,x∈R)在x=處取得最小值,則函數(shù)y=f

    -x是( )

    A. 偶函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱

    B. 偶函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)

    ,0對稱

    C. 奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)

    ,0對稱

    D.奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱

    [牛刀小試]

    精妙解法 因?yàn)閒(x)=asinx-bcosx=sin(x-θ)(其中tanθ=),由題意知-θ=-+2kπ(k∈Z),所以θ=-2kπ(k∈Z). 所以f(x)=sinx-

    +2kπ=· sin

    x-,所以y=f

    -x=· sin(-x)=-sinx.

    所以y=f

    -x是奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱. 故選D.

    極速突擊 公式y(tǒng)=asinx±bcosx=sin(x±θ)(a,b為不同時(shí)為零的實(shí)數(shù))可以化簡函數(shù)表達(dá)式,解決三角函數(shù)問題時(shí)有重要的應(yīng)用.

    (★★★)必做10 已知cosα=,cos(α+β)=-,且α∈0,

    ,α+β∈

    ,π,則β=_______.

    [牛刀小試]

    精妙解法 因?yàn)?<(α+β)+(-α)<π,所以β∈(0,π). 又cosβ=cos[(α+β)+(-α)]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα= -·+·=,所以β=.

    極速突擊 觀察已知角和所求角,可作出β=(α+β)+(-α)的配湊角變換,然后利用余弦的差角公式求角. 將條件中的角拆成結(jié)論中的角,或?qū)⒁蟮慕遣鸪梢阎械慕?,這種方法是連接、溝通已知與結(jié)論的重要手段;當(dāng)角或三角函數(shù)可以分別進(jìn)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)處理時(shí),若不能直接達(dá)到變換的要求,則可觀察各角之間的關(guān)系,借助誘導(dǎo)公式來完成.

    誤點(diǎn)警示 有的同學(xué)會這樣做:sinβ=sin[(α+β)+(-α)]=sin(α+β)·cosα-cos(α+β)sinα=·+·=,所以β=或β=.由于當(dāng)β∈(0,π)時(shí),sinβ不是單調(diào)函數(shù),所以由sinβ=求角β還需要進(jìn)一步討論角β的取值范圍;但當(dāng)β∈(0,π)時(shí),cosβ是單調(diào)函數(shù),所以取余弦函數(shù)求角β更簡捷.

    (★★★)必做11 已知0<β<<α<,cos

    -α=,sin

    +β=,則sin(α+β)的值為_______.

    [牛刀小試]

    精妙解法 由于cos

    -α=sinα+

    =, 又<α+<π,所以cosα+

    =-.

    因?yàn)閟in

    +β=,<β+<π,所以cos

    +β=-. 所以sin(α+β)=-sinα+

    +β+

    = -sinα+

    cosβ+

    +cosα+

    ·sinβ+

    =.

    極速突擊 比較給出的角與待求式中角的關(guān)系,能發(fā)現(xiàn)

    +β-

    -α=+(α+β),當(dāng)然也可先將cos

    -α變化為sin

    +α,再考慮

    +α+

    +β=π+(α+β),接下來只需求出相應(yīng)角的正、余弦值,利用兩角和與差的三角公式求解即可.

    誤點(diǎn)警示 在根據(jù)已知的三角函數(shù)值求未知的三角函數(shù)值時(shí)一定要先求角的范圍,只有根據(jù)這個(gè)范圍才能正確地求出三角函數(shù)值,這個(gè)過程一定不能省略.

    倍角公式的運(yùn)算

    (★★★)必做12 已知x∈

    -,

    ,且sin2x=sinx-

    ,則x=_________.

    [牛刀小試]

    精妙解法 因?yàn)閟in2α= -cos2α+

    =-cos2α+

    =1-2cos2α+

    ,所以原方程可化為1-2cos2x+

    =-cosx+

    ,解得cosx+

    =1或cosx+

    =-.

    又x∈

    -,

    ,所以x+=0或x+=. 所以x=-或x=.

    極速突擊 觀察已知角和要求的角,發(fā)現(xiàn)它們之間是二倍角的關(guān)系,所以用二倍角公式求解.

    二倍角公式常用的有:

    變式1 sin2α=sin2α+

    -cos2α+

    =1-2cos2α+

    =2sin2α+

    -1,

    變式2 cos2α=2sinα+

    ·cosα+

    =2sinα+

    sin

    -α.

    這兩個(gè)變式的形式與二倍角正、余弦形式恰相反,角度變?yōu)棣?

    .

    (★★★)必做13 函數(shù)y=2sinx·(sinx+cosx)的最大值為( )

    A. 1+ B. -1

    C. D. 2

    [牛刀小試]

    精妙解法 y=2sin2x+2sinxcosx=1-(1-2sin2x)+sin2x=1-cos2x+sin2x=1+sin2x-

    ≤1+. 故選A.

    極速突擊 本題主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式. 在不少的三角函數(shù)題的解答中,都需將三角公式逆用,這里是指運(yùn)用2sinαcosα=sin2α,2cos2α-1=cos2α,1-2sin2α=cos2α等.

    誤點(diǎn)警示 本題中x的取值范圍是R,如果給定x一個(gè)限制范圍,那么就要根據(jù)2x-的取值情況來確定sin2x-

    的取值范圍.

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