2013年高考數(shù)學(xué)必做客觀題——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

趙攀峰

導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義

（★★★）必做1 設(shè)f（x）=（x-1）·（x-2）…（x-101），則f ′（1）等于（ ）

A. 0 B. 99！

C. 100！ D.101！

[牛刀小試]

精妙解法 設(shè)f（x）=（x-1）g（x），兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f ′（x）=g（x）+（x-1）·g′（x），所以f ′（1）=g（1）=（1-2）（1-3）·…·（1-101）=（-1）（-2）·…·（-100）=100！. 故選C.

極速突擊 解本題的關(guān)鍵是把f（x）寫成（x-1）g（x），求乘積的導(dǎo)數(shù)，再賦值.

（★★★★）必做2 已知函數(shù)f（x）=f ′（0）cosx+sinx，則函數(shù)f（x）在x0=處的切線方程是_______.

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=-f ′（0）sinx+cosx，令x=0，得f ′（0）=1，k=f ′

=-1，

所以切線方程為y-1=-x-

，即x+y--1=0.

極速突擊 本題先求f ′（0）的值，再求在x0=處的切線斜率.

誤點(diǎn)警示 導(dǎo)數(shù)f ′（x0）的幾何意義是曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=f（x）在某點(diǎn)x0處切線的斜率，因此切線方程可通過(guò)求導(dǎo)數(shù)先得斜率，再由切點(diǎn)利用點(diǎn)斜式方程求得. 求過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程時(shí)，一要注意P（x0，y0）是否在曲線上；二要注意該點(diǎn)可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)，因而所求的切線方程可能不只1條.

（★★★★）必做3 已知函數(shù)f（x）=sinx的圖象與直線y=kx（k>0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為α，則α等于（ ）

A. -cosα B. -sinα

C. -tanα D. tanα

[牛刀小試]

精妙解法 f（x）的圖象與直線y=kx（k>0）的三個(gè)交點(diǎn)如圖1所示，且在π

，內(nèi)相切，其切點(diǎn)為A（α，-sinα），α∈π

，.

由于f ′（x）=-cosx，所以-cosα= -，即α=tanα. 故選D.

[y][x][O][A][y=kx][π][y=

sinx

][α][2π]

圖1

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

（★★★）必做4 設(shè)函數(shù)f（x）=，則使得f ′（x）>0的x的取值范圍是（ ）

A. -∞

， B. 0

，

C.

，1 D. （e，+∞）

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=-，由f ′（x）>0，得lnx+1<0，所以0

（★★★）必做5 設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+φ）（0<φ<π）. 若f（x）+f ′（x）是偶函數(shù)，則φ=______.

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=-·sin（x+φ），

g（x）=f（x）+f ′（x）=cos（x+φ）-sin（x+φ）=2cos（x+φ+），

要使g（x）為偶函數(shù)，只需φ+=kπ（k∈Z），即φ=kπ-（k∈Z）.

又0<φ<π，所以k只能取1，即φ=π.

極速突擊 本題先求f′（x），再利用偶函數(shù)的定義求得φ.

（★★★★）必做6 放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過(guò)程中，其含量M（單位：太貝克）與時(shí)間t（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：M（t）=M02，其中M0為t=0時(shí)銫137的含量，已知t=30時(shí)，銫137的含量的變化率是-10ln2（太貝克/年），則M（90）=_______太貝克.

[牛刀小試]

精妙解法 M′（t）=-ln2×M02，則M′（30）=-ln2×M02=-10ln2，解得M0=600，所以M（t）=600×2，那么M（90）=600×2=600×=75太貝克.

誤點(diǎn)警示 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（ax）′=axlna，特別的，（ex）′=ex，熟記公式是解決問(wèn)題的前提.

定積分及其運(yùn)算

（★★★）必做7 若設(shè)f（x）=x2，x∈[0，1]，

2-x，x∈（1，2），則f（x）dx等于（ ）

A. B.

C. D. 不存在

[牛刀小試]

精妙解法 先畫出f（x）的圖象，見(jiàn)圖2的陰影部分，則

f（x）dx=x2dx+（2-x）dx=x31

0+

2x-x22

1=+4-2-2+

=. 故選C.

[y][x][O][1][2][圖2]

極速突擊 微積分基本定理：如果f（x）是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′（x）=f（x），那么f（x）dx=F（b）-F（a）. 該公式又叫萊布尼茲公式，稱F（x）為f（x）的原函數(shù).

為了方便，常常把F（b）-F（a）記成f（x）dx=F（x）b

a=F（b）-F（a）.

誤點(diǎn)警示 求定積分時(shí)關(guān)鍵是尋求原函數(shù)，積分區(qū)間不能出錯(cuò).

（★★★）必做8 如圖3，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O為AD的中點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為O，且通過(guò)點(diǎn)C，則陰影部分的面積為_(kāi)_______.

[B][O][A][C][D]

圖3

[牛刀小試]

精妙解法 以O(shè)為圓心，以O(shè)D為y軸建立直角坐標(biāo)系，拋物線的方程為x2=2y，S=-dx=.

極速突擊 在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫出它的草圖，通過(guò)解方程組確定相應(yīng)的積分區(qū)間.

導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

（★★★）必做9 已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+x+1在區(qū)間[1，+∞）遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A. （-∞，4） B. （-∞，4]

C. （-∞，2） D. （-∞，2]

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=3x2-ax+1，由f（x）在區(qū)間[1，+∞）遞增，則f ′（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，即3x2-ax+1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，所以a≤3x+對(duì)x∈[1，+∞）恒成立.

設(shè)g（x）=3x+，x∈[1，+∞），g′（x）=3->0，所以g（x）≥g（1）=4，

所以a≤4，故選B.

極速突擊 （1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上滿足f ′（x）>0，則f（x）為區(qū)間D上的增函數(shù)；

若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上滿足f ′（x）<0，則f（x）為區(qū)間D上的減函數(shù).

（2）若函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的增函數(shù)，則f ′（x）≥0對(duì)區(qū)間D恒成立；

若函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的減函數(shù)，則f ′（x）≤0對(duì)區(qū)間D恒成立.

誤點(diǎn)警示 f（x）在區(qū)間[1，+∞）遞增，則f ′（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，而不是f ′（x）>0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立.

（★★★★）必做10 設(shè)函數(shù)f（x）=ex（sinx-cosx），若0≤x≤2013π，則函數(shù)f（x）的各極大值之和為_(kāi)_______.

[牛刀小試]

精妙解法 求得f ′（x）=2exsinx，當(dāng)x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)， f ′（x）>0；

當(dāng)x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)， f ′（x）<0，所以當(dāng)x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)， f（x）遞增，當(dāng)x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，函數(shù)f（x）遞減，故當(dāng)x=2kπ+π時(shí)， f（x）取極大值，其極大值為f（2kπ+π）=e2kπ+π·[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π.

又0≤x≤2013π，所以函數(shù)f（x）的各極大值之和

S=eπ+e3π+…+e2013π=.

極速突擊 本題先確定函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，再求和.

誤點(diǎn)警示 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)f（x）的極值，要先求出f ′（x）=0的解，再判斷在各個(gè)解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)，只有滿足兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)的解才是f（x）的極值點(diǎn).

（★★★★）必做11 設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-（a<-1），若f（x）在[1，e]上的最小值為，則a的值為_(kāi)______.

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=，因?yàn)閍<-1，x∈[1，e]，令f′（x）=0，則x=-a.

① 若1<-a0，即f（x）在（-a，e）上遞增，所以[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1=，所以a=-；

② 若-a≥e，即a≤-e時(shí)，則x+a≤0， f ′（x）≤0在[1，e]上恒成立，即f（x）為[1，e]上的減函數(shù)，所以[f（x）]min=f（e）=1-=，所以a=-，矛盾.

故a=-.

極速突擊 函數(shù)的最大（?。┲翟跇O值點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)取得，需要分極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行討論.

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，首先要確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f ′（x），得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后，一般列表判定單調(diào)區(qū)間與極值或最值；若是含參變量的單調(diào)性或極值問(wèn)題，則應(yīng)結(jié)合定義域?qū)Ψ匠谈膯?wèn)題進(jìn)行討論；對(duì)于某些綜合問(wèn)題，還要進(jìn)行命題轉(zhuǎn)化（如恒成立、大小比較、數(shù)列問(wèn)題等），逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決，尤其是注意分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.