從三個層次培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

何龍

摘 要：作為解決實際應(yīng)用問題的主要能力——建模能力也逐漸被高中數(shù)學(xué)教學(xué)所重視，對建模能力的研究日漸深入。這里以“貨幣時間價值模型”的建立為例，分析數(shù)學(xué)建模能力的三個層次，探討在高中教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

關(guān)鍵詞：三個層次；培養(yǎng)；建模能力

高中數(shù)學(xué)教學(xué)加強應(yīng)用能力的培養(yǎng)已獲得全社會的共識，教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識作為課程的基本理念之一，要求高中數(shù)學(xué)大力加強數(shù)學(xué)應(yīng)用和聯(lián)系實際，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，擴展學(xué)生的視野。作為解決實際應(yīng)用問題的主要能力——建模能力也逐漸被高中數(shù)學(xué)教學(xué)所重視，對建模能力的研究日漸深入。這里我們以“貨幣時間價值模型”的建立為例，分析數(shù)學(xué)建模能力的三個層次，探討在高中教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

一、數(shù)學(xué)建模能力的三個層次

數(shù)學(xué)建模能力指對問題做相應(yīng)的數(shù)學(xué)化，構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并對該模型求解返回到原問題中檢驗，最終將問題解決或作出解釋的能力。需要說明的是，問題可以是現(xiàn)實的應(yīng)用問題，也可以是純數(shù)學(xué)問題；可以是常規(guī)，也可以是非常規(guī)的；可以是封閉的，也可以是開放的。荷蘭著名數(shù)學(xué)家漢斯·弗洛登塔爾認(rèn)為，公理化、形式化以及模型化等這些發(fā)展數(shù)學(xué)的過程統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)化，即數(shù)學(xué)化就是運用數(shù)學(xué)的思想方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象，并加以整理和組織的過程。數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界當(dāng)中某一類運動變化過程及結(jié)構(gòu)，一種模擬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是對現(xiàn)實模型理想化，是一種科學(xué)的抽象過程。

為了探索數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次，我們設(shè)計了構(gòu)建貨幣的時間價值模型逐層深入的3個問題在我校（地級市一中）的高一、高二、高三各選2個班級加以測試。

1.問題1：初始本金a元，年利率為x，試探求n年后本利和An公式。

高一年級2個班108人中正確導(dǎo)出復(fù)利公式（模型）有96人，正確率為88.8%。在課本沒有涉及金融投資知識，教師也沒有講過該公式的前提下，能有這么高的正確率出乎筆者的意料。通過座談發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生是通過課外閱讀記憶獲取該模型公式；另一部分人則通過存款觀察并通過對本問題思維運算獲得的。而沒有得出公式的學(xué)生既有語言理解能力上的不足，也有缺乏想象創(chuàng)造力的錯誤，當(dāng)然也有數(shù)學(xué)抽象歸納能力上的欠缺。筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模能力是有結(jié)構(gòu)層次的，初層結(jié)構(gòu)是由觀察力、閱讀力、想象力、思維能力等基本能力組成，其中以思維能力為核心。

2.為了探索建模能力是否存在第二層次，對問題1進(jìn)行深化處理得到問題2：如果利息不是一年結(jié)算一次，而是一年結(jié)算多次，初始本金a元，年利率為x，試探求n年后本利和Bn公式。

高二年級2個班111人中正確導(dǎo)出一年結(jié)算m次，有52人，正確率為46.8%。其中較為典型的解法是，首先對實際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，令利息一年結(jié)算m次，n年后共結(jié)算mn次，再進(jìn)行建模解模的探析，聯(lián)想每年結(jié)算一次復(fù)利公式，得到初始猜想，在賦值上發(fā)現(xiàn)錯誤，對照有，從而將模型調(diào)整為，并由數(shù)學(xué)歸納證明結(jié)論正確。由此可以看出，正是在初層結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過數(shù)學(xué)化達(dá)到構(gòu)建模型和求解模型的，將實際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，因而筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模能力有第二層次，即中層結(jié)構(gòu)（具體能力層）問題的數(shù)學(xué)能力，建模解模的實踐能力。

3.為了繼續(xù)探求數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次，筆者對問題2進(jìn)行抽象形式化處理得到問題3：試對問題2進(jìn)行分析，從中你能得到什么樣的投資結(jié)論。

高三年級2個班109人，僅16人能基本回答正確，正確率約為14.7%，這從一定程度上說明當(dāng)前的高中學(xué)生缺乏應(yīng)用問題的訓(xùn)練，尤其是問題的數(shù)學(xué)模型不止一個時就會束手無策，教學(xué)中應(yīng)加大數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)力度。典型的解法是立足于問題2的模型，又構(gòu)建了問題的新模型——二項式模型，展開

通過逐項比較不難得出，即ym隨m單調(diào)遞增，又得到結(jié)論：m越大，越大，即每年結(jié)算利息的次數(shù)越多，銀行付出的本利和越多，對儲戶越有利（銀行應(yīng)避免該狀況發(fā)生）。學(xué)生對上述問題的解決是在中層結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，交叉運用了邏輯思維和運算分析最終上升為一種問題解決的綜合能力。這應(yīng)該是數(shù)學(xué)建模能力的歸宿——高層次結(jié)構(gòu)。

二、從三個層次在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

1.既然數(shù)學(xué)建模能力基礎(chǔ)（初層）是由諸多能力因素構(gòu)成的，因此日常教學(xué)中就要有意識地進(jìn)行針對性的滲透培養(yǎng)。構(gòu)建系列有相當(dāng)針對性的現(xiàn)實應(yīng)用問題供建模教學(xué)使用，當(dāng)然問題一方面要體現(xiàn)建模過程的特點，即問題的數(shù)學(xué)化，抽象簡化，建模求解，檢驗修改（循環(huán)迭代）的過程；另一方面要避免傳統(tǒng)文字應(yīng)用題的通病——已將數(shù)學(xué)化過程甚至建模過程完成，問題不含多余干擾信息，條件不多不少，目標(biāo)指向清楚，只需設(shè)出未知數(shù)列等式或不等式就可得到問題的解。

我們?nèi)砸浴柏泿艜r間價值模型”為例，教學(xué)中通過下面系列問題訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力的基礎(chǔ)。

（1）以每股8.15元購進(jìn)股票10萬股，一年后以9.05元拋售，該年銀行月利率為0.2%，按月計算得利，請判斷該投資行為是否合理？

（2）某人將全年固定收入的結(jié)余部分，每年年終存入銀行，銀行年利率為3.8%（計復(fù)利），計劃五年后不再工作，而儲蓄所得利息恰等于現(xiàn)在每年的開支，問所存金額為其年收入的百分比。

（3）某人年初向建行貸款20萬用于購房，年利率為7%，按復(fù)利計算，若這筆貸款分15次等額歸還，每年還1次，15年還清并以貸款后次年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少錢？

（4）某公司為了增加流動資金推出新的促銷方式，將原售價50萬元的房產(chǎn)用新方式出售，即該公司與買方簽訂有銀行擔(dān)保的書面合同，買方一次性支付該公司60萬元，不但能得到房產(chǎn)權(quán)，而且該公司履行滿15年一次性返還買方60萬元，試問買方的在新的促銷方式中可少支付多少萬元，按銀行五年期存款的年利率為5%作計算基準(zhǔn)，15年可以連續(xù)存三個五年期。

需要注意：數(shù)學(xué)建模中的模型背景要盡量簡化，專業(yè)術(shù)語要較少，問題要有趣味性，應(yīng)易激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣，利于學(xué)生主體參與和創(chuàng)造意識的培養(yǎng)?，F(xiàn)行課本中有許多現(xiàn)成模型需要挖掘重視，如，等比數(shù)列求和公式（上述問題中有諸多涉及），只要教學(xué)中充分挖潛，作不同的導(dǎo)向，就可演變成一個好的建模問題，這是建模教學(xué)中寶貴的問題源，要高度重視。

2.應(yīng)該承認(rèn)數(shù)學(xué)建模能力中層結(jié)構(gòu)的地位是決定性的，它既聯(lián)系著初層結(jié)構(gòu)，又影響高層次結(jié)構(gòu)的完成，教學(xué)處理極為關(guān)鍵。筆者認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)注意兩個方面：（1）突破閱讀理解關(guān)?，F(xiàn)實應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)化和建模過程取決于學(xué)生能通過閱讀理解將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)量關(guān)系并自覺將應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)化過程按理解的深度與廣度結(jié)合體的感覺、知覺、記憶、思維等特點，組成一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體——應(yīng)用問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)時才能合理完成。這里閱讀理解往往在很大程度上制約數(shù)學(xué)化的過程。美國閱讀心理學(xué)家史密斯認(rèn)為閱讀心理有四個逐步深入的層次——字面的理解、解釋、批判性閱讀、創(chuàng)造性閱讀，這里實質(zhì)也是數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的一個組成部分，教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生具有較高的閱讀聯(lián)想、閱讀思維、閱讀情感素質(zhì)。（2）加強學(xué)生的運算（特別是近似計算）能力的培養(yǎng)。構(gòu)建模型帶有很大的靈活性和實用性，需要較高的運算素養(yǎng)。教學(xué)中應(yīng)力戒將問題的模型構(gòu)建完畢就不屑一顧的做法，對學(xué)生而言有時候解模往往會力不從心。例如，對前面列舉的問題3，有學(xué)生這樣獲取模型：設(shè)貸款b，每年等額歸還a元，第一年后欠款b-a，第二年后欠款，第15年后欠款。筆者在高二年級2個班111人中能正確運算得到結(jié)果只72人，不能合理運算已阻礙學(xué)生建模能力的形成，教學(xué)中要下大力氣突破。

3.數(shù)學(xué)建模能力的終極是一種綜合的問題解決能力，因而建模教學(xué)中要注重學(xué)生思維活動的發(fā)散性和創(chuàng)造性的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生在同化——順應(yīng)的整合過程中形成合理的新建模結(jié)構(gòu)，突出學(xué)生的多種思維指向作用，而不是一味地納入教師的思維框架中，避免抑制學(xué)生建模能力中創(chuàng)造能力與主體意識的培養(yǎng)。由于建模能力形成的長周期和培養(yǎng)點為多角度、多渠道、多觀點、多層次，尋求建模能力的解決點，以完成知識為載體、思維為核心、能力為體現(xiàn)的三者和諧統(tǒng)一。例如，從問題1出發(fā)鼓勵學(xué)生思維觸角立體式搜索，完成問題（1）～（4）的解決，并可將問題遷移到債券的價值問題得到系列模型：設(shè)n年期債券，存款年息利率為x，每年付利息a元，面值為A元，則債券價值為Y=a+A，其中，為使債券面值與現(xiàn)值一建立數(shù)學(xué)模型不完全是為了解決模型的原問題，更有意義的還在于解決具有原型特征的其他許多實際問題，例如上述模型，我們可以建設(shè)性解決以下幾類問題：現(xiàn)值Y、利率x、面值A(chǔ)的確定等，這樣教學(xué)才會有利于學(xué)生形成建模能力的最高層次。

數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次是相互聯(lián)系的，下層為上層基礎(chǔ)的同一體，層次上有時不能絕對區(qū)分，是相互滲透的，但只有搞清楚數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次，教學(xué)中才能有的放矢地培養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力才能從本質(zhì)上得到提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭慶全，汪文龍，田玉杰.數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)創(chuàng)新能力的內(nèi)容載體和實踐載體.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010（12）.

[2]葉其孝.中學(xué)數(shù)學(xué)建模.湖南教育出版社，1998-09.

（作者單位 福建省南平第一中學(xué)）