基于圖形表征的“雞兔同籠”問題教學實踐

陶彥敏

在一次專家講座中有幸聆聽了關于“雞兔同籠”的圖形表征觀點闡述，這樣的表示方法運用在教學實踐中能取得更好的效果嗎？為此我們進行了一些有益的探索，大膽進行教學實踐，發(fā)現(xiàn)圖形表征手段可以較好地促進學生對方法的理解。

一、“雞兔同籠”問題的教學設計路徑

對于這一課時的教學路徑設計，我們基本按照教材意圖，走教材體現(xiàn)的路徑，僅僅將“列表法”替換為“畫腳法”，其余素材基本不變。第一步，從“雞兔同籠”的例題引入，認識到這是我們面臨的一個新問題。第二步，研究問題的方式是多樣的，為了方便研究，對例題數(shù)據(jù)進行簡化處理。第三步，提供基本的圖片，進行一些必要的解釋，請學生“畫一畫、劃一劃”，并發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。第四步，在學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎上，獨立探究新方法。在此基礎上，組織學生交流，并領會同伴的方法。第五步，鞏固練習，解決《孫子算經(jīng)》上的原題。

二、“雞兔同籠”問題的教學片段摘記

片段一：“畫一畫、劃一劃”開始部分

生1：老師，我不會畫雞，更不會畫兔。

生2：不用畫雞，也不用畫兔，只要簡單畫雞頭雞腳和兔頭兔腳就可以了。

師：你的簡單法是怎樣的呢？

生2：圓圈表示頭，雞下面畫兩豎表示兩只腳，兔下面畫四豎表示四只腳。

師：（出示圖a）這個圖片表示什么？誰能看懂？

生3：6個正方形。

生4：6只雞或兔，一個正方形表示一只雞或兔。

生5：應該是表示一只雞和一只兔，左邊一列表示一只雞，2個正方形表示雞有兩只腳，右邊一列表示一只兔，4個正方形表示兔有四只腳。

師：（出示圖b和圖c）這兩個圖片又分別表示什么，誰能看懂？

生6：圖b表示8只兔有32只腳，圖c表示8只雞有16只腳。

生7：我不完全同意你的觀點，我認為虛線表示“不確定”，這兩個圖表示的就是例題1，雞兔共8只，但腳還沒有畫好。

師：那怎樣才算畫好？

生8：圖b顯然腳數(shù)大大超過26只，要劃去一些，圖c顯然腳數(shù)不足26只，要再畫上幾只。

……

我的理解：以上教學事實說明，學生可以通過這樣的圖形去理解“雞兔同籠”的問題，這樣的圖形比用圓圈和線段表示的方法更簡單，凌亂的線段之“腳”顯然不如連成一片的方框之“腳”，這樣的“腳”顯然更富數(shù)學意義；這樣的圖形更能說明問題，學生可清晰地知道，一只雞與一只兔的轉換，腳數(shù)改變2，這樣的“畫一畫、劃一劃”的方法具有現(xiàn)實的教學意義與價值。我堅信，二年級學生適用的直觀手段，對于五年級學生來說，適用性是值得懷疑的，是需要改進的。

片段二：其他方法的自主探究后的交流之一

生1：我是從雞兔各半的情況開始想的，3×8=24只腳，26-24=2只兔，兔比雞多兩只，所以雞有（8-2）÷2=3只，兔有5只。

師：3×8=24只腳，哪種動物有3只腳？（生大笑，以為該同學說錯了）

生1：沒錯啊，我說雞兔各半的話，把兔子4只腳中的一只腳看做對應的一只雞的腳，這樣這對雞和兔就各3只腳。題中雞兔共26只腳，多了2只腳，說明這兩只兔子沒有對應的雞，沒有借出自己的1只腳，所以兔比雞多2只。

師：你們聽明白了嗎？我們一起來畫個圖（見前，圖略，教師在畫出圖形后，進一步提出“三腳法”的另一種情況：按1頭3腳計算，腳數(shù)比已知腳數(shù)多。面對老師的圖形表示，學生驚嘆：哇，原來是這樣的?。?/p>

……

我的理解：想不到“三腳法”被第一個提出，為什么？我和那些語文老師交流這類問題時，語文老師一般也是從雞兔各半或很接近的情況開始的，難道是中庸之類的哲學影響在發(fā)揮作用？ 通過畫圖，為學生展示了這種方法的幾何意義，學生更能接受這種方法。

片段三：其他方法的自主探究后的交流之二

生1：我們剛學過方程，所以我選用方程的方法。

解：設雞有x只，則兔有（8-x）只，根據(jù)題意得：2x+4（8-x）=26，但是這個方程我解不好。

師：誰能幫幫他？

生2：第一步去括號，2x+32-4x =26，交換2x與32的位置，得32+2x -4x =26，加2x減4x相當于減2x……

師：還可以怎樣列方程？每人做一做……

生3：我的方程是4x+2（8-x）=26，我發(fā)現(xiàn)這樣列方程比較容易解。

師：好的，原來把腳數(shù)多的動物只數(shù)設為未知數(shù)，解方程比較方便，我們能把這個方程用圖形來表示一下嗎？（略，見前。）

……

我的理解：方程法應該是本課的學習重點，但用方程法解決問題時學生解方程的能力，往往被教師疏忽。我之所以要讓全體同學用方程的方法練一練，不僅要求每個學生掌握這種方法，而且要讓學生明白，把腳多的動物只數(shù)設為未知數(shù)，解方程時可以避免出現(xiàn)學生現(xiàn)有知識水平難以支撐甚至不能支撐的情況，這種方法應該是“雞兔同籠”問題教學的重點方法。通過畫圖的方法，學生明白了兩個不同的方程表達的意義，明白如何設未知數(shù)可以給自己解決問題帶來方便。

片段四：《孫子算經(jīng)》的論戰(zhàn)

師：今天我們學習了“雞兔同籠”問題，讓我們看看《孫子算經(jīng)》原題“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四腳，問雞兔各幾何”，你能用現(xiàn)在的話來表述嗎？

生：雞兔35頭，94腳，雞、兔各幾只？

師：你會幾種方法？你喜歡什么方法？

生1：我會假設法和方程法，我喜歡方程法。解：設兔有x只，則雞有（35-x）只，方程是4x+2（35-x）=94。

生2：方程書寫麻煩，我還是喜歡“三腳法”，3×35=105只，105-94=11只，說明雞多11只，（35+11）÷2=23只，兔有12只。

生3：方程書寫麻煩，我也還是喜歡假設成“全部是雞”，比實際少多少腳就換相應的兔。35×2=70（只），94-70=24（只），24÷2=12（只），兔12只，雞23只。

生4：我還是喜歡畫圖法的。

師：你準備畫35列正方形方框？

生4：那也不必，用省略號表示一下也可以。我看題目中的頭數(shù)與腳數(shù)，我估計雞多兔少，我先省略20只雞，5只兔，共60只腳，余下10頭35腳，這樣也可以畫出來。

師：你對畫圖的方法進行了改進，老師覺得你很有創(chuàng)造精神。就使用是否方便的角度而言，你覺得選用什么方法比較方便？這個問題每個同學自己想一想。

……

我的理解：從哪里來，到哪里去，我們回到了課的出發(fā)點。但是，這時的學生不僅能解決這一問題，而且能選用自己喜歡的方法解決，這是一個更高的學習出發(fā)點。學生嘴上的選擇，出于多種原因，有時候不一定與真實的選擇相符，這就需要老師的引導，盡量使學生走上“通式通法”之路。有一定創(chuàng)新的畫圖法是好的，有一定古典人文價值的假設法也是好的，但我認為就是學生認為“書寫麻煩”的方程法，才是學生最應該掌握的方法。

三、“雞兔同籠”問題的教學思考

以新的圖形表征方法為依托，這一問題的一次教學嘗試獲得了一定的成功，我還希望在下次的教學中能繼續(xù)用這一方法，其他老師也能采用這一方法。

在“畫腳法”這一環(huán)節(jié)中，我們發(fā)現(xiàn)，與原來用圓圈與線段表示的方法相比，用正方形小方格列表示這一方法更具可操作性，更富數(shù)學化傾向，若一定要選用“畫腳法”，則可以思考我們的方法。

在所有的方法中，方程法是學生應該掌握的基本方法。通過圖形表征可以使學生進一步明白兩種方程的意義，并樂意將腳多的動物只數(shù)設為未知數(shù)。要使學生體會到，就思考過程而言，這種方法最簡單。

無論是什么方法，都適用于所有情況，并都是可以實現(xiàn)圖形表征的。通過圖形表征，可以促進學生進一步認識、掌握這一方法。學生樂意用哪種方法，就用哪種方法，并通過圖形表征，形成比較清晰的認識。

預設的方法沒有為學生所發(fā)現(xiàn)，我們可以提供該種方法，并進行圖形表征。選擇放棄也是一種恰當?shù)男袨?，我們需要學生掌握的是以方程法為基礎的一兩種具有“通式通法”性質的基本方法。?