豎直平面內(nèi)圓周運動的兩個模型和拓展應用

崔業(yè)君

圓周運動是高中物理的重要內(nèi)容，在高一力學教學中，一般對水平面內(nèi)圓周運動和豎直平面內(nèi)的圓周運動兩種情況進行實例分析和研究。物體在豎直平面的圓周運動，是學生普遍感到難學難懂的地方，筆者在多年教學中感到，物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如果教學中能夠透徹地作出分析，讓學生理解掌握兩類模型，就可以解決豎直平面內(nèi)圓周運動的這個難題。

物體在豎直平面內(nèi)圓周運動的兩類模型：繩拉小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動和輕桿帶小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動，兩者的區(qū)別是前者繩子只能對運動的小球產(chǎn)生拉力作用，后者輕桿對運動的小球可以有拉力，也可以有支持力作用。

這兩個模型都是變速圓周運動，運動過程復雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的位置——最高點和最低點。本文只討論較難的最高點的情況。

一、繩拉小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動模型

如圖1所示，運動小球在一輕繩的作用下繞中心點作豎直平面內(nèi)的圓周運動。

（1）質(zhì)點過最高點的臨界條件的分析：由于繩子只能 “提供”向里（向心）的拉力，小球在最高點受到向下的重力和繩的拉力，若小球達到最高點時繩子的拉力剛好為零，其合力最小，合力的最小值即等于物體的重力，小球在最高點的向心力全部由小球的重力來提供，即mg=m， vmin=。

在最高點，當v> 時，小球做圓周運動所“需”向心力大于重力，重力不足以提供所需向心力，小球向外遠離圓心，繩產(chǎn)生拉力；繩的拉力和重力的合力提供向心力，即F+mg=m。

上式中vmin=是質(zhì)點通過最高點的最小速度，叫臨界速度；

（2）質(zhì)點過最高點的臨界條件：由上所述，可以得出臨界條件為V≥；

（3）不能過最高點條件，V<；實際上小球還沒有到最高點時，就脫離了圓軌道，在教學中，可向?qū)W生演示這一現(xiàn)象，效果明顯，比較有說服力。

模型拓展：這個模型可以拓展到其他情形，如小球在豎直（光滑）圓弧軌道內(nèi)側(cè)的圓周運動，水流星的運動，過山車運動等，這些實例中，做圓周運動物體受力情形與豎直平面內(nèi)的圓周運動的輕繩拉小球完全相同（如圖1）。

應用實例1： 繩系著裝水的水桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，水的質(zhì)量m= 0.5kg，繩長L= 40cm，求：（1）為使桶在最高點時水不流出，桶的最小速率？（2）桶在最高點速率v= 3m/s時，水對桶底的壓力？

解析：（1）在最高點水不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需的向心力。即：mg≤m，則最小速率 v0==m/s = 2m/s；

（2）水在最高點速率大于v0 時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的壓力，設為F，由牛頓第二定律有F + mg =m， F = m-mg = 6.25N，由牛頓第三定律知，水對桶底的作用力F'=F = 6.25N，方向豎直向上。

二、輕桿帶小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動

如圖2所示，運動小球固定在輕桿上，在輕桿的作用下，繞中心點作豎直平面內(nèi)的圓周運動，由于輕桿能對小球提供向里（指向圓心）拉力，也能提供向外（背離圓心）支持力，所以小球過最高點時受的合力可以為零，小球在最高點可以處于平衡狀態(tài)。所以小球過最高點的最小速度為零。

（1）當時v=，重力剛好提供小球做圓周運動所需要向心力，即mg =m，桿對球無作用力，F(xiàn)=0；

（2）當v≥，小球的重力不足以提供向心力，此時桿的作用相當于繩，桿對小球有指向圓心的拉力，由F+mg=m得出拉力隨速度的增大而增大；

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