基于粒子群算法的子陣合成

劉曉莉

摘 要： 在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合中，相控陣?yán)走_(dá)的陣列天線所包含的陣元數(shù)往往很多，使得對(duì)信號(hào)處理機(jī)的硬件結(jié)構(gòu)和運(yùn)算處理能力的要求非常高，針對(duì)該情況，提出了基于粒子群算法的子陣合成方法。由于均勻無重疊子陣合成存在的測(cè)角模糊，以及均勻重疊劃分帶來的硬件設(shè)備量的增加，考慮采用非均勻子陣合成結(jié)構(gòu)。該方法以角度估計(jì)的克拉美羅界為適應(yīng)度函數(shù)，通過粒子群算法進(jìn)行子陣優(yōu)化，避免了遺傳算法的選擇、交叉和變異，操作簡單，收斂速度快。計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞： 陣列天線； 粒子群算法； 子陣合成； 克拉美羅界； 適應(yīng)度函數(shù)

中圖分類號(hào)：TN957 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1006-8228（2013）07-03-05

0 引言

波達(dá)方向（Direction-Of-Arrival，DOA）估計(jì)作為陣列信號(hào)處理的重要研究內(nèi)容之一，越來越受到人們的廣泛關(guān)注，尤其是以MUSIC[1]和ESPRIT[2]為代表的子空間類超分辨算法。在實(shí)際工程應(yīng)用中，陣列天線所包含的陣元數(shù)通常較多，帶來的問題是硬件實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度和設(shè)備量的增加及運(yùn)算量的劇增。子陣合成技術(shù)無疑是較為有效的解決該問題的措施之一，不僅運(yùn)算量小，收斂速度快，且所需的系統(tǒng)設(shè)備少[3]。子陣合成通?？煞譃闊o重疊均勻合成、部分重疊均勻合成和非均勻合成。對(duì)于無重疊均勻合成，由于合成后得到的子陣的等效相位中心間距大于半波長，從而導(dǎo)致測(cè)角模糊。對(duì)于部分重疊均勻合成，雖然可以通過調(diào)整重疊的陣元數(shù)來避免柵瓣的出現(xiàn)，但重疊共用的陣元也同時(shí)增加了硬件的復(fù)雜度。非均勻合成是通過改變各個(gè)子陣的方向圖來破壞子陣的周期性，進(jìn)而避免柵瓣的出現(xiàn)。實(shí)際中較常用的是非均勻合成方法，互不交迭的鄰接子陣結(jié)構(gòu)因沒有共享陣元而易于在微波段實(shí)現(xiàn)和控制，同時(shí)又克服了柵瓣效應(yīng)對(duì)自適應(yīng)處理的影響。由于大型陣列陣元數(shù)較多，子陣合成的數(shù)學(xué)組合方式太多，需要進(jìn)行全局最優(yōu)搜索，常見的有遺傳算法[4]，模擬退火算法 （Simulated Annealing，SA）[5]和粒子群算法[6]等。

遺傳算法是借鑒生物的自然選擇和“適者生存，不適者淘汰”的遺傳機(jī)制而發(fā)展的一種全局優(yōu)化自適應(yīng)概率搜索算法。粒子群算法模擬的是鳥群捕食行為。與遺傳算法相比，PSO算法避免了交叉、選擇和變異等基本操作，所以更為簡單，便于實(shí)現(xiàn)；在PSO算法中，只有個(gè)體最優(yōu)解（Personal Best，Pbest）和群體最優(yōu)解（Global Best， Gbest）的信息傳給了其他粒子，整個(gè)搜索過程是跟隨最優(yōu)解的過程，因此，在大多數(shù)情況下具有更好的收斂性。文獻(xiàn)[6-8]都將粒子群算法應(yīng)用到陣列天線方向圖綜合中，適應(yīng)度函數(shù)均與方向圖的電平有關(guān)。文獻(xiàn)[9]以陣列的克拉美羅界為目標(biāo)函數(shù)，固定陣列孔徑和陣元數(shù)，利用遺傳算法搜索最優(yōu)的非等距線陣（Nonuniform Linear Array，NLA）陣列。本文提出了基于粒子群算法的子陣合成方法，以角度估計(jì)的CRB為適應(yīng)度函數(shù)，借助PSO算法進(jìn)行子陣合成優(yōu)化。

1 信號(hào)模型

半波長排列的L元等距線陣，假設(shè)空間存在P個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，入射角度為θp，p=1，…，P，則陣列接收的信號(hào)模型為

L元陣列合成為M元子陣，如圖1所示，則L×M維的降維矩陣為B。由于非均勻劃分后各個(gè)子陣的方向圖不再一致，使得子陣輸出的噪聲功率不等，從而導(dǎo)致子陣級(jí)的自適應(yīng)處理性能下降。故需要按照等噪聲功率法[3]的原則，將B進(jìn)行歸一化，保證各個(gè)子陣輸出的噪聲功率相等，即

不失一般性，假設(shè)只有一個(gè)信源，當(dāng)陣元間距為半波長，且陣列均勻劃分，考慮陣元級(jí)加匹配權(quán)時(shí)的子陣級(jí)導(dǎo)向矢量為

當(dāng)空間存在多個(gè)目標(biāo)時(shí)，子陣級(jí)的陣列流形記為，陣元級(jí)指向θ0，則式（10）可以進(jìn)一步改寫為

2 粒子群算法

1995年，美國Kennedy博士和Eberhar博士提出一種較為新穎的優(yōu)化算法[11]——粒子群優(yōu)化算法。與其他進(jìn)化算法相類似，該算法也是一種基于群體智能（Swarm Intelligence，SI）的優(yōu)化算法，模擬的是鳥群覓食行為，通過鳥之間的相互協(xié)同和競(jìng)爭使群體達(dá)到目的。在PSO中，每個(gè)優(yōu)化問題的解都是搜索空間中的一只鳥，稱之為粒子（Particle）。所有的粒子都有一個(gè)被優(yōu)化的函數(shù)決定的適應(yīng)度值（Fitness Value），每個(gè)粒子還有一個(gè)速度（Velocity）決定它們飛翔的方向和距離。PSO初始化為一群隨機(jī)粒子（隨機(jī)解），然后，粒子們就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索找到最優(yōu)解。粒子群中的粒子有記憶功能，每個(gè)粒子通過跟蹤粒子本身找到的最優(yōu)解Pbest和群體找到的最優(yōu)解Gbest，更新粒子的位置和速度，不斷向最優(yōu)解靠近，最終達(dá)到最優(yōu)解。

類似于遺傳算法，PSO算法的基本組成單位是粒子。設(shè)一個(gè)N維空間中的第n個(gè)粒子的位置和速度分別為xn（t）=[xn1（t），xn2（t），…，xnD（t）]和vn（t）=[vn1（t），vn2（t），…，vnD（t）]，其中t表示進(jìn)化代數(shù)，D表示解向量的維數(shù)，則由這N個(gè)粒子構(gòu)成的第t代種群為X（t）=[x1（t），x2（t），…，xN（t）]。Pn=[pn1，…，pnd，…，pnD]表示第n個(gè)粒子進(jìn)化到第t代時(shí)經(jīng)歷的最好位置，即有最好的適應(yīng)度值，而種群中所有粒子經(jīng)歷的最好位置為pg=[pg1，…，pgd，…，pgD]。粒子的速度和位置可通過如下公式進(jìn)行更新：

vnd（t+1）=vnd（t）+c1r1（pnd-xnd（t））+c2r2（pgd-xnd（t）） （13）

xnd（t+1）=xnd（t）+vnd（t） （14）

其中，n=1，2，…，N，d=1，2，…，D，c1和c2為加速因子（Acceleration Factor），c1調(diào)節(jié)粒子飛向自身最好位置方向的步長，c2調(diào)節(jié)粒子向全局最好位置飛行的步長。r1和r2為分布于[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)，即ri=rand（·），i=1，2。式（13）中第一部分為粒子的初始速度；第二部分為“認(rèn)知（Cognition）部分”，表示粒子本身的思考；第三部分為“社會(huì)（Social）部分”，表示粒子間的信息共享與合作。

為了防止粒子遠(yuǎn)離搜索空間，粒子的每一維速度都被限制在[-vdmax，vdmax]之間，vkmax太小容易陷入局部優(yōu)化，太大則容易飛離最優(yōu)解，通常根據(jù)優(yōu)化變量搜索空間的邊界選擇速度的邊界，假設(shè)第k維變量的搜索空間為[-xdmax，xdmax]，則vdmax=axdmax，通常a=0.1～0.9。因此在對(duì)速度和位置進(jìn)行更新以后，若速度或位置越界，則對(duì)粒子進(jìn)行越界處理。文獻(xiàn)[11]給出了越界時(shí)的三種方法，包括吸取邊界、發(fā)射邊界和隱形邊界。吸收邊界是指取粒子在這一維的邊界值，反射邊界是保持粒子速度的大小不變，方向取反，而隱形邊界則不評(píng)估其適應(yīng)度，也不參與下一輪的最優(yōu)個(gè)體競(jìng)爭。本文選用的是吸收邊界的方法。

為了更好地開發(fā)PSO算法的探測(cè)能力，Shi等人在公式中引入了慣性權(quán)重w，即線性遞減權(quán)值（linearly decreasing weight，簡稱LDW）策略：

其中wmin=0.4，wmax=0.9，T為最大進(jìn)化代數(shù)。慣性權(quán)重是為了使粒子保持運(yùn)動(dòng)的慣性，使其有擴(kuò)展搜索空間的趨勢(shì)。由式（16）可知，隨著t的增加，w逐漸減小。在進(jìn)化初期，較大的w有利于進(jìn)行全局搜索，避免陷入局部最優(yōu)，隨著進(jìn)化代數(shù)的增加，較小的w則有利于算法的收斂。如果w=0，則粒子速度只取決于它當(dāng)前位置Pbest和Gbest，速度本身沒有記憶。

3 本文算法描述

在很多實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合中，陣列中的陣元數(shù)可能很多，如多功能相控陣?yán)走_(dá)中，陣元數(shù)常常達(dá)到數(shù)千甚至上萬，此時(shí)如果仍然采用陣元級(jí)處理顯然是不可行的，包括硬件的設(shè)備量和實(shí)際的運(yùn)算處理能力都無法承受。針對(duì)這種情況，通常采用子陣合成結(jié)構(gòu)，將若干個(gè)陣元合成為一個(gè)子陣，后接一個(gè)接收機(jī)，從而有效地降低系統(tǒng)成本和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。常用的子陣合成分為三類：無重疊均勻合成、部分重疊均勻合成和非均勻合成?？紤]到測(cè)角模糊及易實(shí)現(xiàn)性，實(shí)際中較常用的為非均勻合成。

現(xiàn)有的很多算法都是從天線方向圖出發(fā)，以其主副比為適應(yīng)度函數(shù)，利用遺傳算法或者PSO等優(yōu)化算法進(jìn)行全局搜索。本文從陣列測(cè)角精度出發(fā)，提出了以子陣合成后估計(jì)角度的CRB為適應(yīng)度函數(shù)，即

其中Re（·）為取實(shí)部，diag（·）為對(duì)角化操作，S（i）=diag[s1（i），…，sp（i）]，，D=[d（β1），…，d（βp）]，σ2表示噪聲功率，可用（M-P）個(gè)小特征值的平均來估計(jì)， d（β）=da（β）/dβ是導(dǎo)向矢量的一階導(dǎo)數(shù)，。

注意到式（18）與信號(hào)的入射角度、信噪比（signal-to-noise ratio， SNR）、快拍數(shù)以及陣列流形都有關(guān)系，圖4給出了理想情況下的CRB（θ）隨這些參數(shù)的變化曲線。

顯然，式（17）的值越小越好，為了使其呈增大趨勢(shì)，且表示簡單，式（17）可改寫為

以下給出算法的基本步驟。

⑴ 初始化：設(shè)定合成的子陣數(shù)N和子陣規(guī)模，即子陣包含陣元數(shù)的范圍[1，Lsmax]，學(xué)習(xí)因子c1和c2，最大進(jìn)化代數(shù)T，種群數(shù)N，粒子起始位置和速度以及速度邊界[-vdmax，vdmax]。隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)粒子，并計(jì)算其適應(yīng)度值，當(dāng)前自身的最優(yōu)值Pbest，從初始種群中找到最優(yōu)的適應(yīng)度值作為全局最優(yōu)值Gbest。

⑵ 更新粒子速度和位置，計(jì)算當(dāng)前粒子的適應(yīng)度值，并與之前的Pbest和Gbest相比較，若更優(yōu)則替換。

⑶ 判斷速度和位置是否越界，若越界進(jìn)行越界處理。

⑷ 判斷是否達(dá)到預(yù)設(shè)的最大進(jìn)化代數(shù)T，是終止迭代，否則跳至⑵。

4 計(jì)算機(jī)仿真

仿真實(shí)驗(yàn)：均勻直線陣，陣元數(shù)為N=128，陣元間距為半波長，合成為8個(gè)子陣，假設(shè)每個(gè)子陣的陣元數(shù)不超過32個(gè)，即陣元數(shù)的變化范圍為1到32之間，且所有子陣的陣元數(shù)之和為128，相當(dāng)于在1到32之間變化的8個(gè)數(shù)的組合為128?？臻g存在兩個(gè)目標(biāo)，信噪比分別為10dB和5dB，入射角度為10?和0.8??？紤]以角度估計(jì)的CRB為適應(yīng)度函數(shù)，采用粒子群算法迭代100次，初始代中的粒子數(shù)為20，尋找最優(yōu)的子陣合成結(jié)構(gòu)。

初始速度v0不能太大，否則更新速度公式中的第一項(xiàng)值較大，使得更新速度的值整體偏大，產(chǎn)生全是為正的值，也就是說所有粒子都呈增大趨勢(shì)，這會(huì)使得總的陣元數(shù)超過固定值。故選取v0=0.1，c1=c2=2。

這里假設(shè)陣元級(jí)直接合成，即加全1的幅度權(quán)。圖5是最優(yōu)粒子的收斂曲線，圖6是子陣合成的MUSIC譜，在零度方向既有深凹口，同時(shí)又有譜峰，這與前面的分析結(jié)果相吻合。圖7為圖6的局部放大圖，從圖7可以看出優(yōu)化得到的子陣能很好地分辨0?～0.8?之間的目標(biāo)。

5 結(jié)束語

針對(duì)實(shí)際中的大型陣列，本文提出了基于PSO算法的子陣合成方法。與現(xiàn)有的大多算法不同，該方法不是以方向圖的主副比為適應(yīng)度函數(shù)，而是角度估計(jì)的CRB，使得優(yōu)化后的子陣具有較好的角度估計(jì)精度。與遺傳算法相比，避免了選擇、交叉和變異等操作，實(shí)現(xiàn)更簡單，收斂速度更快。計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。

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