重視課本習(xí)題的演變

陳永飛

摘要：課本習(xí)題是把知識(shí)、技能、思想和方法聯(lián)系起來的一條紐帶， 重視習(xí)題的演變是提高學(xué)生解題能力、掌握數(shù)學(xué)方法的重要途徑。在教學(xué)中，如果我們善于以課本習(xí)題為根本，以習(xí)題作為思維的生長點(diǎn)，深入挖掘習(xí)題的內(nèi)涵，把課本的習(xí)題加以適當(dāng)變式、多角度尋求不同的解題途徑、全方位地引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生積極去歸納、拓展、延伸。這樣對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展學(xué)生智力都能起到事半功倍的作用。

關(guān)鍵詞：習(xí)題；類比；多角度；延伸

近年來梅州市的中考試題和有關(guān)輔導(dǎo)資料中，出現(xiàn)了一類試題，它們都以課本例習(xí)題為原型，并在此基礎(chǔ)上綜合、變化、拓展。體現(xiàn)了命題源于課本的趨勢，符合中考說明中所提出的命題原則：“以綱為綱、以本為本”。如2012年梅州市中考試題第19題，如圖1，AC是⊙O的直徑，弦交于點(diǎn)D。

（1）求證：△ADE∽△BCE；

（2）如果AD2=AE·AC，求證：CD=CB。

分析：（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠A=∠B。又由對(duì)頂角相等，可證得△ADE∽△BCE。

（2）由AD2=AE·AC可得■=■，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，以求得AC⊥OB，由垂徑定理即可證得CD=CB。該題以三角形和圓為素材，涉及三角形相似的判定和性質(zhì)、圓周角性質(zhì)、垂徑定理等基礎(chǔ)知識(shí)，此題難度不大，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。但本題的得分率不高，究其原因是，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，對(duì)課本習(xí)題不夠重視，本題在教科書中能找到眼熟的影子，它們解答的方式與本題幾乎同出一轍，如果善于歸納總結(jié)，考生完全可以很快找到解題的切入點(diǎn)。

試題原型：（北師大版九年級(jí)下冊(cè)156頁34題）如圖2，A，B，C，D是⊙O的四個(gè)點(diǎn)，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE=2，ED=4，求AB的長。

事實(shí)上，課本上的每一道習(xí)題，都是專家精心編寫而成的，難度適中，具有一定的典型性、示范性和探索性，所蘊(yùn)含的內(nèi)容相當(dāng)豐富。在教學(xué)中，如果我們善于以課本習(xí)題為根本，以習(xí)題作為思維的生長點(diǎn)，深入挖掘習(xí)題的內(nèi)涵，把課本的習(xí)題加以適當(dāng)變式、多角度尋求不同的解題途徑、全方位地引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生積極去歸納、拓展、延伸，這樣對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展智力都能起到事半功倍的作用。下面筆者結(jié)合自己在常規(guī)教學(xué)中的粗淺教學(xué)實(shí)踐、做法與體會(huì)與大家分享、交流與探討，不妥之處，懇請(qǐng)各位專家、同行批評(píng)指正。

一、注重基礎(chǔ)知識(shí)的類比，強(qiáng)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

從學(xué)習(xí)的角度來看，初中學(xué)生正處于體能、智力的發(fā)展階段，他們對(duì)世界感到陌生和好奇，在學(xué)習(xí)新知識(shí)和解決新問題中，不是缺乏已有的知識(shí)，而是缺少把新知識(shí)與舊知識(shí)的恰當(dāng)類比。因此，在教學(xué)過程中，教師要注重基礎(chǔ)知識(shí)的類比，不但要注重知識(shí)表面，更要注重知識(shí)的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，還要注重知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系，把局部的數(shù)學(xué)知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)的整體把握和宏觀認(rèn)識(shí)，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

案例1：（如圖3）在△ABC中，∠A=68°，點(diǎn)I是內(nèi)心，求∠BIC的大?。ū睅煷蟀婢拍昙?jí)下冊(cè)P131第2題）。

分析：點(diǎn)I是內(nèi)心，說明I是△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠ABC與∠ACB的和，即可求∠IBC與∠ICB的和，從而可求∠BIC的大小。

變式1，（如圖4）在△ABC中，∠A=68°，點(diǎn)I是垂心，求∠BIC的大小。

分析：點(diǎn)I是垂心，說明I是△ABC的三條高所在直線的交點(diǎn)。分別延長BI、CI，從而輕松求出∠BIC的大小。

變式2，（如圖5）在△ABC中，∠A=68°，點(diǎn)I是外心，求∠BIC的大小。

分析：點(diǎn)I是外心，說明I是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)。連接AI，可得AI=BI=CI，進(jìn)而求出∠BIC的大小。

通過上述變式，使學(xué)生掌握了內(nèi)心、垂心、外心的定義和性質(zhì)，同時(shí)又掌握了三者的區(qū)別和聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

案例2：做一做：任意作一個(gè)四邊形，并將其各邊中點(diǎn)依次連接起來，所得的四邊形的形狀有什么特征？（北師大版九年級(jí)上冊(cè)P91做一做）

變式1，求證：順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。

變式2，求證：順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。

變式3，求證：順次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。

變式4，順次連結(jié)什么四邊形中點(diǎn)可以得到矩形？

變式5，順次連結(jié)什么四邊形中點(diǎn)可以得到菱形？

通過這樣一系列變式訓(xùn)練，使學(xué)生充分掌握了四邊形這一章節(jié)所有基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念，強(qiáng)化常見特殊四邊形的性質(zhì)定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大地活躍學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

二、注重多角度分析，優(yōu)化解題思路

在教學(xué)過程中，通過對(duì)課本習(xí)題的多角度觀察、分析、聯(lián)想獲得多種解題途徑，能夠拓寬學(xué)生的思路，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奧妙與情趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，優(yōu)化解題思路。

案例3：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)（上）習(xí)題3.4第2題）

已知：如圖6，在△ABC中，AD=BD=CD。

求證：△ABC是直角三角形。

證法1：如圖6，利用兩銳角互余。

∵AD=CD，CD=BD，

∴∠1=∠A，∠2=∠B。

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，

∴2（∠A+∠B）=180°，

∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形。

證法2：如圖7，利用等腰三角形的三線合一。

延長AC到E使CE=AC，連接BE。

∵AD=BD，

∴CD是△ABE的中位線，

∴CD=■BE，

∵CD=■AB，

∴AB=BE，BC⊥AC，

∴△ABC是直角三角形。

證法3：如圖8，利用此三角形與某個(gè)直角三角形相似（或全等）。過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E。

∴CD=BD，

∴BE=■BC，

∴■=■=■，

∵∠B是公共角，

∴△BDE∽△BAC，

∴∠ACB=∠DEB=90°，

∴△ABC是直角三角形。

通過一題多解，不僅能拓寬學(xué)生的思維領(lǐng)域，增加學(xué)生的思維空間，同時(shí)經(jīng)過歸納、總結(jié)、聯(lián)想，可揭示一些規(guī)律性的東西，達(dá)到增長學(xué)生智力的目的。這樣的教學(xué)不僅提高了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)展了學(xué)生的求異思維。

三、注重知識(shí)與技能的拓展與延伸，提升解題能力

在教學(xué)過程中，可以由一個(gè)基本問題出發(fā)，著意設(shè)計(jì)階梯式的問題，同中求異，引導(dǎo)學(xué)生的思維縱深拓展，使學(xué)生學(xué)起來不覺得乏味也有新鮮感，運(yùn)用類比、特殊到一般的思維方法，探索問題的發(fā)展變化，使他們懂得怎樣從事物的千變?nèi)f化的復(fù)雜現(xiàn)象中去抓住本質(zhì)，觸類旁通，從而培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性，活躍和開闊學(xué)生的解題思路，提升解題能力。

案例4：如圖9，在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上，設(shè)矩形ABCD的一邊AB=xm，面積為ym2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？（北師大版九年級(jí)下冊(cè)P67）

分析：要求矩形面積，可求BC長度，而BC的長度可用三角形相似求出并用x的代數(shù)式表示為（40-x），所以矩形面積y= （40-x）x，利用二次函數(shù)的知識(shí)可求出當(dāng)x=20m時(shí)，y有最大值為300m2。

拓展1，在上一個(gè)問題中，如果把矩形改為（如圖10）所示的位置，其它條件不變，那么矩形的最大面積是多少？

拓展2，如圖11，AD是ΔABC的高，BC=60m，AD=40m，點(diǎn)E、F是BC邊上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，四邊形MEFN是矩形。設(shè)矩形MEFN的一邊EF=xm，面積為ym2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

通過上列拓展，可使學(xué)生掌握相似三角形和二次函數(shù)的知識(shí)，同時(shí)運(yùn)用類比、特殊到一般的思維，異中求同，最終總結(jié)出當(dāng)矩形的一邊為三角形的中位線時(shí)，矩形的面積達(dá)到最大。

總之，我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)及總復(fù)習(xí)，一定要合理“回歸”課本，不能過分依賴或?yàn)E用復(fù)習(xí)資料，應(yīng)優(yōu)先考慮利用課本中素材、例題、習(xí)題，進(jìn)行適當(dāng)拓展、演變、延伸與歸類整理，使其源于課本，又高于課本，從而減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生智力，對(duì)提升學(xué)生分析和解決問題的能力有著重要的作用。

【責(zé)編 田彩霞】