初中幾何常見的分類討論

朱曉艷

分類討論是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略。在歷屆中考中，都不乏有幾何分類討論的題目出現(xiàn)。一進(jìn)入幾何圖形解答，就可能受圖形的局限而漏解?，F(xiàn)就幾何圖形分類討論的入手方法作一探討：

1.找出定點確定分類

此類問題，一般由題可知動點是在直線或射線上運動的。此時分類可先在直線或射線上尋找定點，根據(jù)動點與定點的位置關(guān)系進(jìn)行分類。

例1.如圖，直線AB經(jīng)過⊙O的圓心，與⊙O相交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC=30°，點E是直線AB上的一個動點（與點O不重合），直線EC交⊙O于點D，則使DE=DO的點E共有幾個？并求出相應(yīng)的∠OED的度數(shù)。

此題中動點E所在直線的定點有點A、O、B，由此可根據(jù)點E與點A、O、B之間的位置關(guān)系作出四種分類：點E在點A的右邊；點E在點A、O之間；點E在點O、B之間；點E在點B的左邊。

2.找出線段等量關(guān)系確定分類

此類問題，一般由題可知線段之間的等量關(guān)系，如等腰三角形兩腰相等、直角三角形勾股定理（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）或是題目中直接給出等量關(guān)系。

例2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為6，點A的坐標(biāo)為（-3，0），⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過點C作⊙A的切線BC交x軸于B。問：在x軸上是否存在點P，使△PBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

此題中，明確給出提示需要分類的條件是：“△PBC為等腰三角形”，同時題目中卻未明確兩腰。因此，可根據(jù)腰的不同得到三種分類：1.PB=PC；2.PB=BC；3.PC=BC。

若要利用直角三角形勾股定理，題目一般會只交代直角三角形，而不明確直角。此時，可根據(jù)斜邊的不同而分三種情況予以討論。

3.找出角的等量關(guān)系確定分類

此類問題，最多見于有關(guān)三角形相似的題目中。其依據(jù)是三角形相似性質(zhì)定理（兩三角形相似，對應(yīng)角相等。）。

例3.如圖，已知拋物線過點A（0，6），B（2，0），C（7， ）。若D是拋物線的頂點，E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點，F(xiàn)與E關(guān)于D對稱。在y軸上是否存在這樣的點P，使△AEP與△FDC相似，若沒有，請說明理由。

此題中，給出需要分類討論提示的語句是：“在y軸上是否存在這樣的點P，使△AEP與△FDC相似”。這句話沒有明確三角形相似的對應(yīng)角。因此，依據(jù)不同的對應(yīng)角予以分類。由條件可知∠CFD=∠AFP，因此，只需分兩類討論：1.∠FCD=∠FAP；2.∠FCD=∠FPA。

當(dāng)然，在這道題中，由于多了條件“∠CFD=∠AFP”，所以分類情況比較簡單。若沒有這一條件，一般可有六種分類。

4.根據(jù)圖形本身特點確定分類。

此類題目經(jīng)常出現(xiàn)的字眼是“……使A、B、C、D等4個點構(gòu)成的四邊形為……四邊形”。由于題目中出現(xiàn)的4個點不是按順序排列的，因此由這4個點構(gòu)成的四邊形可以是四邊形ABCD、四邊形ABDC、四邊形ACBD、四邊形ACDB、四邊形ADBC、四邊形ADCB。分類情況相當(dāng)復(fù)雜。如果按照字母順序逐一羅列，圖形不易呈現(xiàn)。那么如何進(jìn)行分類才能保證不漏解，同時圖形又很容易得到？

例4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1），點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)。

此題中要求得到的四邊形是平行四邊形，已知的點有兩個，我們將已知的線段AB按照邊或?qū)蔷€兩種情況進(jìn)行分類。當(dāng)AB為邊時，根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，可以求得兩解；當(dāng)AB為對角線時，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，也可以求出一解。這種分類方式顯然要比按照字母順序進(jìn)行分類要簡潔很多。如果要求得到的四邊形是其他特殊四邊形時，也同樣可以根據(jù)特殊四邊形本身所具有的圖形特征進(jìn)行分類。

5.找出圖形間不同位置確定分類。

這一類型的分類，較常見于圓的內(nèi)容中。例如，圓與點的位置關(guān)系、圓與直線的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系以及“相交兩圓連心線垂直平分公共弦”定理運用中相交兩圓圓心位于公共弦的同側(cè)與異側(cè)。解題時，可依據(jù)不同的位置關(guān)系予以分類討論。

例5.已知在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5。如圖，把BA、BC看作射線，如有半徑為r的⊙Q保持與BA、BC相切，試討論當(dāng)⊙Q與AC處于不同的位置關(guān)系時r的取值范圍分別是什么？

根據(jù)題目中出現(xiàn)關(guān)鍵語“⊙Q與AC處于不同的位置關(guān)系”，可知依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行解題。但又要考慮到圓心Q位置的不確定性，所以需要分四類討論：⊙Q與AC相離（⊙Q在AC的左邊）；⊙Q與AC相切（⊙Q在AC的左邊）；⊙Q與AC相交；⊙Q與AC相離（⊙Q在AC的右邊）；⊙Q與AC相切（⊙Q在AC的右邊）。

綜上可知，對于分類討論題，首先應(yīng)認(rèn)真審查題目的特點，考慮分類的方向和分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到既不重復(fù)又不遺漏，逐步熟練和掌握分類討論。