初中幾何證明應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生練好三項(xiàng)基本功

張建剛

摘 要： 幾何證明是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中重要的組成部分。通過幾何證明的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的判斷和推理能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。作者認(rèn)為在初中幾何證明教學(xué)中除了要讓學(xué)生熟練掌握一些基本證明方法外，還應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生練好三項(xiàng)基本功：一是加強(qiáng)對概念和定理的理解，二是發(fā)展幾何觀念和培養(yǎng)幾何直觀，三是開闊視野、積累經(jīng)驗(yàn)。通過這三項(xiàng)基本功的訓(xùn)練為學(xué)生做幾何證明夯實(shí)基礎(chǔ)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明不再困難，不斷體驗(yàn)成功，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 幾何證明 三項(xiàng)基本功

幾何證明是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中重要的組成部分。通過幾何證明的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的判斷和推理能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。然而在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中存在如下問題：題與圖之間難以對應(yīng)起來、不會用符號語言描述因果關(guān)系和證明過程、證明時(shí)候思維混亂無從下手、不會作輔助線等。針對這些問題，我認(rèn)為在初中幾何證明教學(xué)中除了要讓學(xué)生熟練掌握一些基本證明方法，還應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生練好以下三項(xiàng)基本功。

一、深刻理解相關(guān)概念和定理

教學(xué)中我們不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷概念、定理的形成過程，更要在促進(jìn)學(xué)生深入理解這些概念和定理上下工夫。在幾何證明中這些概念、基本事實(shí)和相關(guān)定理是學(xué)生進(jìn)行幾何證明時(shí)的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，只有對其有深刻理解，才能有效提高學(xué)生幾何證明的能力。我在平時(shí)教學(xué)中要求學(xué)生對概念、定理的掌握要做到“會說、會畫、會寫”。

會說就是要能夠用語言準(zhǔn)確地描述定理的內(nèi)容；會畫就是要能夠畫出其基本圖形；會寫就是能夠結(jié)合基本圖形用數(shù)學(xué)符號語言對定理進(jìn)行描述。

例如：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對等角）。應(yīng)該能夠畫出如下圖形并用數(shù)學(xué)符號語言描述。

基本圖形：

符號語言：如圖，在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C。

這樣可以在深刻理解定理的基礎(chǔ)上提高學(xué)生識圖與畫圖的能力，培養(yǎng)學(xué)生對符號語言的理解和運(yùn)用能力，為學(xué)生進(jìn)行幾何證明打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。使學(xué)生在幾何證明時(shí)，做到既能識別表示各個(gè)概念的簡單圖形，又能在復(fù)雜的圖形中識別出表示某個(gè)概念的那部分圖形，并能夠熟練運(yùn)用符號語言進(jìn)行說理論證。

二、發(fā)展空間觀念與培養(yǎng)幾何直觀

《新課標(biāo)》指出：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征，抽象出的幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描寫實(shí)物，想象出實(shí)物的方位和它們的相互位置關(guān)系，描述圖形的運(yùn)動和變化，根據(jù)語言的描述，畫出圖形，等等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮重要的作用。

顯然發(fā)展空間觀念與培養(yǎng)幾何直觀對學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，特別是學(xué)好幾何證明起到至關(guān)重要的作用。關(guān)于空間觀念是實(shí)物和圖形之間的關(guān)系，一方面是通過實(shí)物，根據(jù)實(shí)物來抽象出幾何圖形。另一方面是根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，其中一個(gè)是抽象，一個(gè)是想象。

希爾伯特在他寫的《直觀幾何》序言里頭寫了這樣三層維度。第一層意思，圖形可以幫助刻畫和描述問題。一旦用圖形把一個(gè)問題描述清楚，就有可能使這個(gè)問題變得直觀、簡單。第二個(gè)層意思，圖形可以幫助發(fā)現(xiàn)、尋找解決問題的思路。第三層意思，圖形可以幫助表述結(jié)果，可以幫助記憶結(jié)果。

為了幫助學(xué)生建立幾何直觀，在教學(xué)過程中我著重訓(xùn)練學(xué)生聯(lián)想和猜想的能力。聯(lián)想是指在證明過程中看到題目中的相關(guān)條件、問題或圖形，要能夠及時(shí)從記憶里提取出相關(guān)定理及蘊(yùn)含其中的因果關(guān)系。比如，題目中提到角平分線就要能夠立刻想起角平分線的定義和角平分線的兩個(gè)定理；看到圖中有角平分線上的點(diǎn)就想到作這一點(diǎn)到角兩邊的垂線段；如果求證兩個(gè)角度數(shù)相等，就要想到“同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等”“對頂角相等”“全等三角形的對應(yīng)角相等”等定理；看到圖中有直角三角形就要想到“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，等等。

猜想不是胡思亂想和任意拼搏，它也是一種科學(xué)思維活動。就是依據(jù)題目提供的條件與圖形結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)按邏輯推理的規(guī)律而進(jìn)行的思維活動。猜想的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的，這就需要我們?nèi)ヲ?yàn)證、去偽存真。雖然錯(cuò)誤的猜想會讓我們在證明過程中誤入歧途，但是它會給我們的證明提供更多的思路，積累更多的經(jīng)驗(yàn)。

在教學(xué)過程中，我的具體做法如下：一是加強(qiáng)示范，在講解例題時(shí)，把自己的想法和分析問題的思路給學(xué)生厘清；二是加強(qiáng)針對性訓(xùn)練，經(jīng)常找一些針對性強(qiáng)的題目讓學(xué)生去思考、交流、探討，幫助他們體驗(yàn)成功，激發(fā)興趣。

我們要加強(qiáng)在此方面的引導(dǎo)和訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會正確地聯(lián)想和合理地猜想。通過訓(xùn)練讓學(xué)生把數(shù)與形、題與圖有機(jī)結(jié)合起來，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，為學(xué)生學(xué)好幾何證明打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、開闊視野，積累經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在幾何證明中感到困難的原因很多，主要是由于缺乏經(jīng)驗(yàn)，證題經(jīng)驗(yàn)不足、模式不多，因此對于新的題目常感到不知所措。對于經(jīng)驗(yàn)的積累，我認(rèn)為主要包括證明思路和證明技巧兩個(gè)方面。

幾何證明最難莫過于沒有思路。怎樣積累證明思路呢？這主要靠聽講，看書時(shí)積極思考，不僅弄明白“如何證明”，還要進(jìn)一步追究“證明題方法是如何想出來的”。只有經(jīng)常這樣獨(dú)立思考，才會使自己的思路開闊。隨著證明題難度的增加，還要教會學(xué)生用“兩頭湊”的方法，即在同一個(gè)證明題的分析過程中，分析法與綜合法并用，縮短已知與未知之間的距離，在教學(xué)安排時(shí)，要給學(xué)生足夠的時(shí)間思考，而且重復(fù)證明思路，提高學(xué)生對解題思路的理解和應(yīng)用能力。

關(guān)于證明技巧，其實(shí)就是指如何選用合適的定理，如何作輔助線，如何應(yīng)對運(yùn)動變換類型的證明題。其中，輔助線的作法是許多學(xué)生在幾何證明過程中存在的最大困難。

實(shí)踐出真知，理論問題從實(shí)踐中提煉的，方法與巧技也是從經(jīng)驗(yàn)中獲得的。俗話說“熟能生巧”，什么是“熟”？“熟”就是經(jīng)驗(yàn)。不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，探索解題規(guī)律，可以充實(shí)和豐富解題的經(jīng)驗(yàn)。

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我要求學(xué)生不僅要多練習(xí)還要做個(gè)有心人，把一些典型題目的解題方法和思路記錄下來，特別是“一圖多用”“一題多變”“一題多解”等類型的題目要認(rèn)真鉆研、體會，熟記于心。這樣通過長期積累可以有效地提高學(xué)生的證題效率，使其掌握更多的證題技巧并形成自己的經(jīng)驗(yàn)。這些經(jīng)驗(yàn)和技巧會存放于我們的頭腦里，這樣在進(jìn)行幾何證明時(shí)就能做到胸有成竹，觸類旁通。

為了促進(jìn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的積累，我們要做好兩方面的工作：一是精選題型，我常常就一類型的題目查找大量的中考試卷和各種資料，然后匯編成練習(xí)題讓學(xué)生練習(xí)；二是加強(qiáng)檢查與考查，定期檢查學(xué)生的筆記，并在單元檢測中或是月考中考查學(xué)生掌握的程度。

總之，我們不能總是抱怨學(xué)生的錯(cuò)誤，現(xiàn)在他們感到有困難，大多是因?yàn)閯倓偨佑|這些內(nèi)容，還沒有具備相關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)或者還沒有習(xí)慣這種說理的方式。只要我們善于引導(dǎo)，勤于訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生勤于思考，善于總結(jié)，學(xué)生就一定能學(xué)好幾何證明。