處理解析幾何“長(zhǎng)度問(wèn)題”的五大視角

呂珊娟 金富軍

近幾年解析幾何中的“長(zhǎng)度問(wèn)題”已成為高考與競(jìng)賽試卷命題的熱點(diǎn).此類問(wèn)題有綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大、思想方法多、思維能力要求高等特點(diǎn).對(duì)這類問(wèn)題，只要采取恰當(dāng)?shù)囊暯?，就可以快速、有效地找到解題途徑.本文從五個(gè)角度介紹破解策略，供讀者參考，希望能給讀者一點(diǎn)啟發(fā).

一、公式視角

運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求長(zhǎng)度是最常用也是最有效的方法，它是解析幾何處理“長(zhǎng)度”問(wèn)題的通法.運(yùn)用此法，解題思路自然、流暢，缺點(diǎn)是“變形”要求略高，運(yùn)算量偏大.

【例1】（2010年山東理21）如圖，已知橢圓■+■=1（a>b>0），離心率為■，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（■+1），等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，求證：k1、k2=1；Ⅲ）是否有正實(shí)數(shù)λ，使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，說(shuō)明理由.

解：Ⅰ）橢圓方程■+■=1，雙曲線方程x2-y2=4.

Ⅱ）略.

Ⅲ）設(shè)PF1所在直線方程為：y=k1（x+2），設(shè)A（x2，y2），B（x2，y2）.

由y=k1（x+2）■+■=1消去y得（1+2k12）x2+8k21x+8k21-8=0由韋達(dá)定理得x1+x2=■，x1x2■結(jié)合k1k2=1得|AB|=■|x1-x2|=■.同理可得|CD|=■所以|AB|+|CD|=■.|AB|+|CD|=■因?yàn)閨AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立，所以12■=32λ，即λ=■.

二、坐標(biāo)視角

所謂坐標(biāo)化，就是通過(guò)坐標(biāo)將“長(zhǎng)度”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)來(lái)處理的一種解題方法，其本質(zhì)是幾何問(wèn)題代數(shù)化.通過(guò)建立坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系），利用長(zhǎng)度與直角坐標(biāo)、長(zhǎng)度與極徑的內(nèi)在聯(lián)系使難于處理的某些長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)——即數(shù)的運(yùn)算來(lái)解決，我們熟知的“化斜為直”就是坐標(biāo)化運(yùn)用的典型例子。

【例2】（2012年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽19題）設(shè)P為橢圓■+■=1長(zhǎng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)斜率為k的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|PA|2+|PB|2的值僅依賴于K而與P無(wú)關(guān)，求的值。

解：設(shè)P（m，0），則過(guò)P點(diǎn)斜率為k的直線方程為y=k（x-m），其傾斜角為α，易知k≠0，設(shè)A（x1，x2）.B（x2.y2）故|PA|2+|PB|2=■+■=■（y21+y22）

由y=k（x-m）■+■=1消去x并整理得（16+25k2）y2+32mky+16m2k2-400k2=0

由韋達(dá)定理得y1+y2=■，y1y2=■所以

■（y21+y22）=■[（y1+y2）2-2y1y2]

=■

因?yàn)閨PA|2+|PB|2的值僅依賴于k而與P無(wú)關(guān)，所以16-25k2=0，從而k=±■

三、參數(shù)視角

直線的參數(shù)方程中的參數(shù)有明顯的幾何意義，它與長(zhǎng)度問(wèn)題密切相關(guān)，受此啟發(fā)，求長(zhǎng)度之比、面積之比、證明有關(guān)長(zhǎng)度的恒等式（或不等式）及求長(zhǎng)度范圍、最值等問(wèn)題，?？赏ㄟ^(guò)合理?yè)Q元、適當(dāng)引參，運(yùn)用參數(shù)的幾何意義來(lái)破解，以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速求解的目的.

【例3】直線l過(guò)點(diǎn)m（2，1），且與x軸、y軸的正方向分別交于A、B兩點(diǎn)，求使|MA|·|MB|最小時(shí)直線l的方程。

解：直線l的參數(shù)方程為x=2+tcosθy=1+tsinθ其中t為參數(shù)，θ為傾斜角，且θ∈（■，π）設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則由yA=0yB=0可得t1=-■，t2=-■

所以|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=|-■|·|-■|=|-■|所以，當(dāng)sin2θ=-1即θ=■時(shí)，|MA|·|MB|有最小值4，此時(shí)直線l的方程為x=2-■ty=1+■t即x+y-3=0

四、比例視角

圓錐曲線的定義及平面幾何和向量的許多定理、性質(zhì)（如角平分線定理、合分比定理、三角形的相似比、向量共線定理等）均與長(zhǎng)度有關(guān).對(duì)于長(zhǎng)度之比這類問(wèn)題，解題時(shí)要抓住幾何圖形的性質(zhì)特征，運(yùn)用幾何模型，挖掘存在的比例關(guān)系便于找到解題的突破口.

【例4】（2008年江西理15）過(guò)拋物線x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（A在y軸左側(cè)），則■= 。

解：設(shè)l為拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)A、B分別作AM⊥l于N，過(guò)A作AC⊥BN于C，設(shè)|AF|=x，|BF|=y，|AB|=|AF|+|BF|=X+Y.①由拋物線的定義得|AM|=|AF|=x，|BN|=|BF|=y，所以|BC|=|BN|-|AM|=y-x ②而由已知條件知直線AB的傾斜角為30°，所以∠BAC=30°，于是在Rt△ACB中有|AB|=2|BC|，將①、②式代入得x+y=2（y-x），即3x=y，所以■=■=■.

五、向量視角

向量具有數(shù)與形的雙重特點(diǎn)，既是數(shù)與形聯(lián)系的橋梁，也是求角與長(zhǎng)度問(wèn)題的重要工具，它常與三角函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容結(jié)合在一起，已越來(lái)越受到命題老師的青睞.解析幾何的“長(zhǎng)度問(wèn)題”如果能與向量結(jié)合，利用向量知識(shí)與方法可將長(zhǎng)度問(wèn)題向量化，就能收到事半功倍的解題效果。

例題：（略）。

（作者單位：浙江省寧海中學(xué)）