橢圓的簡單幾何性質(zhì)

唐毓國

摘 要：本教案的設(shè)計(jì)遵循啟發(fā)式的教學(xué)原則，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：橢圓；幾何性質(zhì)；教學(xué)案例

一、教學(xué)目標(biāo)

通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，并能正確作出圖形；培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)；通過數(shù)與形的辯證統(tǒng)一，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育，通過對(duì)橢圓對(duì)稱美的感受，激發(fā)學(xué)生對(duì)美好事物的追求。

二、教材分析及處理與學(xué)情分析及對(duì)策

本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)。按照學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在教學(xué)中適當(dāng)對(duì)教材中原有安排順序做了一些變動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從觀察課前布置的預(yù)習(xí)所作的圖形入手，從分析對(duì)稱開始，循序漸進(jìn)地進(jìn)行探究。對(duì)于學(xué)生來說，利用曲線方程研究曲線性質(zhì)這是第一次接觸，因此教學(xué)中教師要注意對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)和及時(shí)的點(diǎn)撥。

重點(diǎn)：橢圓的簡單幾何性質(zhì)及其探究過程。

難點(diǎn)：利用雙曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率定義的給出過程。

德育點(diǎn)：在研究性質(zhì)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，敢于發(fā)表個(gè)人見解，培養(yǎng)學(xué)生喜歡探究的情感和態(tài)度。通過對(duì)橢圓對(duì)稱性的體驗(yàn)，使學(xué)生得到美的感受。

創(chuàng)新點(diǎn)：一是教學(xué)中不拘泥于教材，改變教材的安排，有利于學(xué)生進(jìn)行探究。在范圍這一性質(zhì)的教學(xué)中，鼓勵(lì)用多種方法推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。二是在反饋訓(xùn)練中，讓學(xué)生自己編擬方程并研究其性質(zhì)。三是留研究性作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索。

空白點(diǎn)：一是研究性質(zhì)過程中多處留白，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想并根據(jù)方程給予論證。二是反思性小結(jié)中設(shè)計(jì)表格留空白，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、猜測、論證，組織討論，合作交流，啟發(fā)學(xué)生積極思維，不斷探索后匯報(bào)研究成果，得到結(jié)論后總結(jié)，及時(shí)進(jìn)行反饋應(yīng)用和反思式總結(jié)。

四、教具的選擇和使用目的

多媒體課件及實(shí)物展臺(tái)，通過動(dòng)畫演示化解知識(shí)難點(diǎn)，運(yùn)用實(shí)物展臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)代教育技術(shù)既作為教的工具，也作為學(xué)的工具。

五、教學(xué)過程

1.教師創(chuàng)設(shè)情境、引導(dǎo)目標(biāo)與內(nèi)容，學(xué)生探索、研究、合作、體驗(yàn)

（1）對(duì)稱性

教師：（大屏幕展示所示的圖形）請(qǐng)同學(xué)們觀察這個(gè)圖形在x軸的上方、下方，y軸的左側(cè)、右側(cè)有怎樣的關(guān)系呢？

（有對(duì)稱性，關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱。）

教師：正確。那么一般的橢圓■+■=1是否也具有這種對(duì)稱性，你能根據(jù)方程得到結(jié)論嗎？

展示對(duì)稱過程后總結(jié)：■+■=1所表示的橢圓，坐標(biāo)軸是其對(duì)稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)是其對(duì)稱中心，對(duì)稱中心也叫橢圓的中心，橢圓是有心曲線。做人應(yīng)向橢圓學(xué)習(xí)，做一個(gè)有心之人。

（2）頂點(diǎn)

教師：（大屏幕展示方程■+■=1所表示的圖形）請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察這個(gè)橢圓與坐標(biāo)軸有幾個(gè)交點(diǎn)呢？（與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn)。）

教師：一般的橢圓■+■=1與坐標(biāo)軸有幾個(gè)交點(diǎn)呢？

（同樣是四個(gè)。）

教師：你能根據(jù)方程求得四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

及時(shí)總結(jié)并給出頂點(diǎn)的定義（強(qiáng)調(diào)是與對(duì)稱軸的交點(diǎn)A1，A2，B1，B2）。結(jié)合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長半軸長、短半軸長，點(diǎn)明方程中a、b的幾何意義。

教師：（根據(jù)課件中的圖）如果過A1、A2、分別作y軸的平行線，過B1、B2分別作x軸的平行線，則這四條直線將構(gòu)成的是什么圖形？

（一個(gè)矩形。）

教師：橢圓與矩形的位置關(guān)系如何？（橢圓在矩形的內(nèi)部。）

教師：正確，這說明了什么？

教師：指出橢圓是有范圍的，根據(jù)前面求得的A1，A2，B1，B2的坐標(biāo)，你能說出x、y的范圍嗎？（-a≤x≤a，-b≤y≤b）

教師：完全正確。那么你能根據(jù)方程■+■=1研究x、y的取值范圍嗎？請(qǐng)同學(xué)們想一想，并互相討論討論。（此處既是空白點(diǎn)，又是創(chuàng)新點(diǎn)，學(xué)生能夠動(dòng)腦思考，動(dòng)手實(shí)踐，親身體驗(yàn)，積極地投入到“創(chuàng)新性研究”中，把數(shù)學(xué)的重點(diǎn)放在了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，而不是獲得一個(gè)簡單的結(jié)果。）

（3）范圍

引導(dǎo)學(xué)生用多種方法探究，匯報(bào)研究成果并用實(shí)物投影展示或到黑板板書。（由■+■=1利用兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識(shí)得x2≤a2且0≤b2，則有-a≤x≤a，-b≤y≤b。）

教師：很好，誰還有不同意見？（利用三角函數(shù)，令 ■=cosθ，■=sin，θ∈R。由弦函數(shù)有界可得范圍。）

教師：這個(gè)想法也不錯(cuò)，誰還有不同見解？

（從■+■=1中解出x2=a2（1-■），利用x2≥0可得y的取值范圍，同樣可得x的取值范圍。）

教師：這種想法也不錯(cuò)，誰還有不同見解？

（教師及時(shí)點(diǎn)撥，前面我們學(xué)習(xí)過函數(shù)的定義域、值域，這對(duì)你研究橢圓的范圍有何啟示呢？）

教師：哪位同學(xué)研究出來了，或哪個(gè)小組研究出來了？請(qǐng)到前面給大家講一講。（由■+■=1，則y=±■■，可通過求這個(gè)函數(shù)的定義域、值域得出范圍。）

教師：y=±■■是函數(shù)嗎？（不是）

教師：怎么處理呢？

（把y=■■和y=-■■分別看作是一個(gè)函數(shù)。）

教師：往下怎么研究呢？

（先求函數(shù)y=■■的定義域、值域。利用前面學(xué)習(xí)過的代數(shù)函數(shù)求定義域、值域的方法，可得-a≤x≤a，0≤y≤b，同樣得y=■■中-a≤x≤a，-b≤y≤0，于是得到范圍。）

教師：前面我們研究了橢圓的對(duì)稱性，誰能簡化剛才的推導(dǎo)過程呢？

（只需求y=■■（0≤x≤a）的定義域、值域即可，然后利用對(duì)稱性可得范圍。）

教師：通過前面的探討，我們知道橢圓是有范圍的，即它圍在一個(gè)矩形框內(nèi)。有了前面這幾個(gè)性質(zhì)，我們就可以很快地作出焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的草圖了。（先找到標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，畫出矩形框，光滑曲線連接，并注意對(duì)稱性。）

教師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這種作圖方法，在同一坐標(biāo)系下畫出方程■+■=1和■+■=1所示的橢圓，并思考這兩個(gè)橢圓的形狀有何不同？（一個(gè)扁一些，一個(gè)圓一些。）

教師：圓扁與什么有關(guān)系？（提示學(xué)生注意兩個(gè)方程）（與b有關(guān)系。）

教師：是這樣嗎？（在a不變的情況下與b有關(guān)系，b大則圓，b小則扁，因此與a、b有關(guān)系。）

教師：在給出橢圓的定義中，大家還記得嗎？影響橢圓形狀的最關(guān)鍵的要素是什么？

教師：下面我們就一起看一下在a不變的情況下，隨b的變化c是如何變化的（動(dòng)畫演示），從而引出離心率。

（4）離心率

教師在動(dòng)畫演示過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)a不變，b大則c小，橢圓較圓，b小則c大，橢圓較扁，特別當(dāng)a=b時(shí)，c=0橢圓為圓。教師指出：當(dāng)a不變，b大則c小，此時(shí)■也變小，學(xué)生通過觀察指出此時(shí)橢圓較圓，反之較扁，c=0時(shí)變成了圓。及時(shí)總結(jié)并給出離心率的定義、符號(hào)和范圍及特例。（強(qiáng)調(diào)離心率是焦距與長軸長之比，與坐標(biāo)系選取無關(guān)，并引導(dǎo)學(xué)生分析出：固定a、b、c中任何一個(gè)量，改變另外兩個(gè)量可得到同樣的結(jié)論，即e大則扁，e小則圓，特別e=0時(shí)為圓。）

因此離心率是一個(gè)刻畫橢圓圓扁程度的量。（此處是難點(diǎn)，教學(xué)中借助動(dòng)畫演示，結(jié)合教師啟發(fā)引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解離心率的定義及離心率對(duì)橢圓形狀的影響。）

2.鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用

（1）請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的幾何性質(zhì)。（此題把主要權(quán)交給學(xué)生，提高學(xué)生的參與意識(shí)。）

（2）利用本節(jié)所學(xué)的知識(shí)，說出橢圓■+■=1的簡單幾何性質(zhì)。

（3）橢圓x2+ky2=k（k>0）的長軸是短軸的2倍，則k= 。

（4）如果一個(gè)橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，求橢圓的離心率。

3.反思與小結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、思想方法和研究問題方法三個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)。）

教師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？體驗(yàn)到了什么？掌握了什么？

學(xué)生討論、反思。

（1）知識(shí)總結(jié)。教師設(shè)計(jì)關(guān)于性質(zhì)的表格，學(xué)生填表，并總結(jié)：記住這些性質(zhì)的關(guān)鍵是抓住兩條線（對(duì)稱軸），一個(gè)框（范圍），七個(gè)點(diǎn)（一個(gè)中心、兩個(gè)焦點(diǎn)、四個(gè)頂點(diǎn)）和用e刻畫圓扁。思想方法總結(jié)：本節(jié)課主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想和類比化歸的思想研究性質(zhì)的，平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。

（2）掌握利用曲線方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，即通過研究曲線的對(duì)稱性、頂點(diǎn)、范圍、離心率等，這樣就可以從整體上把握曲線了。

4.研究性作業(yè)

在預(yù)習(xí)教材中的例4的基礎(chǔ)上，證明：若F1、F2分別是橢圓 ■+■=1的左、右焦點(diǎn)，則橢圓上任一點(diǎn)P（x0，y0）到焦點(diǎn)的距離（焦半徑）|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，同時(shí)思考當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，結(jié)論如何？（此題意圖是引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)一步探究，為進(jìn)一步研究橢圓的性質(zhì)做準(zhǔn)備。）