等差數(shù)列前n項和公式的兩個突顯

韓興元

[摘 要]：本文從在思想方法的角度給出了等差數(shù)列前n項和兩個公式的側(cè)重點。

[關(guān)鍵詞]：等差數(shù)列 思想 前n項和公式

一 突顯函數(shù)方程思想

1） 方程思想：

所謂方程思想就是將題目條件運用前n項和公式，表示成關(guān)于首項a1和公差d的兩個方程，通過解決方程來解決問題。

例1 已知{an}為等差數(shù)列，前10項的和S10=100，前100項的和S100=10，求前110項的和S110.

剖析：方程的思想，將題目條件運用前n項和公式，表示成關(guān)于首項a1和公差d的兩個方程.

解析：設(shè){an}的首項為a1，公差為d，則

解得 ∴S110=110a1+ ×110×109d=-110.

拓展：觀察結(jié)構(gòu)特點公式做如下變形： ，在處理問題是會更方便。

例2 如果等差數(shù)列 的前4項和是2，前9項和是 ，求其前n項和公式。

解：由變形公式得：

將 代入 得：

2） 側(cè)重于函數(shù)思想

將 ，當(dāng) ，數(shù)列 為常數(shù)列；當(dāng) ，則 是關(guān)于n的二次函數(shù)，若令 則 。此時可利用二次函數(shù)的知識解決。

例題3 設(shè)等差數(shù)列滿足 ，且 ，則 的前多少項的和最大？

解析：思路一：由3 a8=5a13得：d= a1，若前n項和最大，則 ，

又a1>0得： ，∴n=20，即 的前20項和最大。這一做法為通法。

思路二：

，當(dāng)且僅當(dāng) 時 最大。

點評：這一做法突顯了數(shù)列的函數(shù)特征。

思路三：

由 得

，又∵ ，

∴ 的圖象是開口向下的拋物線上的點列，對稱軸恰為 ，故 時Sn最大。

點評：這一做法中幾乎沒有運算，抓住了題目條件，結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性做處理，顯得十分巧妙。

二 突顯等差數(shù)列性質(zhì)

1） 側(cè)重于性質(zhì)：若 則 。

有些涉及等差數(shù)列前 項和的題目，常與等差數(shù)列的上述性質(zhì)融合在一起，將 與其他條件進行轉(zhuǎn)換。

例題4 一個只有有限項的等差數(shù)列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146，所有項的和為234，則它的第七項等于（ ）

A. 22B. 21C. 19D. 18

解：設(shè)該數(shù)列有 項且首項為 ，末項為 ，公差為 ，則依題意有

結(jié)合上述性質(zhì)可得

代入（3）有

從而有

又所求項 恰為該數(shù)列的中間項，

故選D

點評：依題意能列出3個方程，若將 作為一個整體，問題即可迎刃而解。在求 時，巧用等差中項的性質(zhì)也值得關(guān)注。知識的靈活應(yīng)用，來源于對知識系統(tǒng)的深刻理解。

2）側(cè)重于等差中項

利用等差中項，可以實施等差數(shù)列前 項和 與其通項 的轉(zhuǎn)換：

例題5 在等差數(shù)列 和 中，它們的前 項和分別為 ，且 ，則 的值是多少？

分析：利用等差中項建立起等差數(shù)列前 項和與其通項的聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵。

解析：