淺談函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關(guān)系應(yīng)用

胡艷杰

摘 要：函數(shù)是中職教育教學(xué)的重要學(xué)科，也是中職數(shù)學(xué)學(xué)科中較為難的部分，不僅函數(shù)邏輯性強，而且內(nèi)容枯燥，理解難度大，更是讓很多中職學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生乏味心理，特別是函數(shù)奇偶性、周期性與圖象的對稱性是函數(shù)的基本性質(zhì)，更是把握好函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。為此，本文對函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關(guān)系應(yīng)用進(jìn)行系列分析，加強對中職數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)術(shù)研究，促進(jìn)中職數(shù)學(xué)課程能夠更好的傳授給學(xué)生。

關(guān)鍵詞：函數(shù) 奇偶性 周期性 對稱性

中圖分類號：G421 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）03（b）-0094-01

隨著我國教育改革制度的不斷發(fā)展，中職學(xué)校的教育課程改革也要隨之不斷的創(chuàng)新，要適時的優(yōu)化教學(xué)課程，進(jìn)一步提高中職學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量。為此，中職學(xué)校就要從教學(xué)課程內(nèi)容改革著手，數(shù)學(xué)是歷來較難的教學(xué)學(xué)科，對學(xué)生來說更是及其厭煩學(xué)習(xí)的科目，其中函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對稱性更是邏輯性強，復(fù)習(xí)資料少，更是成為了教學(xué)難點之一，為此，函數(shù)是現(xiàn)階段中職教學(xué)研究的學(xué)術(shù)重點。只有對函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關(guān)系進(jìn)行深入剖析，簡化較難懂的邏輯關(guān)系，才能更好的服務(wù)于教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的探索能力和創(chuàng)新意識，激發(fā)中職學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。

1 函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的定義

（1）函數(shù)的周期性定義：若函數(shù)對定義域中任意x均有f（x+T）=f（x）（其中T是不等于0的常數(shù)），則f（x）是周期函數(shù)。這也是函數(shù)基礎(chǔ)性質(zhì)之一。

f（x）是T=2a的周期函數(shù)的充要條件是f（x+2a）=f（x-2a）

證明：當(dāng)是必要條件時

∵T=2a是周期函數(shù)，

∴f（x）=f（x+2a），t=x+a

∴f（t-a）=f（t+a）

∴f（x-a）=f（x+a）

當(dāng)是充分條件時

∵f（x）=f（x+a），t=x-a

∴f（t+2a）=f（t）

∴f（x）是T=2a的周期函數(shù)。

推論若f（x+a）=-f（x），則f（x）的周期T=2a

推論若f（x+a）=1/f（x），則f（x）的周期T=2a

（2）函數(shù)的奇偶性定義：如果對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（x）=f（-x）或f（x）/f（-x）=1，關(guān)于y軸對稱，f（-x）=f（x），函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)。關(guān)于原點對稱，-f（x）=f（-x）就叫做奇函數(shù)。如圖1所示。

f（x）為奇函數(shù)，在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。

（3）圖象的對稱性定義：函數(shù)對稱性包括軸對稱和中心對稱兩種，其中軸對稱：如果函數(shù)f（x）滿足f（a-x）=f（x+a），那么f（x）的圖像就是關(guān)于x=a對稱；中心對稱：如果函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=-f（a-x），那么f（x）的圖像就是關(guān)于（a，o）對稱。

2 函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對稱性之間的關(guān)系

2.1 通過函數(shù)對稱性和奇偶性可以推出函數(shù)周期性

如果f（x）為奇函數(shù)，圖像關(guān)于x=a對稱，那么f（x）是以T=2a為周期的周期函數(shù)。

證明：

∵f（x）圖像關(guān)于x=a對稱

∴f（x）=f（a-x），f（-x）=f（a+x）

∴又奇函數(shù)

f（x）=f（-x），f（x）=f（2a+x）

∴f（x）是T=2a的周期函數(shù)。

2.2 函數(shù)的對稱性和周期性還能推出函數(shù)對稱性和奇偶性

設(shè)f（x）的圖像關(guān)于x=a對稱，且T=b的周期函數(shù)，那么f（x）的圖像關(guān)于x=a+b對稱。

證明：

∵f（x）圖像關(guān)于x=a對稱

∴f（x）=f（2a-x）

∵T=b的周期函數(shù)

∴f（x）=f（2b+x）

∴f（2a-x）=f（2b+x）

∴f（x）的圖像關(guān)于x=a+b對稱

同時設(shè)f（x）的圖像關(guān)于x=a對稱，且T=2a是周期函數(shù)，則f（x）是偶函數(shù)。

證明：

∵f（x）圖像關(guān)于x=a對稱

∴f（a+x）=f（a-x）

∵T=2a是周期函數(shù)

∴f（a+x）=f（x-a）

∴f（a-x）=f（x-a），令a-x=t

∴f（t）=f（-t）

∴f（x）是偶函數(shù)。

2.3 函數(shù)周期性和奇偶性也可以推出函數(shù)對稱性

設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且T=2a（a>0），那么f（x）的圖像關(guān)于x=a對稱。

證明：

∵f（x）為偶函數(shù)

∴f（x）=f（-x）

∵T=2a是周期函數(shù)

∴f（x）=f（x+2a），f（-x）=f（2a-x）

∴f（x）=f（2a-x）

∴f（x）的圖像關(guān)于x=a對稱。

于此同理還可以推斷出函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且-f（x）=f（x+2a），那么f（x）的圖像關(guān)于x=a對稱。

3 結(jié)語

在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的對學(xué)術(shù)研究的程度直接影響到教學(xué)的效果。通過以上對函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關(guān)系應(yīng)用的分析，可以看出，對于函數(shù)并非是難懂部分，關(guān)鍵要激發(fā)學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)上的發(fā)散思維模式，要讓學(xué)生帶著問題加強對函數(shù)基礎(chǔ)知識的研究，同時教師要及時糾正學(xué)生的研究偏差，加強學(xué)生對函數(shù)奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關(guān)系的認(rèn)識，打好函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，為中職數(shù)學(xué)教學(xué)卻得良好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 薛婷.在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)教學(xué)中“1”的妙用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（15）：15-16.

[2] 宋萌芽.對數(shù)函數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的運用[J].科教文匯（下旬刊），2011（2）：22-23.

[3] 彭家盛.中職數(shù)學(xué)中“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”章節(jié)的有效性教學(xué)[J].科教文匯（下旬刊），2012（7）：33-34.

[4] 羅潔.中職數(shù)學(xué)函數(shù)奇偶性的教學(xué)模式探索[J].科技致富向?qū)В?012（9）：29-30.

[5] 王穎秋.中職數(shù)學(xué)課·函數(shù)的奇偶性·教學(xué)之我見[J].科技信息，2011（22）：14-15.