解析幾何·雙曲線

一、選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個選項(xiàng)符合題意）

1. 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1][（a>b>0）]的一條漸近線方程為[y=12x]，則該雙曲線的離心率為（ ）

A. [52] B. [3] C. [5] D. 2

2. 已知[0<θ<π4]，則雙曲線[C1]：[x2cos2θ-][y2sin2θ=1]與[C2]：[y2sin2θ-x2sin2θtan2θ=1]的（ ）

A. 實(shí)軸長相等 B. 虛軸長相等

C. 焦距相等 D. 離心率相等

3. 已知定點(diǎn)[F1（-2，0）]，[F2（2，0）]，[N]是圓[O：x2+y2=1]上任意一點(diǎn)，點(diǎn)[F1]關(guān)于點(diǎn)[N]的對稱點(diǎn)為[M]，線段[F1M]的中垂線與直線[F2M]相交于點(diǎn)[P]，則點(diǎn)[P]的軌跡是（ ）

A. 橢圓 B. 雙曲線

C. 拋物線 D. 圓

4. 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]的一個焦點(diǎn)與拋物線[y2=4x]的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于[5]，則該雙曲線的方程為（ ）

A. [5x2-45y2=1] B. [x25-y24=1]

C. [y25-x24=1] D. [5x2-54y2=1]

5. 設(shè)[F]是拋物線[C1：y2=2px（p>0）]的焦點(diǎn)，點(diǎn)[A]是拋物線與雙曲線[C2：x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的一條漸近線的一個公共點(diǎn)，且[AF⊥x]軸，則雙曲線的離心率為（ ）

A. [5] B. [3] C. [52] D. 2

6. 設(shè)離心率為[e]的雙曲線[C：x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的右焦點(diǎn)為[F]，直線[l]過焦點(diǎn)[F]，且斜率為[k]，則直線[l]與雙曲線[C]的左右兩支都相交的充要條件是（ ）

A. [k2-e2>1] B. [k2-e2<1]

C. [e2-k2>1] D. [e2-k2<1]

7. 雙曲線[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的離心率為2，則[b2+13a]的最小值為（ ）

A. [233] B. [33] C. [2] D. [1]

8. [P]為雙曲線[x2-y212=1]上一點(diǎn)，[F1]，[F2]分別是左、右焦點(diǎn)，若[PF1∶PF2=3∶2]，則[ΔPF1F2]的面積是（ ）

A. [63] B. [123] C. [12] D.[24]

9. 已知[F1]，[F2]分別是雙曲線[x2a2-y2b2=1]的左、右焦點(diǎn)，[P]為雙曲線右支上的任意一點(diǎn). 若[|PF1|2|PF2|=8a]，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）

A. [（1，2]] B. [[2，+∞） ] C. [（1，3]] D. [[3，+∞）]

10. 雙曲線[x2a2-y2b2=1]的左焦點(diǎn)為[F1]，頂點(diǎn)為[A1，A2]，[P]是該雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段[PF1]，[A1A2]為直徑的兩圓的位置關(guān)系是（ ）

A. 相交 B. 內(nèi)切 C. 外切 D. 相離

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 已知雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的離心率[e=2]，且它的一個頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為[1]，則雙曲線[C]的方程為 .

12. 已知[A，B]分別是雙曲線[C： x2-y2=4]的左、右頂點(diǎn)，則[P]是雙曲線上在第一象限內(nèi)的任一點(diǎn)，則[∠PBA-∠PAB=] .

13. 設(shè)橢圓[x2a2+y2b2=1]，雙曲線[x2a2-y2b2=1]（其中[a>b>0]）的離心率分別為[e1，e2]，有下列結(jié)論：①[e1e2<1]；②[e12+e22=2]；③[e1e2>1]；④[e1e2=1]；⑤[e1+e2<2]. 其中正確的是 .

14. 已知拋物線[y2=8x]的準(zhǔn)線與雙曲線[x2a2-y2b2=1]相交于[A，B]兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程是[y=22x]，點(diǎn)[F]是拋物線的焦點(diǎn)，且[△FAB]是直角三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）已知雙曲線[C1：x2-y24=1.]

（1）求與雙曲線[C1]有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)[P（4，3）]的雙曲線[C2]的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線[l：y=x+m]分別交雙曲線[C1]的兩條漸近線于[A，B]兩點(diǎn). 當(dāng)[OA?OB=3]時，求實(shí)數(shù)[m]的值.

16. （10分）平面直角坐標(biāo)系中，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)[A]（1，0），[B]（0，-2），點(diǎn)[C]滿足[OC=mOA+][nOB，]其中[m]，[n∈R，且m-2n=1].

（1）求點(diǎn)[C]的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)[C]的軌跡與雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，][b>0][且a≠b）]交于[M，N]兩點(diǎn)，且以[MN]為直徑的圓過原點(diǎn)，求證：[1a2-1b2為定值]；

（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于[3]，求雙曲線實(shí)軸長的取值范圍.

17. （12分）已知雙曲線[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為[23].過[P][0，-2]的直線[l]與雙曲線[C]交于不同兩點(diǎn)[M]，[N].

（1）求雙曲線[C]的方程；

（2）當(dāng)[PM=2PN]時，求直線[l]的方程；

（3）設(shè)[t=OM?ON]（[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)），求[t]的取值范圍.

18. （12分）[P（x0，y0）（x0≠±a）]是雙曲線[E]：[x2a2-y2b2 ][=1 （a>0，b>0）]上一點(diǎn)，[M]，[N]分別是雙曲線[E]的左、右頂點(diǎn)，直線[PM]，[PN]的斜率之積為[15].

（1）求雙曲線的離心率；

（2）過雙曲線[E]的右焦點(diǎn)且斜率為[1]的直線交雙曲線于[A]，[B]兩點(diǎn)，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[C]為雙曲線上一點(diǎn)，滿足[OC=λOA+OB]，求[λ]的值.