立體幾何·夾角與距離

一、選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個選項符合題意）

1. 異面直線[a]，[b]分別在平面[α]，[β]內(nèi)，且[α?β=c]，則直線[c]（ ）

A. 同時與[α]，[β]相交

B. 至少與[a]，[b]之一相交

C. 最多與[a]，[b]之一相交

D. 與[a]，[b]之一相交且與另一平面平行

2. 設(shè)[a]，[b]，[c]為兩兩垂直的異面直線，[d]是[b]，[c]的公垂線，則[d]與[a]的位置關(guān)系為（ ）

A. 相交 B. 平行

C. 異面 D. 不確定

3. 平面外一條直線與平面成[θ]角，則（ ）

A. [0°<θ<180°] B. [0°<θ<90°]

C. [0°<θ≤90°] D. [0°≤θ≤90°]

4. [α-l-β]是直二面角，直線[a]與平面[α]成[30°]角，設(shè)直線[a]與平面[β]所成角為[θ]，則有（ ）

A. [θ=60°] B. [θ<60°]

C. [0°≤θ≤90°] D. [0°≤θ≤60°]

5. 設(shè)正三棱錐兩側(cè)面所成二面角為[θ]，則（ ）

A. [θ=60°] B. [θ<60°]

C. [θ>60°] D. 以上都有可能

6. 將正方形[ABCD]沿其對角線[AC]折成直二面角后，[AB]與[CD]所成的角為（ ）

A. [45°] B. [90°]

C. [60°] D. [75°]

7. 直二面角[α-l-β]的棱上有一點[P]，過[P]在[α]，[β]內(nèi)分別作與棱 [l] 成[45°]角的射線[PA，PB]，則[∠APB=]（ ）

A. [60°] B. [120°]

C. [60°]或[120°] D. [90°]

8. 已知三棱錐底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱長均為2，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為（ ）

A. [32] B. [12] C. [33] D. [36]

9. 在正方形[ABCD]中，[AB=4]，沿對角線[AC]將正方形[ABCD]折成一個直二面角[B-AC-D]，則點[B]到直線[CD]的距離為 （ ）

A. [22] B. [32]

C. [23] D. [2+22]

10.在[△ABC]中，已知[AB=27，BC=37]，[AC=7，][D]是邊[AC]上的一點，將[△ABC]沿[BD]折疊，得到三棱錐[A-BCD]，若該三棱錐的頂點[A]在底面[BCD]的射影[M]在線段[BC]上，設(shè)[BM=x]，則[x]的取值范圍是（ ）

A. [（0，27）] B. [（0，7）]

C. [（7，27）] D. [（27，37）]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 兩個完全相同的長方體的長、寬、高分別為5cm，4cm，3cm，把它們重疊在一起組成一個新長方體，在這些新長方體中，最長的對角線的長度是 .

12. 空間四邊形[ABCD]中，[AC=8]，[BD=12]，[E，F(xiàn)，G，H]分別是[AB，BC，CD，DA]邊上的點，且[EFGH]為平行四邊形，則四邊形[EFGH]的周長的取值范圍是 .

13. 如圖，在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[M，N]分別是棱[CD，CC1]的中點，則異面直線[A1M]與[DN]所成的角的大小是 .

14. 在棱長為1的正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，若點[P]是棱上一點，則滿足[|PA|+|PC1|=2]的點[P]的個數(shù)為 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）如圖所示，在四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]是矩形，[PA]⊥底面[ABCD]. [E]是[PC]的中點，已知[AB=2]，[AD=22]，[PA=2]，求：

（1）[△PCD]的面積；

（2）異面直線[BC]與[AE]所成的角的大小.

16. （10分）如圖，在四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]是矩形，[AD⊥PD]，[BC=1]，[PC=23]，[PD=CD=2].

（1）求異面直線[PA]與[BC]所成角的正切值；

（2）證明平面[PDC]⊥平面[ABCD]；

（3）求直線[PB]與平面[ABCD]所成角的正弦值.

17. （12分）如圖所示，在四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]為矩形，[PA]⊥平面[ABCD]，點[E]在線段[PC]上，[PC]⊥平面[BDE].

（1）證明：[BD]⊥平面[PAC]；

（2）若[PA=1]，[AD=2]，求二面角[B-PC-A]的正切值.

18. （12分）如圖，四邊形[PCBM]是直角梯形，[∠PCB=90°]，[PM]∥[BC]，[PM=1，BC=2]，[AC=1]，[∠ACB=120°，AB⊥PC]，直線[AM]與直線[PC]所成的角為[60°].

（1）求證：[PC⊥AC]；

（2）求二面角[M-AC-B]的余弦值；

（3）求點[B]到平面[MAC]的距離.